e-Funktion

1. Analysis
e-Funktion
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2. Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
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3. Analysis – e-Funktion
•f(x)=1,5ex-1
•D=IR
•W=]-1; [
•Schnittpunkt mit y-Achse: P(0|0,5)
•Nullstelle: x=
e-Funktion
Graphen von e-Funktionen:
f(x)=ex
• Df=IR; Wf=IR+; Graphisch: der Graph verläuft nur oberhalb der x-Achse -> Keine Nullstellen
• f(0)=e0=1 (y-Achsenabschnitt); f(1)=e
• Für die Grenzwertbetrachtungen gilt: „e gewinnt“ mit
• Term der Umkehrfunktion: f-1(x)=ln(x)
• Exponentialgleichungen lassen sich ggf. mit Hilfe des ln lösen.
f(x) = ex
+∞
ln
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
lim
x→−∞
1,5ex
−1( )= −1
lim
x→+∞
1,5ex
−1( )= +∞
lim
x→−∞
ex
= 0 ; lim
x→+∞
ex
= +∞
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f(x) = ex

4. Analysis – Exponentialgleichungen
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Bsp 1:
ex
= 3 |ln
lnex
= ln3
xlne = ln3
!
"
#
$
%
&
x = ln3
Bsp 3 :
(2x2
− 2)ex+1
>0
! = 0
2x2
− 2 = 0
2x2
= 2
x2
=1
x1,2
= ±1
Exponentialgleichungen lösen
durch beidseitiges Logarithmieren:
Bsp 2 :
ex−1
= 3 |ln
lnex−1
= ln3
(x −1)lne = ln3
"
#
$
%
&
'
x −1= ln3
x = ln(3) +1
Bei Produkten die einzelnen
Faktoren betrachten:
0,95n
≤ 0,05
nln0,95 ≤ ln0,05 |:ln0,95 (!!! ln0,95 < 0)
n ≥
ln0,05
ln0,95
In der Stochastik :

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Analysis – Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen
y=2e2x-2-2
Streckung/Stauchung y-Richtung
y=2ex
a=2: Streckung in y-Richtung
Streckung/Stauchung x-Richtung
y=e2x
b=2: Stauchung in x-Richtung
Verschiebung in x-Richtung
y=ex-2
c=2: Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
Verschiebung in y-Richtung
y=ex
-2
d=-2: Verschiebung um 2 Einheiten nach unten
y=f(x)
y=ex
y = a⋅ f b⋅ x − c( )+ d

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Analysis – Ableitung + Aufleitung e-Funktionen
f(x) = eax
f '(x) = a ⋅ eax
f ''(x) = a2
⋅eax
F(x) =
1
a
eax
f(x) = e3x
g(x) =
2
e5x
= 2e−5x
f '(x) = 3e3x g'(x) = 2e−5x
⋅(−5) = −10e−5x
f ''(x) = 9e3x
g''(x) = −10e−5x
⋅(−5) = 50e−5x
F(x) =
1
3
e3x
G(x) = 2⋅
1
−5
⋅e−5x
= −
2
5
e−5x
a∈IR{0}

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Analysis – Exponentialfunktion
•F(x)=
•Integral:
Stammfunktion
•D=IR
•f(x)=
•W=]-1; [
•Schnittpunkt mit y-Achse: P(0|0,5)
•Nullstelle: x=
Funktion f mit
• f‘=
•f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> Graph von f ist
streng monoton steigend
•f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> keine Extremwerte
1. Ableitung
•f‘‘(x)=
•f‘‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> Graph von f ist
linksgekrümmt
•f‘‘(x)≠0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> keine
Wendepunkte
2. Ableitung
•f‘‘‘(x)=
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) = ex
+C
f(x) = ex
f '(x) = ex
f ''(x) = ex
f '''(x) = ex
f(x) =1,5ex
−1
1,5ex
f(x)dx =
0
1
∫ F(1) −F(0) ≈ 1,58
1,5ex
−1
+∞
ln
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1,5ex
1,5ex
1,5ex
− x
lim
x→−∞
1,5ex
−1( )= −1
lim
x→+∞
1,5ex
−1( )= +∞