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- 2. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Vektor www.vom-mathelehrer.de 2 Ein Vektor ist ein Pfeil von einer bestimmten Länge, der in eine bestimmte Richtung zeigt. z.B.: X → = x1 x2 x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; a → = a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; u → = u1 u2 u3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ← x1 −Koordinate ← x2 −Koordinate ← x3 −Koordinate Einen Vektor kann man verlängern/verkürzen, wenn man ihn mit einem Skalar multipliziert. r ⋅ a → = a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = r ⋅a1 r ⋅a2 r ⋅a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ( r ⋅ a → jetzt r −mal so lang wie a → ) Bsp1 : 3⋅ 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 3⋅ 4 3⋅(−2) 3⋅5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 12 −6 15 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Bsp2 : 1 3 ⋅ −9 15 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −3 5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Verschiedene Vektoren kann man koordinatenweise addieren/subtrahieren. a → + b → = a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + b1 b2 b3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = a1 +b1 a2 +b2 a3 +b3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Bsp : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −2+ 4 3+(−2) 7+ 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 1 12 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + = Der Gegenvektor besitzt die gleiche Länge, zeigt nur in die andere Richtung (Jede Koordinaten besitzt das entgegengesetzte Vorzeichen. z.B.: X → = x1 x2 x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; Gegenvektor Y !" = −X !" = −x1 −x2 −x3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
- 3. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- linear abhängige Vektoren www.vom-mathelehrer.de 3 Ist ein Vektor ein vielfaches eines anderen Vektors, so sind diese beiden linear abhängig. r ⋅ a → = b → → a → und b → sind linear abhängig (zeigen in die gleiche / entgegengesetzte Richtung, müssen aber nicht gleich lang sein) a → = 12 −6 15 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b → = 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 1 3 ⋅ 12 −6 15 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → a → und b → sind linear abhängig. Ist ein Vektor als Linearkombination von zwei anderen Vektoren darstellbar, so sind die drei Vektoren linear abhängig. r ⋅ a → + s⋅ b → = c → → a → , b → und c → sind linear abhängig. a → = 12 −6 15 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b → = 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; c → = 20 −10 25 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 12 −6 15 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 2⋅ 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 20 −10 25 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ → a → , b → und c → sind linear abhängig.
- 4. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Skalarprodukt www.vom-mathelehrer.de 4 a → ! b → = a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! b1 b2 b3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 Bsp : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −2⋅ 4+ 3⋅(−2) + 7⋅5 = −8 − 6+ 35 = 21 0,5 −8 17 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 1 2 0,25 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 0,5⋅1+(−8)⋅ 2+17⋅0,25 = 0,5 −16+ 4,25 = −11,25 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar)!
- 5. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Anwendung Skalarprodukt www.vom-mathelehrer.de 5 1. Betrag (Länge) eines Vektors: (Wurzel aus dem Skalarprodukt einesVektors mit sich selbst) | a → |= a → ! a → = a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = a1 2 + a2 2 + a3 2 Bsp : | a → |= −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = (−2)2 + 32 + 72 = 4+ 9+ 49 = 62 2. Winkel zwischen zwei Vektoren: (spitzer Winkel zwischen den Vektoren) cosα = a → ! b → | a → |⋅| b → | = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a1 2 + a2 2 + a3 2 ⋅ b1 2 +b2 2 +b3 2 Bsp : cosα = −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ (−2)2 + 32 + 72 ⋅ 42 +(−2)2 + 52 = 21 62 ⋅ 45 ≈ 0,39757 → α = cos−1 (0,39757) ≈ 66,57° Länge α
- 6. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Skalarprodukt und der Wert 0 www.vom-mathelehrer.de 6 a → ! b → = ? 0 Bsp : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −8 − 6+ 35 = 21≠ 0 → Vektoren stehen nicht aufeinander senkrecht! 1. Nachweis, ob Vektoren aufeinander senkrecht stehen: 2. Vektoren sollen aufeinander senkrecht stehen: a → ! b → = ! 0 Bsp : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 4 −2 a ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −8 − 6+ 7⋅a= ! 0 −8 − 6+ 7a = 0 7a =14 a = 2 Pr obe : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 4 −2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −8 − 6+14 = 0 → Für a = 2 stehen die Vektoren aufeinander senkrecht. Ist der Wert des Skalarprodukts zweier Vektoren gleich 0, so stehen diese Vektoren aufeinander senkrecht! .
- 7. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Zueinander senkrechte Vektoren www.vom-mathelehrer.de 7 Es muss gelten: a → ! b → = ! 0 Bsp : gegeben ist a → = −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Lösung: Wähle für einen zu a → senkrechten Vektor b → eine Koordinate von a → gleich 0 Tausche die beiden anderen und ändere ein Vorzeichen. z.B.: b1 → = 0 7 −3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b2 → = 0 −7 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b3 → = 7 0 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b4 → = −7 0 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b5 → = 3 2 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ; b6 → = −3 −2 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Pr obe : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 0 7 −3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −2⋅0+ 3⋅7+ 7⋅(−3) = 0+ 21− 21= 0 → Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht. Gesucht ist ein Vektor, der auf einem vorgegebenen Vektor senkrecht steht. Hierfür gibt es unendlich viele Möglichkeiten im dreidimensionalen Raum.
- 8. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Vektorprodukt www.vom-mathelehrer.de 8 a → × b → = a1 a2 a3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ × b1 b2 b3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = a2 b3 − a3 b2 a3 b1 − a1 b3 a1 b2 − a2 b1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ; a → × b → steht senkrecht auf a → und b → Bsp : −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ × 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 3⋅5 − 7⋅(−2) 7⋅ 4 −(−2)⋅5 −2⋅(−2) − 3⋅ 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 29 38 −8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ −2 4 3 −2 Pr obe : 29 38 −8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! −2 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −58+114 − 56 = 0 29 38 −8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! 4 −2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =116 − 76 − 40 = 0 Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Dieser steht auf den beiden miteinander verrechneten Vektoren jeweils senkrecht. Er ist damit ein Normalenvektor der Ebene, die durch die beiden miteinander verrechneten Vektoren aufgespannt wird. . a → b → n → = a → × b →
- 9. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Anwendung Vektorprodukt www.vom-mathelehrer.de 9 Mit Hilfe des Betrags des Vektorprodukts lassen sich Flächeninhalte berechnen. Flächeninhalt eines Parallelogramms: Elementargeometrisch: Betrag des Vektorprodukts: Flächeninhalt eines Dreiecks: Elementargeometrisch: Der halbe Betrag des Vektorprodukts: AP = Grundseite⋅zugehörige Höhe Grundseite Höhe . a → b → AP = a → × b → . Grundseite Höhe AD = 1 2 ⋅Grundseite⋅zugehörige Höhe a → b → AD = 1 2 a → × b →
- 10. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Skalar- und Vektorprodukt www.vom-mathelehrer.de 10 Flächeninhalt eines Spats: Elementargeometrisch: Betrag aus Vektorprodukt und Skalarprodukt: VS = Grundfläche⋅zugehörige Höhe VS = a → × b →⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟! c → a → b → c → Flächeninhalt einer vierseitigen Pyramide: Elementargeometrisch: Betrag aus Vektorprodukt und Skalarprodukt: VS = 1 3 ⋅Grundfläche⋅zugehörige Höhe a → b → c → VP = 1 3 ⋅ a → × b →⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟! c →
- 11. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Skalar- und Vektorprodukt www.vom-mathelehrer.de 11 Flächeninhalt einer dreiseitigen Pyramide: Elementargeometrisch: Betrag aus Vektorprodukt und Skalarprodukt: VS = 1 3 ⋅Grundfläche⋅zugehörige Höhe a → b → c → VP = 1 6 ⋅ a → × b →⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟! c → Besitzt das Spatprodukt den Wert 0, so sind die drei Vektoren linear abhängig. a → × b →⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟! c → = 0 → a → , b → und c → ind linear abhängig.