Gebrochenratrionale Funktionen

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Analysis
Gebrochenrationale Funktionen
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Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
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Analysis – Gebrochenrationale Funktionen
•D=IR{1,5}, da 4x-6=0 für x=1,5 (Nennernullstellen betrachten)
•f(x)=
•Graph: Hyperbel
•Nullstelle: f(x)=0: (Zählernullstellen betrachten)
•Schnittpunkt mit y-Achse: P(0| )
•Asymptoten: x=1,5 (senkrecht) ; y= (waagrecht)
Gebrochenrationale
Funktion
f(x) =
an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
bm
xm
+bm−1
xm−1
+...+b1
x +b0
x = −
2
3
−
1
3 3
4
3x + 2
4x − 6
= (3x + 2)(4x − 6)−1
Graphen gebrochenrationaler Funktionen:
• Brüche lassen sich mit Hilfe von Potenzen mit negativen Exponenten schreiben.
• Die Zahlen, wenn man sie in das Nennerpolynom einsetzt, diesem Nenner den Wert 0 „bescheren“, werden aus der
Definitionsmenge ausgeschlossen.
-> Nennernullstellen bzw. ganze Bereiche aus der der Zahlenmenge IR ausschließen.
• Eine gebrochenrationale Funktion besitzt den Wert 0, wenn das Zählerpolynom den Wert 0 besitzt.
-> Nullstellen werden bestimmt, indem man die Nullstellen des Zählers bestimmt und diese Zahlen in der Definitionsmenge
enthalten sind.
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f(x) =
1
x

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Analysis – Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen
Streckung/Stauchung y-Richtung
a=-1: Spiegelung an x-Achse
Streckung/Stauchung x-Richtung
: Stauchung in x-Richtung
Verschiebung in x-Richtung
c=-1: Verschiebung um 1 Einheiten nach rechts
Verschiebung in y-Richtung
d=1: Verschiebung um 1 Einheit nach oben
y=f(x)
b = 2
y = a⋅ f b⋅ x + c( )+ d
y =
2
x
y = −
2
x −1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+1
y =
1
x
y = −
1
x
y =
1
x −1
y =
1
x
+1

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Analysis – Ableitung +Aufleitung Gebr. rat. Funktion
f(x) =
1
x
= x−1
( )
f '(x) = −
1
x2
= −x−2
( )
f ''(x) =
2
x3
= −(−2)x−3
( )
F(x) = ln| x |
g(x) =
2x
x2
− 3
Nennerableitung
Nenner
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
g'(x) =
−2x2
− 6
x4
− 6x2
+ 9
g''(x) =
4x3
+ 36x
x6
− 9x4
+ 27x2
− 27
G(x) = ln| x2
−3 |
n∈Q{0}
f(x) =
1
x4
= x−4
f '(x) = −4x−5
=
−4
x5
f ''(x) = −4⋅(−5)x−6
=
20
x6
F(x) =
1
−3
x−3
=
1
−3x3

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Analysis – Gebrochenrationale Funktion
• F(x)=
Stammfunktion
• D=IR{1,5}, da 4x-6=0 für x=1,5
• f(x)=
• Graph: Hyperbel
• Nullstelle: f(x)=0:
• Schnittpunkt mit y-Achse: P(0| )
• Asymptoten: x=1,5 (senkrecht) ; y= (waagrecht)
Funktion f mit
• f‘=
• f‘(x)≠0 für alle Werte des Definitionsbereichs-> keine Extrema möglich
• f‘<0 für alle x des Definitionsbereichs -> Graph von f ist in jedem zusammenhängenden Intervall der
Definitionsmenge streng monoton fallend
1. Ableitung
• f‘‘(x)=
• f‘‘(x)≠0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> keine Wendepunkte möglich
• f‘‘(x)<0 für x<1,5 -> Graph von f ist für x<1,5 rechtsgekrümmt
• f‘‘(x)>0 für x>1,5 -> Graph von f ist für x>1,5 linksgekrümmt
2. Ableitung
• f‘‘‘(x)=
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
f(x) =
an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
bm
xm
+bm−1
xm−1
+...+b1
x +b0
Quotient − oder
Produktregel (Nenner mit
negativem Exponenten)
f(x) =
3x + 2
4x − 6
13
8
ln(| 2x −3 |) +
3
4
x
−
13
8x2
− 24x +18
26
8x3
−36x2
+54x − 27
−
156
16x4
−96x3
+ 216x2
− 216x +81
Quotient − oder
Produktregel (Nenner mit
negativem Exponenten)
Quotient − oder
Produktregel (Nenner mit
negativem Exponenten)
3x + 2
4x − 6
x = −
2
3
−
1
3 3
4
falls : f(x) =
g'(x)
g(x)
,
dann: F(x) = ln(| g(x) |) +C
lim
x→−∞
3x + 2
4x − 6
=
3
4
lim
x→+∞
3x + 2
4x − 6
=
3
4
lim
x→1,5
<0
3x + 2
4x − 6
= −∞
lim
x→1,5
>0
3x + 2
4x − 6
= +∞