ln-Funktion

1. Analysis
ln-Funktion
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2. Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
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Analysis – Logarithmusfunktion
• f(x)=
• D=IR+
• W=IR
• Nullstelle:
ln-Funktion
f(x) = ln(x)
ln(3x)
3x =1 ⇔ x =
1
3
lim
x→0
>
ln(3x)( )= −∞
lim
x→+∞
ln(3x)( )= +∞
Graphen von ln-Funktionen:
f(x)=lnx
• Df=IR+; Wf=IR
• Nullstelle für x=1; allg: für ln(*)=0: *=1 bestimmen!
• ln(e)=1
• Term der Umkehrfunktion: f-1(x)=ex
• Rechenregeln: ln(ab) = ln(a)+ln(b) ; ln
a
b
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ln(a) −ln(b) ; ln(an
) = nln(a) (Oft Vereinf achung für Ableitung)
f(x) = ln(x)

4. Analysis – Logarithmische Gleichungen
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Bsp 1:
ln(x) = 3 | e
elnx
= e3
( )
x = e3
Bsp 3 :
(2x2
− 2)⋅ln(x −1) = 0
(2x2
− 2)
2x2
−2=0
2x2
=2
x2
=1
x1,2=±1
! "# $# ⋅ ln(x −1)
ln(x−1)=0
x−1=1
x3=2
!"# $# = 0
x1,2
= ±1 x3
= 2
Logarithmische Gleichungen lösen
durch beidseitiges Anwenden der e −Funktion:
Bsp 2 :
ln(x −1) = 3 | e*
eln(x−1)
= e3
( )
x −1= e3
x = e3
+1
Bei Produkten die einzelnen
Faktoren betrachten:

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Analysis – Ableitung + Aufleitung ln-Funktionen
f(x) = ln(ax)
f '(x) =
1
ax
⋅a =
1
x
f ''(x) = −x−2
= −
1
x2
F(x) =
1
a
(−ax + ax ⋅ln(ax))
f(x) = ln(3x) g(x) =
1
5
⋅ln(7x +1)
f '(x) =
1
x
g'(x) =
1
5
⋅
1
7x +1
⋅7 =
7
35x + 5
f ''(x) = −
1
x2
g''(x) =
−7⋅35
(35x + 5)2
=
−49
245x2
+ 70x + 5
F(x) =
1
3
(−3x + 3x ⋅ln(3x))
G(x) =
1
5
⋅
1
7
⋅(−(7x +1) +(7x +1)⋅ln(7x +1))
=
1
35
(−7x −1+(7x +1)⋅ln(7x +1))
a∈IR+ ;
Für die Aufleitung: Merkhilfe!
Quotienten-
oder
Produktregel
Ausmultiplizieren
und kürzen

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Analysis – Logarithmusfunktion
•F(x)=
•Integral:
Stammfunktion
•D=IR+
•f(x)=
•W=IR
•Nullstelle:
Funktion f mit
• f‘=
•f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> Graph von f ist streng
monoton steigend
•f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> keine Extremwerte
1. Ableitung
•f‘‘(x)=
•f‘‘(x)<0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> Graph von f ist
rechtsgekrümmt
•f‘‘(x)≠0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> keine Wendepunkte
2. Ableitung
•f‘‘‘(x)=
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) = xlnx − x +C
f(x) = ln(x)
f '(x) =
1
x
= x−1
f ''(x) = −x−2
=
1
x2
f '''(x) = −(−2)x−3
=
2
x3
f(x) = ln(3x)
1
3x
⋅3 =
1
x
f(x)dx =
0,5
1
∫ F(1) −F(0,5) ≈ 0,4
ln(3x)
3x =1 ⇔ x =
1
3
−
1
x2
2
x3
1
3
3xln(3x) −3x( )
lim
x→0
>
ln(3x)( )= −∞
lim
x→+∞
ln(3x)( )= +∞