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- 2. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Gerade - Gerade www.vom-mathelehrer.de 2 Linear abhängige Richtungsvektoren der Geraden ja nein Liegt der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Geraden (Punktprobe)? ja nein Identische Geraden Echt parallele Geraden Geraden gleichsetzen: Existiert genau eine Lösung? ja nein Schnittpunkt Windschiefe Geraden
- 3. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Parallele Geraden www.vom-mathelehrer.de 3 Liegt der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Geraden (Punktprobe)? ja nein Identische Geraden Echt parallele Geraden z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 4 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; f : X !" = −2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 4 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = k ⋅ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → 4 = 2k ↔k = 2 → 6 = 3k ↔ k = 2 → 2 = k lin. abh. Richtungsvektoren Punktprobe : −2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 4 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → −2 = 2+ 4λ ↔ λ = −1 → −5 =1+ 6λ ↔ λ = −1 → 1= 3+ 2λ ↔ λ = −1 → Aufpunkt von f liegt auf g. → g = f z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 4 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; f : X !" = 2 5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 4 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = k ⋅ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → 4 = 2k ↔k = 2 → 6 = 3k ↔ k = 2 → 2 = k lin. abh. Richtungsvektoren Punktprobe : 2 5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 4 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → 2 = 2+ 4λ ↔ λ = 0 → 5 =1+ 6λ ↔ λ = 2 3 → 1= 3+ 2λ ↔ λ = −1 Widerspruch → Aufpunkt von f liegt nicht auf g. → g und f sind echt parallel zueinander.
- 4. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Nicht parallele Geraden www.vom-mathelehrer.de 4 Geraden gleichsetzen: Existiert genau eine Lösung? ja nein Schnittpunkt Windschiefe Geraden z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; f : X !" = −2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = k ⋅ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ →1= 2k ↔k = 0,5 → 6 = 3k ↔ k = 2 → 5 = k lin. unabh. Richtungsvektoren Geraden gleichsetzen: 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → 2+ λ = −2+ 2µ ↔ λ = −4+ 2µ →1+ 6(−4+ 2µ) = −5+ 3µ ↔ µ = 2 → λ = 0 → Pr obe : 3+ 0⋅5 =1+ 2⋅1 → Es exsitiert ein Scnittpunkt S → S !" = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 0⋅ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; S(2 |1| 3) (hier : Aufpunkt von g) z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; f : X !" = 2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = k ⋅ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ →1= 2k ↔k = 0,5 → 6 = 3k ↔ k = 2 → 5 = k lin. unabh. Richtungsvektoren Geraden gleichsetzen: 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → 2+ λ = 2+ 2µ ↔ λ = 2µ →1+ 6⋅ 2µ = −5+ 3µ ↔ µ = − 2 3 → λ = − 4 3 → Pr obe : 3+ 5⋅ − 4 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≠1+1⋅ − 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ → Es exsitiert kein Scnittpunkt → Geraden sind windschief zueinander.
- 5. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Gemeinsame Lotgerade www.vom-mathelehrer.de 5 z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; f : X !" = 2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → Geraden sind windschief zueinander (s.o.). z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; f : X !" = 2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ nl !" = u " × v " = 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ × 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −9 8 −9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ (Richtungsvektor der Lotgeraden) nE !"! = nl !" ×u " = −9 8 −9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ × 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 94 36 −62 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2⋅ 47 18 −31 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ E : 47 18 −31 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # X !" − 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 47x1 +18x2 − 31x3 −19 = 0 Aufpunkt S der Lotgeraden: f ∩E = {S} : 47(2+ 2µ) +18(−5+ 3µ) − 31(1+µ) −19 = 0 117µ − 46 = 0 µ = 46 117 S !" = 2 −5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 46 117 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 326 117 − 149 39 163 117 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ → l: X !" = 326 117 − 149 39 163 117 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + σ −9 8 −9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ u → v → nl → nE →
- 6. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Gerade zu Ebene www.vom-mathelehrer.de 6 Der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene sind linear abhängig besitzen skalarmultipliziert den Wert 0 weder noch Gerade steht senkrecht auf der Ebene Die Gerade ist parallel zur Ebene (Punktprobe, ob Gerade in Ebene) Es existiert genau ein Schnittpunkt
- 7. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Gerade zu Ebene www.vom-mathelehrer.de 7 Gerade steht senkrecht auf der Ebene Die Gerade ist parallel zur Ebene (Punktprobe, ob Gerade in Ebene) Es existiert genau ein Schnittpunkt z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; E : x1 + 6x2 + 5x3 + 8 = 0 u ! = n ! → g ⊥ E Schnittpunkt : (2+ λ) + 6(1+ 6λ) + 5(3+ 5λ) + 8 = 0 31+ 62λ = 0 λ = −0,5 S "! = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 0,5 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 1,5 −2 0,5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; S(1,5 | −2 | 0,5) z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; E :5x2 − 6x3 + 8 = 0 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 0 5 −6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =1⋅0+ 6⋅5 − 5⋅ 6 = 0 → g || E Echt parallel oder g ⊂ E? 5⋅1− 6⋅3+ 8 = −5 ≠ 0 → g echt parallel zu E. z.B.: g: X → = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; E : x1 + 5x2 − 6x3 + 8 = 0 2+ λ + 5(1+ 6λ) − 6(3+ 5λ) + 8 = 0 −3+ λ = 0 λ = 3 Schnittpunkt : S !" = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 3 1 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 5 19 18 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; S(5 |19 |18)
- 8. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Gerade zu Kugel www.vom-mathelehrer.de 8 Punkt – Punkt Beziehung: Ist der Abstand des Mittelpunkts der Kugel von der Geraden größer als der Kugelradius Genau so lang wie der Kugelradius Kürzer als der Kugelradius Passante Tangente Sekante
- 9. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Gerade zu Kugel - Schnitt-/Berührpunkt www.vom-mathelehrer.de 9 Tangente Sekante z.B.: g: X → = 4 2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 2 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; K : X !" − 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 2 = 9 (x1 − 2)2 +(x2 −1)2 +(x3 − 3)2 = 9 (4+ 2λ − 2)2 +(2+ λ −1)2 +(5+ 2λ − 3)2 = 9 (2+ 2λ)2 +(1+ λ)2 +(2+ 2λ)2 = 9 4+ 8λ + 4λ2 +1+ 2λ + λ2 + 4+ 8λ + 4λ2 = 9 9+18λ + 9λ2 = 9 9λ2 +18λ = 0 (Quadratische Gleichung lösen) 9λ(λ + 2) = 0 λ1 = 0 ; λ2 = −2 S1 !"! = 4 2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; S2 ! "! = 4 2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2 2 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ S1 (4 | 2 | 5) ; S2 (0 | 0 |1) z.B.: g: X → = 4 2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 1 −2 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; K : X !" − 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 2 = 9 (x1 − 2)2 +(x2 −1)2 +(x3 − 3)2 = 9 (4+ λ − 2)2 +(2− 2λ −1)2 +(5 − 3)2 = 9 (2+ λ)2 +(1− 2λ)2 + 22 = 9 4+ 4λ + λ2 +1− 4λ + 4λ2 + 4 = 9 9+ 5λ2 = 9 5λ2 = 0 (Quadratische Gleichung lösen) λ1,2 = 0 S1 !"! = 4 2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; S1 (4 | 2 | 5) (Berührpunkt)