Markante Punkte im KOSY

1. www.vom-mathelehrer.de
Analysis
Besondere Punkte des Graphen
(Monotonie- und
Krümmungsverhalten)
www.vom-mathelehrer.de 1

2. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 2
Analysis – Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Schnittpunkt
mit der
x-Achse y-Achse
Funktionsterm soll den Wert 0
besitzen: f(x)=0
-> Nullstellen
y-Wert der Nullstelle besitzt der
Wert 0
-> Schnittpunkt mit der
x-Achse: Sx(x0|0)
x-Koordinate besitzt den Wert 0
f(0)=y0
-> Schnittpunkt mit der y-Achse:
Sy(0|y0)

3. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 3
Analysis – Monotonieverhalten
Nullstellen
•Bestimme die erste Ableitung und deren Nullstellen
•Diese sind Grenzen der Monotonieintervalle, falls dort ein VZW der ersten
Ableitung vorliegt (ergibt sich erst später)
Definitions-
lücken
•Beachte die Definitionslücken der Funktion
•Dies sind Grenzen der Monotonieintervalle
Vorzeichen-
tabelle
•f‘(x)<0 für ein Intervall I -> Graph ist streng monoton fallen im Intervall
•f‘(x)>0 für ein Intervall I -> Graph ist streng monoton steigend im Intervall
•Am Extrempunkt ändert sich die Steigung der Funktion!
„NuDe Vorzeichen“
ist die EselsbrückeVZW: Vorzeichenwechsel

4. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 4
Analysis – Extrem- und Terrassenpunkte
Nullstelle x0 der ersten
Ableitung
Prüfung mit Hilfe der
Vorzeichentabelle der ersten
Ableitung
(Monotonieverhalten)
Prüfung mit Hilfe der zweiten
Ableitung
An dieser Stelle besitzt der
Graph von f die Steigung 0
(waagr. Tangente)
x
f‘(x)
Gf
<0 >0
x0
TIP
=0
x
f‘(x)
Gf
>0 <0
x0
HOP
=0
x
f‘(x)
Gf
<0 <0
x0
TEP
=0
x
f‘(x)
Gf
>0 >0
x0
TEP
=0
f‘‘(x0)>0
-> TIP
f‘‘(x0)<0
-> HOP
f‘‘(x0)=0
-> Keine Aussage möglich
-> Vorzeichentabelle
(Monotonieverhalten)

5. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 5
Analysis – Wendepunkte
Nullstellen x0 der zweiten
Ableitung
Prüfung mit Hilfe der
Vorzeichentabelle der
zweiten Ableitung
(Krümmungsverhalten)
Prüfung mit Hilfe der dritten
Ableitung
An diesen Stellen
besitzt der Graph
von f keine
Krümmung
x
f‘‘(x)
Gf
<0 >0
x0
WEP
=0
x
f‘‘(x)
Gf
>0 <0
x0
WEP
=0
x
f‘‘(x)
Gf
>0 >0
x0
=0
x
f‘‘(x)
Gf
<0 <0
x0
=0
f‘‘‘(x0)≠0
-> WEP
f‘‘‘(x0)=0
-> keine Aussage möglich
-> Vorzeichentabelle
(Krümmungsverhalten)
z.B: f(x)=x5; g(x)=x6

6. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 6
Analysis – Krümmungsverhalten
Nullstellen
•Bestimme die zweite Ableitung und deren Nullstellen
•Diese sind Grenzen der „Krümmungs“-Intervalle, falls dort ein VZW der
zweiten Ableitung vorliegt (ergibt sich erst später)
Definitions-
lücken
•Beachte die Definitionslücken der Funktion
•Dies sind Grenzen der „Krümmungs“-Intervalle
Vorzeichen-
tabelle
•f‘‘(x)<0 für ein Intervall I -> Graph ist rechtsgekrümmt
•f‘‘(x)>0 für ein Intervall I -> Graph ist linksgekrümmt
•Am Wendepunkt erfolgt ein Krümmungswechsel
•Sonderfall: Terrassenpunt T ist ein Wendepunkt mit waagrechter
Tangente (An dieser Stelle gilt f‘(x)=0).
„NuDe Vorzeichen“
ist die EselsbrückeVZW: Vorzeichenwechsel

7. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 7
Analysis – NEW NEW NEW (Merkhilfe)
NEW
NEW
NEW
Funktion
1. Ableitung
2. Ableitung
Extremum
Nullstelle
mit VZW
Max. f‘‘<0
Min. f‘‘>0
oder
Wendestelle
Extremum in
1. Ableitung
Nullstelle
mit VZW
f‘‘‘≠0
oder
WEP
m=0
m=0
m=0
f’’(x)<0
f’’(x)>0
N: Nullstelle
E: Potentielles Extremum
W: Potentieller Wendepunkt
VZW: Vorzeichenwechsel
wenn wenn