Umkehrfunktion, Funktionenschar, Ortslinien

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Analysis
Umkehrfunktion
Funktionenschar
Ortslinie
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Analysis - Umkehrfunktion
Anschaulich: Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jede Parallele zur x-Achse den zugehörigen
Graphen höchstens einmal schneidet.
Umgangssprachlich: f ist umkehrbar, wenn zu jedem y-Wert genau ein x-Wert existiert.
Kriterium für die Umkehrbarkeit: f ist ist umkehrbar genau dann wenn f streng monoton ist.
Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion f-1:
Zeichnen des Graphen der Umkehrfunktion:
Spiegele den Graphen von f an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten.
1. Bestimme Df
und Wf
, falls nicht gegeben
2. Löse die Funktionsgleichung nach x auf :
3. Vertausche x und y
4. y ist nun Funktionswert von f−1
und Df−1 = Wf
, Wf−1 = Df
Bsp: f(x)=(x-3)2 ist auf ganz IR nicht umkehrbar, da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist
und es somit zu jedem y-Wert >0 zwei x-Werte gibt.
Schränkt man die Definitionsmenge ein, so ist f in diesen Intervallen umkehrbar
(Siehe nächste Folie).

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Analysis – Umkehrfunktion Bsp.
Betrachten wir , so muss in diesem Fall jeder y-Wert
der Umkehrfunktion größer oder gleich 3 sein.
Betrachten wir , so muss im zweiten Fall jeder y-Wert
der Umkehrfunktion kleiner oder gleich 3 sein.
f : f(x) = (x −3)2
Df
= [3;+∞[ ; Wf
= [0;+∞[ Df
=]−∞;3] ; Wf
= [0;+∞[
y = (x −3)2
± y = x −3
3± y = x
x = 3± y
y = 3± x
Df−1 = [0;+∞[; Wf−1 = [3;+∞[ Df−1 = [0;+∞[ ; Wf−1 =]−∞;3]
→ f−1
(x) = 3+ x → f−1
(x) = 3 − x

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Analysis – Funktionenschar
Besitzt eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) eine weitere, von x unabhängige Variable a, so
gibt es für jedes a einen Funktionsterm fa(x). a nennt man Parameter, die Menge aller Funktionen
Funktionenschar.
Bsp.:f(x) = 0,5x3
− ax2
; Df
= IR; a ∈ IR+

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Analysis – Ortslinien der Minima
Bsp.:
Um den Funktionsterm zu bestimmen, auf dessen zugehörigen Graphen alle Tiefpunkte liegen, löst man die
x-Koordinate des Tiefpunkts nach a auf und setzt dies in f(x) ein!
f(x) = 0,5x3
− ax2
; Df
= IR; a ∈ IR+
f 'a
(x) =1,5x2
− 2ax f ''a
(x) = 3x − 2a
1,5x2
− 2ax = 0 f ''a
(0) = −2a < 0, da a > 0 → Hochpunkt (0 | 0)
x(1,5x − 2a) = 0 f ''a
(
4
3
a) = 3⋅
4
3
a − 2a = 4a − 2a = 2a > 0 → Tiefpunkt (
4
3
a | −
16
27
a3
)
x1
= 0 ; x2
=
4
3
a
x =
4
3
a ↔ a =
3
4
x
f3
4
x
(x) = 0,5x3
−
3
4
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ x2
= 0,5x3
−0,75x3
= −0,25x3
Nullstellen der
ersten Ableitung
und Probe auf
Extrema!

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Analysis – Ortslinien der Wendepunkte
Bsp.:
Um den Funktionsterm zu bestimmen, auf dessen zugehörigen Graphen alle Wendepunkte liegen, löst man die
x-Koordinate des Wendepunkts nach a auf und setzt dies in f(x) ein!
f(x) = 0,5x3
− ax2
; Df
= IR; a ∈ IR+
f ''a
(x) = 3x − 2a f '''a
(x) = 3
3x − 2a = 0 f '''a
(
2
3
a) = 3 ≠ 0 → Wendepunkt (
2
3
a |
1
18
a)
x =
2
3
a
x =
2
3
a ↔ a =
3
2
x
f3
2
x
(x) = 0,5x3
−
3
2
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ x2
= 0,5x3
−1,5x3
= −x3
Nullstellen der
zweiten Ableitung
und Probe auf
Wendepunkt!