Mississippi Problem

1. www.vom-mathelehrer.de
Stochastik
Kombinatorik - Mississippi
www.vom-mathelehrer.de 1

2. www.vom-mathelehrer.de11 Buchstaben:
s
M s i
i i p p
s i s
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 2

3. www.vom-mathelehrer.de11 Buchstaben:
s
M s i
i i p p
s i s
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben zu verteilen?
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 3

4. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 4

5. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Die erste rote Kugel hat 5 freie Plätze.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 5

6. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Ist der Platz der ersten roten Kugel festgelegt, so habe hat die
zweite rote Kugel noch 4 freie Plätze.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 6

7. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Sind die Plätze der ersten beiden roten Kugel festgelegt,
so hat die dritte rote Kugel noch 3 freie Plätze.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 7

8. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Hat man der dritten roten Kugel einen Platz gegeben, so hat man drei von fünf
Plätzen mit roten Kugeln belegt. „3 aus 5“ sind mit roten Kugeln belegt.
5
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 8

9. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Es bleiben noch zwei Plätze für die blauen Kugeln. Man wählt also zwei aus zwei
Plätze aus.
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 9

10. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Es gibt insgesamt also
5
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
5!
3!⋅ 2!
⋅
2!
2!⋅0!
mögliche Verteilungen.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 10

11. www.vom-mathelehrer.de
Vereinfachtes Urnenmodell
Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 roten und 2
blaue Kugeln nebeneinander anzuordnen?
_ _ _ _ _
Es gibt insgesamt also
5
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
5!
3!⋅ 2!
⋅
2!
2!⋅0!
=
5!
3!⋅ 2!
mögliche Verteilungen. 1
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 11

12. www.vom-mathelehrer.de11 Buchstaben:
s
M s i
i i p p
s i s
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben zu verteilen?
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 12

13. www.vom-mathelehrer.de11 Buchstaben:
s
M s i
i i p p
s i s
Anzahl der einzelnen Buchstaben:
M: n1=1
i : n2=4
s : n3=4
p : n4=2
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 13

14. www.vom-mathelehrer.de11 Buchstaben:
s
M s i
i i p p
s i s
Anzahl der einzelnen Buchstaben:
M: n1=1
i : n2=4
s : n3=4
p : n4=2
M _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Der Buchstabe M, der nur einmal im Wort vorkommt, kann 11 verschiedene Plätze
einnehmen.
11
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ Anordnungsmöglichkeiten
oder
_ _ _ _ _ _ M _ _ _ _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 14

15. www.vom-mathelehrer.de_ _ _ M _ _ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 Möglichkeiten den Buchstaben „M“ anzuordnen.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 15

16. www.vom-mathelehrer.de_ _ _ M _ _ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
11 Möglichkeiten den Buchstaben „M“ anzuordnen.
Ist „M“ erst einmal festgelegt, so kann der Buchstabe „i“, der viermal vorkommt,
nur noch auf 10 Plätze verteilt werden.
Anordnungsmöglichkeiten
4, weil der Buchstabe „i“ genau viermal zu verteilen ist.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 16

17. www.vom-mathelehrer.de
4, weil der Buchstabe „s“ genau viermal zu verteilen ist.
6
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ Anordnungsmöglichkeiten
Ist „M“ und viermal „i“ festgelegt, so kann der Buchstabe „s“, der viermal
vorkommt, nur noch auf 6 Plätze verteilt werden.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 17

18. www.vom-mathelehrer.de
4, weil der Buchstabe „s“ genau viermal zu verteilen ist.
6
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ Anordnungsmöglichkeiten
Ist „M“ und viermal „i“ festgelegt, so kann der Buchstabe „s“, der viermal
vorkommt, nur noch auf 6 Plätze verteilt werden.
Ist „M“ viermal „i“ und viermal „s“ festgelegt, so kann der Buchstabe „p“, der
zweimal vorkommt, nur noch auf 2 Plätze verteilt werden.
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ Anordnungsmöglichkeiten
2, weil der Buchstabe „p“ genau zweimal zu verteilen ist.
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 18

19. www.vom-mathelehrer.de
Berechnung
11
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
10
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
6
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
11!
1!⋅10!
⋅
10!
4!⋅ 6!
⋅
6!
4!⋅ 2!
⋅
2!
2!⋅0!
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 19

20. www.vom-mathelehrer.de
Berechnung
11
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
10
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
6
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
11!
1!⋅10!
⋅
10!
4!⋅ 6!
⋅
6!
4!⋅ 2!
⋅
2!
2!⋅0!
=
=
11!
1!⋅ 4!⋅ 4!⋅ 2!
= 34650 (Möglichkeiten)
1
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 20

21. www.vom-mathelehrer.de
Allgemein
Eine Anordnung von n Objekten, von denen manche nicht unterscheidbar sind
(jeweils k1, k2, ..., ks identische Objekte) lässt sich wie folgt berechnen:
n!
k1
!⋅k2
!⋅...⋅ks
!
Stochastik – Mississippi - Problem
www.vom-mathelehrer.de 21