Kombinatorik

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Stochastik
Kombinatorik
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Stochastik - Kombinatorik
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Kombinatorik
Mit Reihenfolge,
mit Zurücklegen
Mit Reihenfolge,
ohne Zurücklegen
Ohne Reihenfolge,
ohne Zurücklegen
(Ziehen mit einem Griff)
n
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
nk
n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k +1) =
n!
(n−k)!
Sonderfall:
n mal Ziehen aus n Kugeln: n!

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Kombinatorik - Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen
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42
1 3
Zufallsexperiment:
Es werden aus nebenstehender Urne mit 4 unterscheidbaren Kugeln 2
Kugeln mit Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge der Ziffern
notiert wird.
n=4, k=2
Ω= {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4)}
|Ω| = nk= 42 = 4 · 4 = 16
Beispiele:
• Drehen eines Glücksrades
• Würfeln
• Münwurf
• Multiple-Choise-Test mit gleich vielen Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage
• Random-Playlist abspielen
• Pin mit n Stellen (z.B. Smartphone mit 6 Stellen)

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Kombinatorik - Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen
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42
1 3
Ω= {(1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,4); (4,1); (4,2); (4,3)}
|Ω|=n·(n-1)= 4 · 3 = 12 Alternative: |Ω|=
Beispiele:
• Zieleinlauf beim Pferderennen/100m Lauf für die ersten drei Plätze
• Freie Parkplätze für Autos
Zufallsexperiment:
Es werden aus nebenstehender Urne mit 4 unterscheidbaren Kugeln 2
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge der Ziffern
notiert wird.
n=2, k=2
n!
(n−k)!
=
4!
(4 − 2)!
=
4⋅3⋅ 2⋅1
2⋅1
= 4⋅3 =12

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Kombinatorik – Wahrscheinlichkeitsberechnung (Baumdiagramm, Pfadregeln)
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Die 1. Pfadregel besagt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen kann, indem
man die Teilwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades miteinander multipliziert.
Die 2. Pfadregel besagt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen kann,
indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse miteinander addiert.
Hat man die Wahrscheinlichkeit P(A) des Ereignisses A berechnet, so gilt für das Gegenereignis :A
P(A) =1−P(A)
+

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Kombinatorik – Wahrscheinlichkeitsberechnung (Baumdiagramm, Pfadregeln)
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P(A) =
4
10
⋅
4
10
+
6
10
⋅
6
10
= 0,52 = 52%
In einer Urne befinden sich 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln
mit Zurücklegen ohne Zurücklegen
gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, des Ereignisses
A: „Es wird zweimal die gleiche Farbe gezogen.“
P(A) =
4
10
⋅
3
9
+
6
10
⋅
5
9
=
7
15
≈ 46,7%
+ +
Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht zwei gleiche Farben gezogen werden beträgt:
P(A) =1−P(A) =1−0,52 = 0,48 = 48% P(A) =1−P(A) =1−
7
15
=
8
15
≈ 53,3%

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Kombinatorik – Mindestens oder Höchstens eins: Hinweis Gegenereignis
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P(A) =1−P(A) =1−
36
100
=
64
100
= 64% P(A) =1−P(A) =1−
30
90
=
60
90
=
2
3
≈ 66,7%
In einer Urne befinden sich 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln
mit Zurücklegen ohne Zurücklegen
gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, des Ereignisses
A: „Es wird mindestens einmal eine weiße Kugel gezogen.“
-> Gegenereignis: „Es wird keine weiße Kugel (nur schwarze Kugeln) gezogen.“

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Kombinatorik - Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen
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Beispiele:
• Wie oft klingeln die Gläser, wenn jede der n Personen genau einmal mit jeder anderen Person
anstößt? (k=2)
• Eine Auswahl von k aus n Personen
42
1 3 5
Zufallsexperiment:
Es werden aus nebenstehender Urne mit 5 unterscheidbaren Kugeln 2 Kugeln
ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge der Ziffern nicht beachtet
wird bzw.
Es werden 2 Kugeln gleichzeitig aus einer Urne mit 5 unterscheidbaren
Kugeln gezogen.
n=5, k=2
Würde man die Reihenfolge beachten, so hätte man 5·4=20 mögliche
Anordnungen. Beachtet man jedoch die Reihenfolge nicht, so stellen
beispielsweise 24 und 42 das gleiche Ergebnis dar. Man teilt also in diesem Falle
die 20 Anordnungen durch 2 und es gilt:
Ω= {(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,3); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5); (4,5)}
|Ω|=n · (n - 1) · … · (n - k + 1)
k!
=
n !
k!⋅(n-k)!
= n
k
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
5⋅ 4
2
=
5!
2!⋅3!
=
5
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =10 (Taschenrechner : n nCr⎡
⎣
⎤
⎦
SHIFT :
k)

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Kombinatorik - Ohne Reihenfolge: Wahrscheinlichkeitsberechnung
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Zufallsgröße X: Anzahl der
schwarzen Kugeln
5 schwarze
9 Kugeln
4 weiße
Ziehe 6 Kugeln mit einem
Griff aus der Urne. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit 4
schwarze Kugeln zu ziehen?
S schwarze
N Kugeln
N-S weiße
Ziehe n Kugeln mit einem
Griff aus der Urne. Wir groß
ist die Wahrscheinlichkeit s
Schwarze Kugeln zu ziehen?
1 5
72
3
4
6
8
9
Anzahl der
Möglichkeiten,
6 von 8 Kugeln zu
ziehen
Anzahl der
Möglichkeiten,
4 der 5 schwarzen
Kugeln zu ziehen
Anzahl der
Möglichkeiten,
2 der 3 weißen
Kugeln zu ziehen
P(X = 4) =
5
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⋅ 4
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
9
6
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
P(X = s) =
S
s
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⋅ N−S
n− s
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
N
n
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟

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Bundesland Jahr Aufgabengruppe Teil Teilaufgabe
Bayern 2019 1 A 1
Bayern 2018 2 B 2a
Bayern 2017 1 B 2a
Bayern 2016 2 A 2a, b
Stochastik - Kombinatorik