Integral, Flächen, Gesamtänderung

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Analysis
Stammfunktion
Integral- und Flächenberechnung
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Analysis – Gesamtänderung
Ist der Verlauf der momentanen Änderungsrate einer Größe durch einen Graphen oberhalb der x-
Achse gegeben, so lässt sich die Gesamtänderung der Größe im Intervall I [a; b] mit Hilfe des
Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse innerhalb von I ermitteln.
Bsp.: Ein Autofahrer fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit und bremst anschließend gleichmäßig ab. Im
Diagramm ist die momentane Geschwindigkeit des Autos dargestellt.
v =
s
t
⇔ s1
= v ⋅ t =15
m
s
⋅ 6 s = 90 m
Im Intervall I1=[0; 6] gilt:
A1
= f(s)ds =
0
6
∫ 6⋅15 = 90 (m)
Im Intervall I1=[6; 18] gilt mit :s =
1
2
⋅a⋅(Δt)2
und a =1,25
m
s2
s2
=
1
2
⋅1,25
m
s2
⋅(12 s)2
= 90 m
A2
= f(s)ds
6
15
∫ =
1
2
⋅12⋅15 = 90 (m)

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Analysis – Stammfunktion und der HDI
Ist die Funktion im Intervall [a; b] definiert, so gilt für die Integralfunktion
:
f : t ! f(t)
Ia
: x ! f(t)dt
a
x
∫
Ia
'(x) = f(x) für x ∈ [a; b]
Kurz: Jede Integralfunktion Ia von f ist eine Stammfunktion von f.
Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt:
• F und f besitzen denselben Definitionsbereich
• F‘(x)=f(x)

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Analysis – Die Integralfunktion
Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion von f.
Aber welche?
Ia
(x) = f(t)dt
a
x
∫
Da sich verschiedene Stammfunktionen von f nur um eine Konstante
unterscheiden, folgt: Ia(x)=F(x)+c
Da Ia(a)=F(a)+c=0 ist, folgt: c=-F(a).
Somit gilt: für die gesuchte Integralfunktion: Ia
(x) = f(t)dt
a
x
∫ = F(x) −F(a)
Ersetzt man die Variable x durch b und dann t durch x, so erhält man die
gewohnte Schreibweise:
Ia
(b) = f(x)dx = F(b) −F(a)
a
b
∫
Wie Stammfunktionen gebildet werden, findest du in anderen Präsentationen.

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Analysis – Eigenschaften von Stammfunktionen und Integralen
1. Gleiche Integrationsgrenze f(x)dx
a
a
∫ = 0
2. Vertauschen der Integrationsgrenzen
f(x)dx
a
b
∫ = − f(x)dx
b
a
∫
3. Abschnittsweise Integration
f(x)dx
a
b
∫ + f(x)dx
b
c
∫ = f(x)dx
a
c
∫
4. Summenregel
f(x) + g(x)( )dx
a
b
∫ = f(x)dx
a
b
∫ + g(x)dx
a
b
∫
5. Faktorregel
k ⋅ f(x)dx
a
b
∫ = k ⋅ f(x)dx
a
b
∫

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Analysis – Eigenschaften von Stammfunktionen und Integralen
Beispiele:
x2
dx = − x2
dx = −
x3
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
1
= −
8
3
−
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
∫
2
1
∫ = −
7
3
x2
dx
1
2
∫ + x2
2
3
∫ dx = x2
dx
1
3
∫ =
x3
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
3
1
=
27
3
−
1
3
=
26
3
(2x − 3)2
0
2
∫ dx = (4x2
−12x + 9)dx = 4⋅
x3
3
− 6x2
+ 9x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
10
2
∫ = 4⋅
23
3
− 6⋅ 22
+ 9⋅ 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟− 0 = ... = 4
2
3

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Analysis – Das Integral
Das Integral liefert die Flächenbilanz der Flächenstücke, die im
Intervall [a; b] zwischen Gf und der x-Achse liegen.
Flächenstücke oberhalb der x-Achse werde positiv,
Flächenstücke unterhalb der x-Achse werden negativ gezählt.
f(x) dx
a
b
∫

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Analysis – Der Integralwert 0
Der Wert des Integrals kann also auch negativ oder null sein.
Z.B.: Für die Sinusfunktion gilt: sinx dx = 0
0
2π
∫

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Analysis – Fläche oberhalb der x-Achse
Das Flächenstück liegt oberhalb der x-Achse.
Ist f(x) ³ 0 in [a;b], so gilt: A = f (x)dx
a
b
∫

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Analysis – Fläche unterhalb der x-Achse
Das Flächenstück liegt unterhalb der x-Achse.
Ist f(x) £ 0 in [a;b], so gilt: A = f (x)dx
a
b
∫

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Analysis – Fläche zwischen Graph und x-Achse
Die Flächenstücke liegen teilweise oberhalb, teilweise
unterhalb der x-Achse.
Wechselt f in [a;b] das Vorzeichen, so ergibt sich
der Inhalt der Fläche durch Addition der Teilflächen:
A = A1 + A2 + A3 = f (x)dx + f (x)dx
b
c
∫
a
b
∫ + f (x)dx
c
d
∫

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Analysis – VORSICHT!
Über Nullstellen und Definitionslücken darf
NICHT hinweg integriert werden!
Diese Stellen müssen ggf. rechnerisch
bestimmt werden!!!

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Analysis – Fläche zwischen Graphen I
Die Graphen der Funktion f und g schneiden sich nicht im Intervall [a;b].
Verläuft im Intervall [a;b] Gf oberhalb von Gg, so gilt für den Inhalt A der
Fläche zwischen Gf und Gg:
A = f (x)− g(x)⎡
⎣
⎤
⎦
a
b
∫ dx
“Oberkurve minus Unterkurve”
Ist nicht bekannt, welcher Graph oberhalb verläuft, nehmen wir den Betrag
des Intervalls!
A = f (x)− g(x)⎡
⎣
⎤
⎦
a
b
∫ dx

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Analysis – Fläche zwischen Graphen II
Die Graphen der Funktion f und g schneiden sich im Intervall [a;b].
Der Inhalt der Fläche zwischen beiden Graphen muss als Summe der
Inhalte der Teilflächen berechnet werden.
1. Schnittstellen bestimmen
2. Teilflächen berechnen (jeweils „Oberkurve – Unterkurve“ und
addieren
A = A1 + A2 + A3 + A4

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Analysis – VORSICHT!
Über Schnittstellen und Definitionslücken
darf NICHT hinweg integriert werden!
Diese Stellen müssen ggf. rechnerisch
bestimmt werden!!!

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Analysis – Das uneigentliche Integral
Wir betrachten die Funktion .f(x) =
2
x2
; Df
= IR+
Was gilt für den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse bei fester Unter-
/Obergrenze, wenn
z immer größer wird? z immer kleiner wird?
A(z) =
2
x2
dx =
1
z
∫ 2x−2
dx =
1
z
∫ −2x−1
dx
1
z
∫
= [−
2
x
]1
z
= −
2
z
+ 2
A(z) =
2
x2
dx =
z
1
∫ −
2
x2
dx =
1
z
∫
= −[−
2
x
]z
1
= −(
2
z
) + 2 = −2+
2
z
lim
z→+∞
A(z) = lim
z→+∞
(−
2
z
+ 2) = 2 lim
z→0
A(z) = lim
z→0
(−2+
2
x
) = +∞