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- 2. www.vom-mathelehrer.de Geometrie - Punkt und Ortsvektor www.vom-mathelehrer.de 2 Ein Punkt im dreidimensionalen Raum besitzt eine x1-, eine x2- und eine x3-Koordinate Allgemein: P(p1 |p2 |p3 ) Beispiel: A(2 | 3 |1) B(−1| 0 | 3) C(4 | −2 | −1) Der Ortsvektor eines Punktes verläuft vom Koordinatenursprung aus zu diesem Punkt. Allgemein: P → = p1 p2 p3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Bsp : A → = 0A → = 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; B → = −1 0 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; C → = 4 −2 −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
- 3. www.vom-mathelehrer.de Eine Gerade ist gegeben durch: Einen Punkt (Aufpunkt) und den Richtungsvektor Zwei Punkte (Ein Punkt ist Aufpunkt; Verbindungsvektor der Punkte ist Richtungsvektor der Geraden) Geometrie – Gerade und Geradengleichung www.vom-mathelehrer.de 3 Allgemein: g: X → = A → + λ ⋅ u → Beispiel: g: X → = 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ ⋅ −3 −3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Allgemein: g: X → = A → + λ ⋅ AB → Beispiel: g: X → = 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ ⋅ −1− 2 0 − 3 3 −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ ⋅ −3 −3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Jeder Punkt der Geraden g lässt sich erreichen, indem man zu einem Punkt auf der Geraden „geht“ und anschließend einen Vektor auf der Geraden beliebig verlängert oder verkürzt. g: X → = A → + λ ⋅ u → u →
- 4. www.vom-mathelehrer.de Ebene ist gegeben durch Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen Eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt Zwei sich schneidende Geraden Zwei echt parallele Geraden Geometrie - Ebene www.vom-mathelehrer.de 4 Das Aufstellen einer Ebenengleichung, egal welcher Form, wird zurückgeführt auf einen Punkt in der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren. Aus diesen lässt sich ggf. der Normalenvektor der Ebene mit Hilfe des Vektorprodukts berechnen. Beispiel: Aufpunkt: A Richtungsvektoren: AB → und AC → Beispiel: Aufpunkt: B Richtungsvektoren: und Richtungsvektor der Geraden g AB → Beispiel: Aufpunkt: A Richtungsvektoren: Richtungsvektoren der Geraden g und h Beispiel: Aufpunkt: B Richtungsvektoren: und Richtungsvektor der Geraden
- 5. www.vom-mathelehrer.de Darstellungsformen der Ebenengleichung Parameterform Normalenform Vektordarstellung Koordinatendarstellung Geometrie - Ebenengleichung www.vom-mathelehrer.de 5 Allgemein: E : X → = A → + λ ⋅ u → + µ ⋅ v → Beispiel: E : X → = 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ ⋅ −3 −3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 −5 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Allgemein: E : n → ! X → − A →⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 0 Beispiel: E : 16 −2 21 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! x1 x2 x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 Allgemein: E :n1 x1 +n2 x2 +n3 x3 −(n1 a1 +n2 a2 +n3 a3 ) = 0 Beispiel: E :16x1 − 2x2 + 21x3 −(16⋅ 2− 2⋅3+ 21⋅1) = 0 E :16x1 − 2x2 + 21x3 − 47 = 0 u →v → n →
- 6. www.vom-mathelehrer.de Geometrie - Umwandeln von Ebenengleichungen www.vom-mathelehrer.de 6 Allgemein: E : X → = A → + λ ⋅ u → + µ ⋅ v → Beispiel: E : X → = 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ ⋅ −3 −3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 2 −5 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Allgemein: E : n → ! X → − A →⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 0 E :n1 x1 +n2 x2 +n3 x3 −(n1 a1 +n2 a2 +n3 a3 ) = 0 Beispiel: E : 16 −2 21 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! x1 x2 x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 E :16x1 − 2x2 + 21x3 −(16⋅ 2− 2⋅3+ 21⋅1) = 0 E :16x1 − 2x2 + 21x3 − 47 = 0 Bestimme n → = u → × v → = −3 −3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ × 2 −5 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 16 −2 21 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Bestimme u → bzw. v → , indem du von n → eine Koordinate gleich 0 setzt, die anderen beiden vertauschst und ein Vorzeichen änderst. u → = 2 16 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; v → = 21 0 −16 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ A erhälst du, indem du Zahlen findest, sodass die Ebenengleichung eine wahre Aussage ist. z.B.: Setze 2 Koordinaten gleich 0 und löse nach der dritten auf : 16⋅0 − 2x2 + 21⋅0 − 47 = 0 x2 = 23,5 A(0 | 23,5 | 0) Beispiel: E : X → = 0 23,5 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ ⋅ 2 16 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 21 0 −16 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Vorsicht! Ebenengleichungen können sich unterscheiden, sind jedoch ineinander überführbar. Deshalb steht in Abiaufgaben: Bestimmen Sie eine Ebenengleichung.
- 7. www.vom-mathelehrer.de Geometrie - Hess‘sche Normalenform www.vom-mathelehrer.de 7 Allgemein: HNFE :± 1 n → n → ! X → − A →⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 0 HNFE :± 1 n → n1 x1 +n2 x2 +n3 x3 −(n1 a1 +n2 a2 +n3 a3 )( )= 0 HNFE : n1 x1 +n2 x2 +n3 x3 −(n1 a1 +n2 a2 +n3 a3 ) ± n1 2 +n2 2 +n3 2 = 0 Beispiel: E : 16 −2 21 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! x1 x2 x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 ; n → = 16 −2 21 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; n → = 701 HNFE : 1 701 16 −2 21 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! x1 x2 x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 HNFE : 1 701 16x1 − 2x2 + 21x3 −(16⋅ 2− 2⋅3+ 21⋅1)( )= 0 HNFE : 1 701 16x1 − 2x2 + 21x3 − 47( )= 0 Ziel: Den Normalenvektor normieren (Länge 1) und weg vom Koordinatenursprung zeigen zu lassen, um - Abstände von Punkten zur Ebene bestimmen zu können - Aussagen über Lagen eines Punktes bzgl. der Ebene treffen zu können (auf der Seite des Ursprungs oder nicht)
- 8. www.vom-mathelehrer.de Geometrie - Hess‘sche Normalenform www.vom-mathelehrer.de 8 E : 2x1 − 3x2 + 5x3 −13 = 0 ; n → = 2 −3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; n → = 38 HNFE : + 1 38 2x1 − 3x2 + 5x3 −13( )= 0 F : 2x1 − 3x2 + 5x3 +13 = 0 ; n → = 2 −3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; n → = 38 HNFF : − 1 38 2x1 − 3x2 + 5x3 +13( )= 0 Wann kommt welches Vorzeichen? Dies ist für Abstandsbestimmungen irrelevant, da hier der Betrag betrachtet der Hess‘schen Normalenform betrachtet wird. Für Aufgaben, die z.B. die Lage eines Punktes bzgl. einer Ebene ermitteln lassen, ist das Vorzeichen jedoch wichtig!
- 9. www.vom-mathelehrer.de Geometrie - Kugel www.vom-mathelehrer.de 9 Allgemein: K : X → −M →⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 2 = r2 (x1 −m1 )2 +(x2 −m2 )2 +(x3 −m3 )2 = r2 Bsp : M(2 | 3 |1); r = 3 (LE) K : X → − 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 2 = 9 (x1 − 2)2 +(x2 − 3)2 +(x3 −1)2 = 9 Bsp : M(2 | 3 |1); A(4 | 5 | 2) (A ∈ K) K : 4 5 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 2 = r2 (4 − 2)2 +(5 − 3)2 +(2−1)2 = r2 22 + 22 +11 = r2 9 = r2 r = 3 (LE) (r = −3 ist im Zusammenhang nicht relevant; es gibt keine "negativen" Strecken.)