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Binomialverteilung
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Binomialverteilung
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Stochastik – Bernoulli und Binomialverteilung
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Ein Bernoulliexperiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ausgänge besitzt. Z.B.:
Lichtschalter „an“ und „aus“, Würfelwurf „sechs“ und „nicht sechs“, Münzwurf „Kopf“ und „Zahl“.
Eine Bernoullikette ist eine Versuchsreihe, bei der das gleiche Bernoulliexperiment mehrmals hintereinander
durchgeführt wird. Die Anzahl der Versuche bezeichnet man als Länge n der Bernoullikette, wobei jedem
Versuch die Trefferwahrscheinlichkeit p zugrunde liegt.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable X den
möglichen/die möglichen Wert(e) annimmt. Ist das der Zufallsvariablen zugeordnete Zufallsexperiment eine
Bernoullikette, so liegt eine Binomialverteilung vor.
Pn
p
(X = k) = B(n; p; k)( )
Pn
p
(X ≤ k) = B(n; p; i)
i=0
k
∑
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Drei Größen sind gegeben,
eine gesucht:
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Genau k Treffer: (Im Tafelwerk nachschlagen oder Taschenrechner)
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X ist eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Pn
p
(X = k) =
n
k
⎛
⎝
⎜
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⎛
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(1−p)n−k
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Stochastik – Binomialverteilung I
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∑ = B(n; p; 0) +B(n; p; 1) +...+B(n; p; k)
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Pn
p
(X ≤ k) = Pn
p
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p
(X = k)
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p
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  • 2. www.vom-mathelehrer.de Stochastik- Binomialverteilung www.vom-mathelehrer.de 2 Binomialverteilung Bernoulli Bernoullikette Bernoulli-Formel (genau k Treffer) Erwartungswert (E=np) Varianz und Standardabweichung (Var=npq) Summen- wahrscheinlichkeit (min./max k Treffer) Darstellung im Histogramm „Drei-Mindestens- Aufgabe“ Hypothesentest Nullhypothese entnehmen Fehler 1. und 2. Art Irrtums- wahrscheinlichkeit Entscheidungsregel aufstellen Zu geg. Signifikanzniveau Annahme- und Ablehnungsbereich für H0 ermitteln
  • 3. www.vom-mathelehrer.de Stochastik – Bernoulli und Binomialverteilung www.vom-mathelehrer.de 3 Ein Bernoulliexperiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ausgänge besitzt. Z.B.: Lichtschalter „an“ und „aus“, Würfelwurf „sechs“ und „nicht sechs“, Münzwurf „Kopf“ und „Zahl“. Eine Bernoullikette ist eine Versuchsreihe, bei der das gleiche Bernoulliexperiment mehrmals hintereinander durchgeführt wird. Die Anzahl der Versuche bezeichnet man als Länge n der Bernoullikette, wobei jedem Versuch die Trefferwahrscheinlichkeit p zugrunde liegt. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable X den möglichen/die möglichen Wert(e) annimmt. Ist das der Zufallsvariablen zugeordnete Zufallsexperiment eine Bernoullikette, so liegt eine Binomialverteilung vor. Pn p (X = k) = B(n; p; k)( ) Pn p (X ≤ k) = B(n; p; i) i=0 k ∑ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ Drei Größen sind gegeben, eine gesucht: Beispiele: n ist gesucht: „3-mindestens-Aufgabe“ k ist gesucht: „Hypothesentest“ P gesucht: „Fehler 1. und 2. Art“ p gesucht: „Trefferwahrscheinlichkeit“
  • 4. www.vom-mathelehrer.de Genau k Treffer: (Im Tafelwerk nachschlagen oder Taschenrechner) Stochastik – Binomialverteilung www.vom-mathelehrer.de 4 X ist eine binomialverteilte Zufallsgröße. Pn p (X = k) = n k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟pk (1−p)n−k Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung: (Im Bsp: n=20; p=0,4) µ = E(X) = np Var(X) = np(1−p) σ = np(1−p) B(n; p; k) = n k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟pk (1−p)n−k μ σσ P20 0,4 ( X −µ ≤ σ) = P20 0,4 (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0,7469
  • 5. www.vom-mathelehrer.de Stochastik – Binomialverteilung www.vom-mathelehrer.de 5 Die kumulative Verteilungsfunktion. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt beim zweimaligen Münzwurf höchstens einmal Wappen auf? Darstellung als Treppenfunktion: Die Höhe (von der x-Achse aus) jeder Stufe stellt die gesamte Wahrscheinlichkeit bis einschließlich einer Grenze k dar. Jeder „Sprung“ stellt die Wahrscheinlichkeit eines Werts der Zufallsgröße dar. P(X ≤1) = P(X = 0) +P(X =1) = 0,25+0,5 = 0,75
  • 6. www.vom-mathelehrer.de Stochastik – Binomialverteilung I www.vom-mathelehrer.de 6 Höchstens k Treffer: (Im Tafelwerk nachschlagen oder neure Taschenrechner) Weniger als k Treffer: (Im Tafelwerk bis k-1 nachschlagen oder neure Taschenrechner) B(n; p; i) i=0 k ∑ = B(n; p; 0) +B(n; p; 1) +...+B(n; p; k) B(n; p; i) i=0 k−1 ∑ = B(n; p; 0) +B(n; p; 1) +...+B(n; p; k −1) Mindestens k Treffer: (Gegenereignis betrachten und dann im TW nachschlagen) B(n; p; k) i=k n ∑ = B(n; p; k) +B(n; p; k +1) +...+B(n; p; n) =1− B(n; p; i) i=0 k−1 ∑ Mehr als k Treffer: Pn p (X ≤ k) = Pn p (X = 0) +Pn p (X =1) +...+Pn p (X = k) Pn p (X < k) = Pn p (X ≤ k −1) = Pn p (X = 0) +Pn p (X =1) +...+Pn p (X = k −1) Pn p (X ≥ k) = Pn p (X = k) +Pn p (X = k +1) +...+Pn p (X = n) =1−Pn p (X ≤ k −1) Pn p (X > k) = Pn p (X = k +1) +Pn p (X = k + 2) +...+Pn p (X = n) =1−Pn p (X ≤ k) B(n; p; k) i=k+1 n ∑ = B(n; p; k +1) +B(n; p; k + 2) +...+B(n; p; n) =1− B(n; p; i) i=0 k ∑
  • 7. www.vom-mathelehrer.de Stochastik – Binomialverteilung II www.vom-mathelehrer.de 7 Mindestens k1 und höchstens k2 Treffer: Mehr als k1 und höchstens k2 Treffer: Pn p (k1 < X ≤ k2 ) = Pn p (X ≤ k2 ) −Pn p (X ≤ k1 ) B(n; p; i) i=k1 k2 ∑ = B(n; p; i) 0 k2 ∑ − B(n; p; i) i=0 k1−1 ∑Pn p (k1 ≤ X ≤ k2 ) = Pn p (X ≤ k2 ) −Pn p (X < k1 ) = Pn p (X ≤ k2 ) −Pn p (X ≤ k1 −1) B(n; p; i) i=k1 +1 k2 ∑ = B(n; p; i) 0 k2 ∑ − B(n; p; i) i=0 k1 ∑ Mehr als k1 und weniger k2 Treffer: Pn p (k1 < X < k2 ) = Pn p (k1 < X ≤ k2 −1) = Pn p (X ≤ k2 −1) −Pn p (X ≤ k1 ) B(n; p; i) i=k1 +1 k2−1 ∑ = B(n; p; i) 0 k2−1 ∑ − B(n; p; i) i=0 k1 ∑ Mindestens k1 und weniger k2 Treffer: Pn p (k1 ≤ X < k2 ) = Pn p (k1 ≤ X ≤ k2 −1) = Pn p (X ≤ k2 −1) −Pn p (X ≤ k1 −1) B(n; p; i) i=k1 k2−1 ∑ = B(n; p; i) 0 k2−1 ∑ − B(n; p; i) i=0 k1−1 ∑
  • 8. www.vom-mathelehrer.de Stochastik – Binomialverteilung www.vom-mathelehrer.de 8 Bundesland Jahr Aufgabengruppe Teil Teilaufgabe Bayern 2019 1 A 2 Bayern 2019 1 A 3 Bayern 2019 2 A 2 Bayern 2019 1 B 2a, b, c Bayern 2019 2 B 1a, b, c Bayern 2019 1 B 2 Bayern 2018 1 B 1b, c Bayern 2018 2 B 1a