Wurzelfunktionen

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Analysis
Wurzelfunktion
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Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
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Analysis – Wurzelfunktion
• f(x)=
• D=
• W=IR+
0
• Nullstelle:
Wurzelfunktion
f(x) = x = x
1
2
x − 2 = x − 2( )
1
2
x − 2 = 0 ⇔ x = 2
lim
x→2
>2
x − 2( )= 0
lim
x→+∞
x − 2( )= +∞
[2; +∞[
Df=IR+
0; Wf=IR+
0
• Ist Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion mit y=x2 für x≥0
• Gleichung oft lösbar durch quadrieren (Probe machen!); für nur den Radikanten =0 setzen!
• Für Extremwertprobleme: Der Wert der Wurzel wird maximal, wenn der Wert des Radikanten maximal
wird.
Graphen von Wurzelfunktionen:
f(x) = x
* = 0
f(x) = x

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Analysis – Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen
Streckung/Stauchung y-Richtung
a=-1: Spiegelung an x-Achse
Streckung/Stauchung x-Richtung
: Streckung in x-Richtung
Verschiebung in x-Richtung
c=-2: Verschiebung um 2 Einheiten nach links
Verschiebung in y-Richtung
d=1: Verschiebung um 1 Einheiten nach oben
y=f(x)
b =
2
3
y = a⋅ f b⋅ x − c( )+ d
y = x ; x ≥ 0
y = − x
y =
2
3
x y = x + 2
y = x +1y = −
2
3
x + 2 +1

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Analysis – Ableitung +Aufleitung Wurzelfunktionen I
f(x) = xn
= x
1
n
f '(x) =
1
n
⋅ x
1
n
−1
f ''(x) =
1
n
⋅
1
n
−1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟x
1
n
−2
F(x) =
1
1
n
+1
x
1
n
+1
f(x) = x − 2 = (x − 2)
1
2
f '(x) =
1
2
⋅(x − 2)
−
1
2 =
1
2 x − 2
f ''(x) =
1
2
−
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟(x − 2)
−
3
2 = −
1
4 (x − 2)3
= −
1
4 (x − 2)2
(x − 2)
= −
1
4(x − 2) (x − 2)
F(x) =
1
1
2
+1
(x − 2)
1
2
+1
=
2
3
(x − 2)
3
2 =
2
3
(x − 2)3
=
2
3
(x − 2)2
(x − 2) =
2
3
(x − 2) x − 2
n∈Q{0}

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Analysis – Ableitung + Aufleitung Wurzelfunktionen II
f(x) = xn
= x
1
n
f '(x) =
1
n
⋅ x
1
n
−1
f ''(x) =
1
n
⋅
1
n
−1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟x
1
n
−2
F(x) =
1
1
n
+1
x
1
n
+1
f(x) = x3
= x
1
3 g(x) =
1
x
3 = x
−
1
3
f '(x) =
1
3
x
−
2
3 =
1
3x
2
3
=
x
1
3
3x
2
3x
1
3
=
x3
3x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
g'(x) = −
1
3
⋅ x
−
4
3 = −
1
3
⋅
1
x3
⋅ x3
= −
1
3x x3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
f ''(x) =
1
3
⋅ −
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ x
−
5
3 = −
2
9
x
−
5
3 g''(x) = −
1
3
⋅ −
4
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ x
−
7
3 =
4
9
x
−
7
3
F(x) =
1
1
3
+1
⋅ x
1
3
+1
=
3
4
x
4
3
G(x) =
1
−
1
3
+1
x
−
1
3
+1
=
3
2
x
2
3
n∈Q{0}

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Analysis – Wurzelfunktion
•F(x)=
•Integral:
Stammfunktion
•D=
•f(x)=
•W=IR+
0
•Nullstelle:
Funktion f mit
• f‘=
•f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> Graph von f ist streng
monoton steigend
•f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> keine Extremwerte
1. Ableitung
•f‘‘(x)=
•f‘‘(x)<0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> Graph von f ist
rechtsgekrümmt
•f‘‘(x)≠0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> keine Wendepunkte
2. Ableitung
•f‘‘‘(x)=
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) = xlnx − x +C
f(x) = x = x
1
2
f '(x) =
1
2
x
−
1
2 =
1
2 x
f ''(x) = −
1
4
x
−
3
2 = −
1
4 x3
f '''(x) =
3
8
x
−
5
2 =
3
8 x5
f(x) = x − 2
1
2 x − 2
f(x)dx =
3
5
∫ F(5) −F(3) ≈ 2,8
x − 2 = x − 2( )
1
2
x − 2 = 0 ⇔ x = 2
−
1
4 (x − 2)3
3
8 (x − 2)5
2
3
(x − 2)3
lim
x→2
>2
x − 2( )= 0
lim
x→+∞
x − 2( )= +∞
[2; +∞[