Kurvendiskussion

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Analysis
Kurvendiskussion
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Nicht alle Funktionen lassen sich so einfach nach diesem Konzept abhandeln!
(Außnahmen bestätigen die Regel!)

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Definitionsbereich
• Falls kein Definitionsbereich angegeben oder zu bestimmen ist, wird stets der maximal
mögliche gewählt
• Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktion): Dmax=IR
• Bei gebrochenrationalen Funktionen: Definitionslücken beachten („Nenner darf nicht den
Wert 0 besitzen“)
• Bei Wurzelfunktionen: Radikand (Term unter der Wurzel) muss ≥ 0 sein
• Bei Logarithmusfunktionen: Argument muss > 0 sein;
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Analysis – Kurvendiskussion I
f(x) = g(x) ; g(x) ≥ 0
f(x) = ln g(x)( ) ; g(x) > 0
f(x) =
3x4
− x3
+ 2
x2
−1
=
3x4
− x3
+ 2
(x +1)(x −1)
(x +1)(x −1) = 0
x1
= −1 ; x2
=1
Df
= IR {−1 ; 1}
f(x) = ln(3x + 4)
3x + 4 > 0
3x > −4
x > −
4
3
Df
=]−
4
3
; ∞[
f(x) = 2x −1
2x −1≥ 0
2x ≥1
x ≥
1
2
Df
= [
1
2
; +∞[

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Symmetrieeigenschaften
• f(-x)=f(x) -> Der Graph ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse
• f(-x )=-f(x) -> Der Graph ist punktsymmetrisch bzgl. (0|0)
• Merke: Besitzt ein Polynom nur gerade Exponenten -> Achsensymmetrie Besitzt ein Polynom
nur ungerade Exponenten -> Punktsymmetrie
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Analysis – Kurvendiskussion II

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Analysis – Kurvendiskussion III
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
• Untersuche:
• Gebrochenrationale Funktionen besitzen eine waagrechte Asymptote
(„Zählergrad ≤ Nennergrad“) oder eine schräge Asymptote („Zählergrad =
Nennergrad +1“) oder eine Asymptotenkurve (an Summenform des
Funktionsterms ablesen oder mittels Polynomdivision ermitteln)
• Falls die Funktion eine Definitionslücke x0 besitzt, dann untersuche das
Verhalten von f(x) für
(linksseitige und
rechtsseitige Annäherung): Man erhält eine
Unendlichkeitsstelle (Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel) mit einer
senkrechten Asymptote x=x0 oder eine behebbare Definitionslücke (Faktor
x-x0 lässt sich kürzen) mit einer Lücke im Graphen.
lim
x→+∞
f(x) und lim
x→−∞
f(x)
lim
x→
>
x0
f(x) und lim
x→
<
x0
f(x)
f(x) =
1
x − 2
+1
g(x) =
x2
−1
x
h(x) =
x2
−1
x +1
=
(x +1)(x −1)
x +1
= x −1
x = −1 (hebbare Lücke)

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Analysis – Kurvendiskussion IV
Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen
• Mit der y-Achse: bestimme f(0)
• Mit der x-Achse: für die Nullstelle einer Funktion gilt f(x)=0
• Bei Polynomen mit Grad ≥3: eine Lösung x0 durch Probieren
finden, dann Polynomdivision durchführen: f(x):(x-x0)=...
Günstig: f(x) so weit wie möglich faktorisieren [z.B. f(x)=2(x-
3)2(x+3)].
• Bei einfachen, dreifachen, ... Nullstellen Vorzeichenwechsel
von f(x) -> Graph schneidet x-Achse.
• Bei doppelten, vierfachen, ... Nullstellen kein
Vorzeichenwechsel (VZW) von f(x) -> Graph berührt die x-
Achse
• Bei rationalen Funktionen: bestimme die Nullstellen des
Zählers.
• Bei Logarithmusfunktionen: f(x)=ln(g(x)) ; g(x) muss Wert 1
haben.
• Bei Wurzelfunktionen: g(x) muss Wert 0 haben.f(x) = g(x)

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Analysis – Kurvendiskussion V
Extrempunkte und Monotonieverhalten
•Bilde die erste Ableitung f‘(x) und bestimme deren Nullstellen -> Stellen mit
waagrechter Tangente (Vorsicht: Es ist noch keine Aussage über
Extrempunkte möglich!)
•Rezept 1:
•f‘(x)=0 und VZW der 1. Ableitung „von + nach –“ -> Hochpunkt H(x0|f(x0))
•f‘(x)=0 und VZW der 1. Ableitung „von – nach +“ -> Tiefpunkt T(x0|f(x0))
•Rezept 2: (nur, wenn 2. Ableitung „einfach“ gebildet werden kann)
•f‘(x0)=0 und f‘‘(x0)<0 ->Hochpunkt H(x0|f(x0))
•f‘(x0)=0 und f‘‘(x0)>0 ->Tiefpunkt T(x0|f(x0))
•Erstelle eine Vorzeichentabelle von f‘(x) und bestimme damit das
Monotonieverhalten. Grenzen der Monotonieintervalle sind die Nullstellen
von f‘ (falls dort VZW) und ggf. Definitionslücken von f‘.
•f‘(x)<0 für ein Intervall I -> Graph ist streng monoton fallen im Intervall
•f‘(x)>0 für ein Intervall I -> Graph ist streng monoton steigend im Intervall
•Randextrema beachten, wenn die Funktion in einem abgeschlossenen
Intervall definiert ist.

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Analysis – Kurvendiskussion VI
Wendepunkte und Krümmungsverhalten
• Bilde die zweiteAbleitung f‘‘(x) und bestimme deren Nullstellen -
> Stellen an denen keine Krümmung vorliegt (Vorsicht: Es ist noch
keine Aussage über Wendepunkte möglich!)
• Rezept 1:
f‘‘(x)=0 und VZW der 2. Ableitung -> Wendepunkt W(x0|f(x0))
• Rezept 2: (nur, wenn 3. Ableitung „einfach“ gebildet werden
kann)
f‘‘(x0)=0 und f‘‘‘(x0)≠0 -> Wendepunkt W(x0|f(x0))
• Erstelle eine Vorzeichentabelle von f‘‘(x) und bestimme damit das
Krümmungsverhalten. Am Wendepunkt erfolgt ein
Krümmungswechsel; Die Steigung des Graphen hat dort ein
lokales Extremum. Sonderfall: Terrassenpunt T ist ein
Wendepunkt mit waagrechter Tangente (An dieser Stelle gilt
f‘(x)=0).

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Analysis – Kurvendiskussion VII
Graph und Wertemenge
• Platzbedarf/Maßstab überlegen
• Markante Punkte einzeichnen: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte
• Ggf. weitere Funktionswerte berechnen (Wertetabelle des Taschenrechners nutzen)
• Asymptoten einzeichnen
• Krümmungsverhalten berücksichtigen
• Wertemenge mit Hilfe der globalen Extrema sowie des Verhaltens an den Rändern des
Definitionsbereichs bestimmen