Ganzrationale Funktionen

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Analysis
Ganzrationale Funktionen
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Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
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Analysis – Was ist eine Funktion?
Eine Funktion in der Mathematik ist eine eindeutige Zuordnung.
z.B. kann man jedem Datum genau einem Wochentag zuordnen.
Umgekehrt gilt dies nicht, da es für die Wochentage (Mo, Di, ...) unendlich viele Daten gibt!
Ist die Umkehrung jedoch möglich, so spricht man von einer umkehrbaren Funktion.
Anschaulich: Es handelt sich um eine Funktion, wenn jede Parallele zur y-Achse den Graphen höchstens einmal
schneidet.
• Eine Funktion bekommt in der Mathematik einen Namen, z.B.: f oder g oder h
• Eine Funktion ist erst vollständig, wenn man weiß, was man in diese Einsetzen darf.
• Alles, was man einsetzen darf, ist die Definitionsmenge.
• Alles was an Ende rauskommt, ergibt die Wertemenge.
Darstellungsformen:
• Funktionsterm: f(x)=x2
• Graph:
• Wertetabelle:
• In Worten: „Multipliziere eine Zahl mit sich selbst.“
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
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Analysis – Ganzrationale Funktionen: Was du können solltest
• Verschiedene Darstellungsformen von Funktionen:
• Lineare Funktion: m und t bestimmen können auch aus nur 2 Punkten
• Quadratische Funktionen: Normal-, Scheitelpunkt-, Nullstellenform
• Ganzrationale Funktion höheren Grades: Normal-, Nullstellenform
• Distributivgesetz: v.a. ausklammern
• Lösungsformel für quadratische Gleichungen
• Polynomdivision
• Nullstellen bestimmen können: f(x)=0 lösen
• Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen können: f(0) bestimmen
• Wie wirkt sich die Vielfachheit einer Nullstelle auf den Graphen aus:
• Ungerade Vielfachheit -> Schnittpunkt mit x-Achse
• Gerade Vielfachheit -> Berührpunkt mit der x-Achse
• Grenzwertbetrachtungen im Unendlichen
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Analysis – lineare Funktion
Funktionsgleichung: y=mx+t (m:Steigung; t:y-Achsenabschnitt)
Graph: Gerade (steigt für m>0; fällt für m<0)
Steigung aus zwei Punkten bestimmen:
Steigungswinkel (zwischen x-Achse und Graph, mathematisch positiv (linksrum) gedreht; Grundlage: Geometrie
am rechtwinkligen Dreieck):
Parallele zur x-Achse: y=t
Parallele zur y-Achse: x=a
Nullstellen bestimmen,
indem man setzt: mx+t=0
Schnittpunkt zweier Graphen: m1x+t1=m2x+t2
(lineare Gleichung lösen)
Steigung der Normalen mn
(senkrechten Geraden):
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m =
"Höhenunterschied"
"waagrechter Unterschied"
=
Δy
Δx
=
yB
− yA
xB
− xA
=
f(b) − f(a)
b − a
tan(α) = m =
Δy
Δx
=
yB
− yA
xB
− xA
=
f(b) − f(a)
b − a
→ α = tan−1
(m) = tan−1 Δy
Δx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
mn
= −
1
m

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Analysis – Lineare Gleichung
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mx + t = 0 ; m ∈ IR {0}; t ∈ IR
mx = −t
x = −
t
m
Bsp 1:
3x −8 = 0
3x = 8
x =
8
3
Bsp 2 :
3x −8 = 2
3x =10
x =
10
3
Bsp 3 :
−3x −8 = 2
−3x =10
x = −
10
3
6

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Analysis – Lineare Funktion
•F(x)=
•Graph: nach unten geöffnete Parabel
•Extremstelle x=1,5
Stammfunktion
•D=IR
•W=IR
•Graph: fallende Gerade
•Nullstelle: f(x)=0: x=1,5
•y-Achsenabschnitt: t=f(0)=1
•Steigung: m=
Funktion f mit
• f‘= -> Gf ist streng monoton fallend -> keine Extrema
•Graph: Parallele zur x-Achse im Abstand
•tan(α)= ->α≈33,69°
1. Ableitung
•f‘‘(x)=0 -> Gf besitzt keine Krümmung
•Keine Wendepunkte
•Keine Extrema
2. Ableitung
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) =
m
2
x2
+ tx +C
f(x) = mx + t
f '(x) = m
f ''(x) = 0
f '''(x) = 0
f(x) = −
2
3
x +1
−
2
3
−
2
3
−
2
3
−
1
3
x2
+ x +C
−
2
3

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Analysis – quadratische Funktion
Funktionsterm: f(x)=ax2+bx+c (Normalform)
f(x)=a(x+d)2+e (Scheitelpunktform)
f(x)=a(x-x1)(x-x2) Nullstellenform
Graph: Parabel (Normalparabel: y=x2)
• Enger als Normalparabel: |a|>1
• Weiter als Normalparabel: 0<|a|<1
• Nach unten geöffnet: a<0
Nullstellen über das Lösen quadratischer Gleichungen bestimmen: ax2+bx+c=0
Schnittpunkte zweier Graphen über das Lösen quadratischer Gleichungen bestimmen:
a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2
Geht es um die Anzahl von Lösungen (Nullstellen), genügt es den Term unter der Wurzel (Diskriminante D) der
Lösungsformel zu betrachten:
Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt des Funktionsgraphen!
-> Einfache Extremwertprobleme lassen sich daher oft mit quadratischen Funktionen lösen. Es gilt des
Scheitelpunkt zu bestimmen!
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x1,2
=
−b± b2
− 4ac
2a
; D = b2
− 4ac
Quadratische
Ergänzung
Nst. bestimmen
ausmultiplizieren
Beispiel quadratischer Ergänzung:
h(x) = 0,75x2
+ 4,5x +3
= 0,75[x2
+ 6x + 4]
= 0,75[x2
+ 6x +32
−32
+ 4]
= 0,75[(x +3)2
−5]
= 0,75(x −3)2
−3,75

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Analysis – Quadratische Gleichung
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ax2
+bx + c = 0 ; a ∈ IR {0}
Lösungsformel geht immer!!!
x1,2
=
−b± b2
− 4ac
2a
Bsp 1:
3x2
− x + 2 = 0
x1,2
=
1± 1− 4⋅3⋅ 2
2⋅3
=
1± −23
6
→ keine Lösung, da
Wert der
Diskriminante < 0
Bsp 2 :
3x2
− x − 2 = 0
x1,2
=
1± 1− 4⋅3⋅(−2)
2⋅3
=
1± 25
6
=
1±5
6
x1
=1 ; x2
= −
2
3
Bsp 3 :
3x2
= x + 2
3x2
− x − 2 = 0
x1,2
=
1± 1− 4⋅3⋅(−2)
2⋅3
=
1± 25
6
=
1±5
6
x1
=1 ; x2
= −
2
3
8

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Analysis – Quadratische Gleichung - Sonderfälle
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ax2
+bx = 0 ; a ∈ IR {0}
Ausklammern:
x(ax +b) = 0
x1
= 0
ax2
+b = 0 ↔ x2
= −
b
a
Bsp 1:
3x2
− x = 0
x(3x −1) = 0
x1
= 0
3x2
−1= 0
x2
=
1
3
Bsp 2 :
3x2
− 2 = 0
3x2
= 2
x2
=
2
3
x1,2
= ±
2
3
ax2
+ c = 0 ; a ∈ IR {0}
Wurzel ziehen:
ax2
= −c
x2
= −
c
a
x1,2
= ± −
c
a
Term unter der Wurzel
muss einen Wert > 0 besitzen
#
$
%
&
'
(
9

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Analysis – Quadratische Funktion
• F(x)=
• Graph: Verlauf von „links unten nach rechts oben“
Stammfunktion
• D=IR
• f(x)=
• Scheitel S(-0,5|-2)
• Graph: nach oben geöffnete Parabel; enger als Normalparabel
• W=[-2; [
• Schnittpunkt mit y-Achse: P(0|-1,5)
Funktion f mit
• f‘=4x+2
• f‘(x)=0: x=-0,5
• f‘(x)<0 für x<-0,5 -> f ist für x<-0,5 streng monoton abnehmend (Graph von f ist str.
monoton fallend)
• f‘(x)>0 für x>0,5 -> f ist für x>-0,5 streng monoton zunehmend (Graph von f ist streng
monoton wachsend)
• Aus Monotonie: Extremum ist ein Minimum M(-0,5|-2)
1. Ableitung
• f‘‘(x)=4
• f‘‘(x)>0 -> Graph von f ist linksgekrümmt
• Keine Wendepunkte
• Extremum ist ein Minimum M(-0,5|-2)
2. Ableitung
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) =
a
3
x3
+
b
2
x2
+ cx +C
f(x) = ax2
+bx + c
f '(x) = 2ax +b
f ''(x) = 2a
f '''(x) = 0
f(x) = 2x2
+ 2x −1,5
2
3
x3
+ x2
+ −1,5x +C
2x2
+ 2x −1,5 = 2(x +1,5)(x −0,5) = 2(x +0,5)2
− 2
+∞

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Analysis – ganzrationale Funktion
Funktionsterm: 3. Grades: f(x)=ax3+bx2+cx+d (Normalform) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3) (Nullstellenform)
4. Grades: f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+3 (Normalform) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) (Nullstellenform)
Graph ungeraden Grades:
• Von „links unten nach rechts oben“: a>0
• Von „links oben nach rechts unten“: a<0
Graph Geraden Grades:
• Von „links oben nach rechts oben“: a>0
• Von „links unten nach rechts unten“: a<0
Nullstellen:
• 1. Nullstelle ggf. erraten
• Fehlt der konstante Summand -> x ausklammern
• Durch Polynomdivision weitere Nullstelle bestimmen
• Entsteht ein Term 2. Grades -> Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Schnittpunkte zweier Graphen -> Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen
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Bsp.: f(x) = −
1
2
x3
+
3
2
x2
− 2 = −
1
2
(x +1)(x − 2)2

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Analysis – Ganzrationale Gleichungen 3. Grades
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ax3
+bx2
+ cx + d = 0 ; a ∈ IR {0}
− eine Nullstelle raten
− Polynomdivision
− 2. und 3. Nullstelle durch Lösen der
quadratischen Gleichung bestimmen.
Bsp 1:
3x3
− 7x2
+ 4 = 0
x1
= 2
(3x3
− 7x2
+ 4) :(x − 2) = 3x2
− x − 2
(x − 2)(3x2
− x − 2) = 0
x2,3
=
1± 1+ 24
6
=
1±5
6
x2
=1 ; x3
= −
2
3
Bsp 2 :
3x3
− 7x2
+ 4x = 0
x(3x2
− 7x + 4) = 0
x1
= 0
x2,3
=
7± 49 − 48
6
=
7±1
6
x2
=1 ; x3
=
4
3
ax3
+bx2
+ cx = 0 ; a ∈ IR {0}
x ausklammern, in der Klammer
die quadratischen Gleichung lösen:
Bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades muss man immer wieder Nullstellen erraten und
anschließend die Polynomdivision durchführen.
Für das Abi wohl nicht relevant.
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Analysis – Ganzrationale Funktionen
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lim
x→±∞
f(x) = t
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Symmetrie:
• f(-x)=f(x) -> Der Graph ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse
• f(-x )=-f(x) -> Der Graph ist punktsymmetrisch bzgl. (0|0)
• Merke: Besitzt ein Polynom nur gerade Exponenten -> Achsensymmetrie Besitzt ein Polynom
nur ungerade Exponenten -> Punktsymmetrie
Grenzwerte im Unendlichen:
Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß/klein werdende x-Werte
einer Zahl t beliebig nahe, so nennt man
• t den Grenzwert der Funktion f für x gegen plus/minus unendlich
• Man schreibt
• Die Gerade y=t ist waagrechte Asymptote des Graphen von f.

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Analysis – Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen
Streckung/Stauchung y-Richtung
y=-2(x3
-x)=-2x3
+2x
a=-2: Spiegelung an x-Achse; Streckung
Streckung/Stauchung x-Richtung
: Streckung in x-Richtung
Verschiebung in x-Richtung
y=(x+2)3-(x+2)
c=2: Verschiebung um 2 Einheiten nach links
Verschiebung in y-Richtung
y=x3
-x+1
d=1: Verschiebung um 1 Einheit nach oben
y=f(x)
y=x3-x
b =
2
3
y = a⋅ f b⋅ x + c( )+ d
y =
2
3
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
−
2
3
x
y = −2⋅
2
3
x + 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
−
2
3
x + 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+1
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Analysis – Ableitung + Aufleitung ganzrationale Funktionen
f(x) = xn
f '(x) = n⋅ xn−1
f ''(x) = n(n−1) ⋅ xn−2
F(x) =
1
n+1
xn+1
f(x) = x3 g(x) = 3x4
+ 2x −1
f '(x) = 3x2 g'(x) =12x3
+ 2
f ''(x) = 3⋅ 2⋅ x1
= 6x g''(x) = 36x2
F(x) =
1
3+1
x3+1
=
1
4
x4
G(x) =
3
5
x5
+ x2
− x
n∈Z

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Analysis – Ganzrationale Funktion 3. Grades
• F(x)=
• Graph: Verlauf von „links unten nach rechts unten“
• Integrale:
Stammfunktion
• D=IR
• f(x)=
• Graph: „von links oben nach rechts unten“
• W=IR
• Schnittpunkt mit y-Achse: P(0|-2)
• Nullstellen: x=-1 oder x=2 (doppelte Nullstelle -> Graph berührt x-Achse an dieser Stelle)
Funktion f mit
• f‘=
• f‘(x)=0: x=0 oder x=2 (Graph besitzt hier jeweils eine waagrechte Tangente)
• f‘(x)<0 für x<0 oder x>2 -> f ist für x<0 und für x>2 streng monoton abnehmend (Graph von f ist str.
monoton fallend)
• f‘(x)>0 für 0<x<2 -> f ist für 0<x<2 streng monoton zunehmend (Graph von f ist streng monoton wachsend)
• Aus Monotonie oder einfachen Nullstellen in der 1. Ableitung:
• 1. Extremum ist ein Minimum TIP(0|-2)
• 2. Extremum ist ein Maximum HOP(2|0)
1. Ableitung
• f‘‘(x)=-3x+3
• Alternative zum Nachweis der Extrema mit Hilfe der Monotonie:
• f‘‘(0)=3>0 -> Minimum TIP(0|-2)
• f‘‘(2)=-3<0 -> Maximum HOP(2|0)
• f‘‘(x)=0: x=1 (potentieller Wendepunkt; ist er, da einfache Nullstelle in 2. Ableitung)
• f‘‘(x)>0 für x<1 -> Graph von f ist linksgekrümmt für x<1
• f‘‘(x)<0 für x>1 -> Graph von f ist rechtsgekrümmt für x11
• Wendepunkt WEP(1|-1), da sich das Krümmungsverhalten ändert.
2. Ableitung
• Alternative zur Betrachtung des Krümmungsverhaltens: f‘‘‘(x)=-3≠0 -> WEP(1|-1)
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) =
a
3
x3
+
b
2
x2
+ cx +C
f(x) = ax3
+bx2
+ cx + d
f '(x) = 3ax2
+ 2bx + c
f ''(x) = 6ax + 2b
f '''(x) = 6a
f(x) = −
1
2
x3
+
3
2
x2
− 2
−
1
8
x4
+
1
2
x3
− 2x
−
1
2
x3
+
3
2
x2
− 2 = −
1
2
(x +1)(x − 2)2
−
3
2
x2
+3x = 3x(−
1
2
x +1)
f(x)dx =
−2
0
∫ F(0) −F(−2) = 0 −(−2) = 2
f(x)dx =
−2
2
∫ F(2) −F(−2) = −2−(−2) = 0