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BEISPIELE EINER LINKS- UND EINER RECHTSGEKRÜMMTEN KURVE
f(x) ist linksgekrümmt
f‘(x) ist streng monoton steigend
f‘‘(x) > ...
ZUSAMMENFASSUNG
Ist die Funktion f auf einem Intervall I definiert und
zweimal differenzierbar, so gilt:
f(x) ist linksgek...
RECHENBEISPIEL
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von
f(x) = x4 − 2x³ − 36x² + 2!
1. Schritt: Die erste und zweite Abl...
RECHENBEISPIEL
3. Schritt: Untersuchung, wo f‘‘(x) größer/kleiner als Null ist:
x < −2: z.B. x = −3: f‘‘(−3) = 72 => f‘‘(x...
ERGEBNIS
für x < −2 und x > 3 ist der Graph linksgekrümmt
für −2 < x < 3 ist der Graph rechtsgekrümmt
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Krümmungsverhalten 2

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Krümmungsverhalten 2

  1. 1. KRÜMMUNGSVERHALTEN www.matheportal.wordpress.com
  2. 2. BEISPIELE EINER LINKS- UND EINER RECHTSGEKRÜMMTEN KURVE f(x) ist linksgekrümmt f‘(x) ist streng monoton steigend f‘‘(x) > 0 g(x) ist rechtsgekrümmt g‘(x) ist streng monoton fallend g‘‘(x) < 0
  3. 3. ZUSAMMENFASSUNG Ist die Funktion f auf einem Intervall I definiert und zweimal differenzierbar, so gilt: f(x) ist linksgekrümmt, wenn f‘‘(x) > 0 f(x) ist rechtsgekrümmt, wenn f‘‘(x) < 0
  4. 4. RECHENBEISPIEL Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f(x) = x4 − 2x³ − 36x² + 2! 1. Schritt: Die erste und zweite Ableitung aufstellen: f‘(x) = 4x³ − 6x² − 72x f‘‘(x) = 12x² − 12x − 72 2. Schritt: Die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: f‘‘(x) = 0  12x² − 12x − 72  x = 3 v x = − 2
  5. 5. RECHENBEISPIEL 3. Schritt: Untersuchung, wo f‘‘(x) größer/kleiner als Null ist: x < −2: z.B. x = −3: f‘‘(−3) = 72 => f‘‘(x) >0 für x < −2 => linksgekrümmt −2 < x < 3: z.B. x = 0: f‘‘(0) = −72 => f‘‘(x) < 0 für −2 < x < 3 => rechtsgekrümmt x > 3: z.B. x = 4: f‘‘(4) = 72 => f‘‘(x) >0 für x > 3 => linksgekrümmt
  6. 6. ERGEBNIS für x < −2 und x > 3 ist der Graph linksgekrümmt für −2 < x < 3 ist der Graph rechtsgekrümmt

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