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09 abiturvorbereitung geometrie schnittwinkel
- 2. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Schnittwinkel zwischen Vektoren www.vom-mathelehrer.de 2 cosα = a ! "b ! | a ! |⋅|b ! | α Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann jede Größe zwischen 0° und 180° annehmen. Möchte man den Gegenwinkel bestimmen, so subtrahiert man den errechneten Winkel von 360°. A(2 |1| 3); B(3 | 5 |1) ; C(4 | 3 | 3) a ! = AB " !"" = 1 4 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; a ! = 21 ; b ! = AC " !"" = 2 2 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b ! = 8 ;c ! = BC " !"" = 1 −2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; c ! = 3 cosα = a ! #b ! a ! b ! 1 4 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # 2 2 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 21⋅ 8 = 10 21⋅ 8 cosβ = a ! #c ! a ! c ! = 1 4 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # 1 −2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 21⋅3 = −11 21⋅3 α = cos−1 10 21⋅ 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ 39,5° β = cos−1 −11 21⋅3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ 143,1° Vorsicht (für die Vorstellung) : Bei der Winkelberechnung zeigen die Vektoren immer weg vom Scheitel! Für Winkel im Dreieck daher auf die Gegenvektoren achten!
- 3. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Schnittwinkel zwischen Geraden www.vom-mathelehrer.de 3 cosα = | a ! "b ! | | a ! |⋅|b ! | Die Schnittwinkelberechnung zwischen zwei Geraden wird auf den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zurückgeführt: - Schnittwinkel zwischen den Richtungsvektoren - Betrag im Zähler, um den spitzen Winkel zu erhalten, da man diesen unter dem Schnittwinkel von Geraden versteht - „Vergisst“ man den Betrag und es ergibt sich ein Winkel über 90°, dann diesen einfach von 180° subtrahieren. α g: X !" = 2 −1 −3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 5 1 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; h: X !" = −4 0 −14 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +µ 4 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ cosα = 5 1 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # 4 3 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 55 ⋅ 26 = 30 55 ⋅ 26 α = cos−1 30 55 ⋅ 26 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ 37,5°
- 4. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Schnittwinkel zwischen Ebenen www.vom-mathelehrer.de 4 cosα = | a ! "b ! | | a ! |⋅|b ! | Die Schnittwinkelberechnung zwischen zwei Ebenen wird auf den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zurückgeführt: - Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren - Wie bei dem Schnittwinkel zwischen Geraden versteht man auch unterm den Schnittwinkel zwischen Ebenen den spitzen Winkel. α α E : 2x1 + 3x2 + 4x3 +1= 0 ; F : 4x2 − 5x3 − 6 = 0 nE !"! = 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; nF !"! = 0 4 −5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ cosα = 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # 0 4 −5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 29 ⋅ 41 = −8 29 ⋅ 41 = 8 29 ⋅ 41 α = cos−1 8 29 ⋅ 41 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ 87,9°
- 5. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene www.vom-mathelehrer.de 5 cosα' = | a ! "b ! | | a ! |⋅|b ! | → α = 90° − α' Die Schnittwinkelberechnung zwischen einer Geraden und einer Ebene wird auf den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zurückgeführt: - Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. - Den spitzen Winkel zwischen den Vektoren ermitteln. - 90° - „errechnetem Winkel“ ist der Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene - (Alternativ lässt sich hier auch mit dem Sinus rechnen) α α‘ Alternative : sinα = | a ! "b ! | | a ! |⋅|b ! | E : 2x1 + 3x2 + 4x3 +1= 0 ; g: X !" = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 3 −2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ nE !"! = 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; u " = 3 −2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; cosα = 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # 3 −2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 29 ⋅ 29 = 16 29 = 16 29 α' = cos−1 16 29 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ 56,5° → α = 90° − α' = 90° − 56,5° = 33,5° E : 2x1 + 3x2 + 4x3 +1= 0 ; g: X !" = 2 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 3 −2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ nE !"! = 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; u " = 3 −2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; sinα = 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ # 3 −2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 29 ⋅ 29 = 16 29 = 16 29 α = sin−1 16 29 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ 33,5°