Zufallsgrößen

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Stochastik
Zufallsgrößen
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Stochastik – Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Beispiel:
Zweimaliges Werfen einer Münze. Wie oft kann Wappen erscheinen?
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsgröße an.
Ergebnismenge: Ω = {WW, WZ, ZW, ZZ}, Zufallsgröße X ≔ Anzahl Wappen (Zufallsgröße)
Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = xi): P(X = 0)= 0,25, P(X = 1) = 0,5, P(X = 2) = 0,25
ω ZZ ZW; WZ WW
X(ω) 0 1 2
P(X = xi) 0,25 0,5 0,25

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Stochastik – Histogramm
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Histogramm:
Rechtecksfläche ! Wahrscheinlichkeit (wenn möglich, wähle Breite 1, Höhe ! P(X = xi))
1 2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
X = xi
P(X = xi)
0

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Stochastik – Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
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Eine Zufallsgröße X nehme die Werte x1, x2, ..., xn mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=x1), P(X=x2),
..., P(X=xn) an. Dann heißt der zu erwartende Mittelwert
µ = E(x) = x1
⋅ P(X = x1
)+ x2
⋅ P(X = x2
)+...+ xn
⋅ P(X = xn
)
Erwartungswert von X.
Definition: Ist X eine Zufallsgröße mit E(X) = 𝜇 und den möglichen Werten
x1; x2; ...;xn, dann heißt
Var(X) :=
Varianz der Zufallsgröße X und
σ :=
Standardabweichung oder Streuung von X.
(x1
−µ)2
⋅P(X = x1
) +(x2
−µ)2
⋅P(X = x2
) +...+(xn
−µ)2
⋅P(X = xn
)
Var(X)

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Stochastik – E(X), Var(X), σ(X) Beispiel
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Zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen können sich trotz gleichen
Erwartungswertes stark unterscheiden.
Beispiel: Für die Latein- und die Mathematikschulaufgabe einer Klasse ergaben sich folgende
Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zufallsgröße „Schulaufgabennote“.
Lateinschulaufgabe
X = k 1 2 3 4 5 6
P(X = k)
4
30
Mathematikschulaufgabe
1
30
10
30
10
30
4
30
1
30
Y = k 1 2 3 4 5 6
P(Y = k)
5
30
5
30
5
30
5
30
5
30
5
30

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Stochastik – Beispiel Erwartungswert
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µ = E(X)
1 2 3 4 5 6
8/30
12/30
x
P(X=x)
4/30
µ = E(Y)
1 2 3 4 5 6
8/30
12/30
y
P(Y=y)
4/30
E(X) = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = 3,51
30
4
30
10
30
10
30
4
30
1
30
E(Y) = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = 3,55
30
5
30
5
30
5
30
5
30
5
30

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Stochastik – Beispiel Varianz und Standardabweichung
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Var(X) = (1 - 3,5)2 × + (2 - 3,5)2 × + (3 - 3,5)2 × +
(4 – 3,5)2 × + (5 - 3,5)2 × + (6 - 3,5)2 × =
1
30
1
30
4
30
4
30
10
30
10
30
σ (X) = » 1,087871
60
Var(Y) = (1 - 3,5)2 × + (2 - 3,5)2 × + (3 - 3,5)2 × +
(4 – 3,5)2 × + (5 - 3,5)2 × + (6 - 3,5)2 × =
71
60
5
30
5
30
5
30
5
30
5
30
5
30
175
60
σ(Y) = » 1,7078175
60
s » 1,09
µ = E(X)
1 2 3 4 5 6
8/30
12/30
x
P(X=x)
4/30
µ = E(Y)
1 2 3 4 5 6
8/30
12/30
y
P(Y=y)
4/30
s » 1,71

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Stochastik – Abirelevant
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Aus dem Abitur Bayern 2013, Aufgabengruppe I, Aufgabe 3:
Um Geld für die Ausstattung des Spielbereichs in der Kinderstation des Krankenhauses einzunehmen,
wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem der Spieler zwei Euro bezahlt hat, werden aus dem
Behälter, in dem sich drei roten, drei grüne und drei blaue Kugeln befinden, drei Kugeln ohne
Zurücklegen zufällig entnommen. Haben die drei entnommenen Kugeln die gleiche Farbe, so gewinn
der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält
keine Auszahlung. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in die Behälter zurückgelegt.
a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt.
b) Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im
Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet
werden kann.
1
28
X: Gewinn aus Sicht des Krankenhauses
a: Auszahlungsbetrag
xi 2 2-a
P(X=xi) 1
28
27
28
Summe der Wahrscheinlichkeiten
besitzt Wert 1.
E(X)=
!
1,25
2⋅
27
28
+(2− a)⋅
1
28
=1,25
54
28
+
2
28
−
a
28
=1,25 |⋅28
54+ 2− a = 35
a = 21
Es muss ein Betrag von 21€ ausgezahlt werden.

9. Stochastik – E(X) und Co.
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Bundesland Jahr Aufgabengruppe Teil Teilaufgabe
Bayern 2018 2 B 2b
Bayern 2016 1 B 1e
Bayern 2016 2 A 1b