Winkelfunktionen

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2. Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
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Analysis – Trigonometrische Funktionen
•f(x)=
•D=IR
•W=[-2; +2] -> Amplitude: 4
•Periode P: 2π
•Verschiebung in x-Richtung: +1
•Nullstellen:
Trigonometrische
Funktion
f(x) = sinx
2sin(x −1)
x −1= kπ ⇔ xk
= kπ +1
P =
2π
|b |
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x = kπ +
1
2
π
Graphen von trigonometrischen Funktionen:
f(x)=sin(x)
• Df=IR
• Nullstellen: für sin: ; für cos:
• Periodenlänge:
x = kπ
f(x) = sinx

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Analysis – Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen
y=-3sin(-3x-3)-3
Streckung/Stauchung y-Richtung
y=-3sin(x)
a=-3: Spiegelung an x-Achse; Streckung
Streckung/Stauchung x-Richtung
y=sin(-3x)
b=-3: Spiegelung an y-Achse; Stauchung
Verschiebung in x-Richtung
y=sin(x-3)
c=3: Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts
Verschiebung in y-Richtung
y=sin(x)-3
d=-3: Verschiebung um 3 Einheiten nach unten
y=f(x)
y=sin(x)
a<-1
b<-1 c>0
d<0
y = a⋅ f b⋅ x − c( )+ d

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Analysis – Ableitung Trigonometrische Funktionen
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sin(x) (sin(x))‘
cos(x)
(cos(x))‘
(-sin(x))‘ -sin(x)
-(cos(x))‘
-cos(x)
f(x) = 2sin(3x −1) +0,5
f '(x) = 2sin(3x −1)⋅3
= 6sin(3x −1)
f ''(x) = 6(−sin(3x −1))⋅3
= −18sin(3x −1)
f '''(x) = −18sin(3x −1)⋅3
= −54cos(3x −1)
g(x) = −0,5cos(2x +3)
g'(x) = 0,5sin(2x +3)⋅ 2
= sin(2x +3)
g''(x) = cos(2x +3)⋅ 2
= 2cos(2x +3)
g'''(x) = 2(−sin(2x +3)⋅ 2)
= −4sin(2x +3)

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Analysis – Aufleitung Trigonometrische Funktionen
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sin(x)
cos(x)
-sin(x)
-cos(x)
f(x) = 2sin(3x + 4)
i(x) = 2cos(3x + 4)
G(x) = −
2
3
sin(3x + 4)
F(x) = 2⋅
1
3
⋅(−cos(3x + 4)
= −
2
3
cos(3x + 4)
g(x) = −2cos(3x + 4)
= 2(−cos(3x + 4))
I(x) =
2
3
sin(3x + 4)
H(x) =
2
3
cos(3x + 4)
h(x) = −2sin(3x + 4)

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Analysis – Trigonometrische Funktionen
•F(x)=
•Integral:
Stammfunktion
•D=IR
•f(x)=
•W=[-2; +2] -> Amplitude: 4
•Periode P: 2π
•Verschiebung in x-Richtung: +1
•Nullstellen:
Funktion f mit
• f‘=
•f‘(x)=0:
•Extremstellen an den Nullstellen von f‘, da jede mit VZW
1. Ableitung
•f‘‘(x)=
•f‘‘(x)=0:
•Wendepunkte an den Nullstellen von f‘‘, da jede mit VZW
2. Ableitung
•f‘‘‘(x)=
3. Ableitung
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
F(x) = −cosx
f(x) = sinx
f '(x) = cosx
f ''(x) = −sinx
f '''(x) = −cosx
f(x) = 2sin(x −1)
2cos(x −1)
f(x)dx =
1
2π+1
∫ F(2π +1) −F(1) = 0
2sin(x −1)
x −1= kπ ⇔ xk
= kπ +1
−2sin(x −1)
−2cos(x −1)
−2cos(x −1)
P =
2π
|b |
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
xk
−1= kπ +
1
2
π ⇔ xk
= kπ +
1
2
π +1
x −1= kπ ⇔ xk
= kπ +1