Übersicht

1. www.vom-mathelehrer.de
Analysis
Übersicht
©www.vom-mathelehrer.de 1

2. www.vom-mathelehrer.de
Analysis - Mindmap
©www.vom-mathelehrer.de 2
Veränderung
des Funktions-
terms und
Einfluss auf
den Graphen
(Stauchung
Streckung
Spiegelung
Verschiebung)
Analysis
Funktionen/
Funktionen-
scharen
Ganzrationale
Exponential
Logarithmus
Wurzel
Trigonometrische
Gebrochenrationale
Verknüpfungen
Kurven
untersuchen
Definitionsmenge
Asymptoten/Ränder
Definitionsbereich
Symmetrie
Nullstellen
Achsenabschnitte
Extrempunkte
Wendepunkte
Tangenten
Krümmung
Monotonie
Kurvenscharen
Umkehrfunktion
Differenzieren/Abl
eiten
Produktregel
Kettenregel
Quotientenregel
Tangentensteigung
Lokale Änderungsrate
Graphisches Ableiten
Integrieren
Stammfunktion und
Integralfunktion
ermitteln
Flächenberechnung
Gesamtänderung
Stammfunktion
abbilden
Gleichungen
ganzrationale
Lineare
Gleichungssysteme
Exponential-
/Logarithmusgleichunge
n
Anwendungen
Extremwertaufgaben
Wachstums- und
Abklingprozesse; Verdopplungs-
und Halbwertzeit
Änderungsraten
Newtonverfahren
Modellieren von
Funktionen

3. www.vom-mathelehrer.de
Analysis –Funktionenübersicht
Funktionstypen
Lineare
Funktion
(ganzrationale
Funktion ersten
Grades)
Quadratische
Funktion
(Ganzrationale
Funktion
zweiten
Grades)
Ganzrationale
Funktion
höheren
Grades
Gebrochen
rationale
Funktionen
(Bruch-
funktionen)Trigo-
nometrische
Funktionen
(Sin, Cos)
Exponential-
funktion
Logarithmus-
funktion
Wurzel-
funktion
f(x) = mx + t
f(x) = ax2
+bx + c (Normalform)
f(x) = a(x − d)2
+ e (Scheitelpunktform)
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
) (Nullstellenform)
f(x) = an
xn
+ an−1
xn−1
+...+ a1
x + a0
(Normalform)
f(x) = a(x − x1
)
k1
⋅(x − x2
)
k2
⋅...⋅(x − xn
)
kn
(Nullstellenform)
k1
,...,kn
heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN)
f(x) =
az
xz
+ az−1
xz−1
+...+ a1
x + a0
bn
xn
+bn−1
xn−1
+...+b1
x +b0
(Quotient ganzrationaler Funktionen
Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen
und Definitionslücken sofort ablesen)
f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d
g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d
f(x) = ex
g(x) = a⋅ebx−c
+ d
f(x) = ln(x)
g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d
f(x) = xn
= x
1
n
g(x) = a⋅ b⋅ x − cn
+ d
www.vom-mathelehrer.de 2

4. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 2
Analysis – Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen
Streckung/Stauchung y-Richtung
(„Zommen mit Daumen und Zeigefinger“)
Streckung/Stauchung x-Richtung
(„Zommen mit Zeige- und Mittelfinger“)
Verschiebung in x-Richtung
(„App durch links-/rechtswischen wechseln“)
Verschiebung in y-Richtung
(„Alle Apps durch nach oben/unten wischen
schließen“)
y=f(x)
y = f b⋅ x( )
y = a⋅ f x( )
y = f x + c( )
y = f x( )+ d
y = a⋅ f b⋅ x + c( )+ d
a>1
0<a<1
-1<a<0: Spiegelung an x-Achse; Stauchung
a<-1: Spiegelung an x-Achse; Streckung
b>1 Stauchung
0<b<1 Streckung
-1<b<0: Spiegelung an y-Achse; Streckung
b<-1: Spiegelung an y-Achse; Stauchung
c<0
c>0
d>0
d<0
a=-1: Spiegelung an x-Achse
b=-1: Spiegelung an y-Achse

5. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 3
Analysis - Struktur
• Stammfunktionen:
• Integralfunktion:
• Flächenbilanz:
• Flächenberechnung: Schnittstellen mit x-Achse bzw. anderen Graphen beachten
• Gesamtänderung
Stammfunktion
F
• Definitionsmenge
• Nullstellen/Achsenabschnittspunkte
• Symmetrie
• Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge/Definitionslücken
• Verschiebung des Graphen
• Umkehrfunktion
• Mittlere Änderungsrate
Funktion
f
• Steigung
• Monotonie
• Tangenten
• Extrema/Extremwertprobleme
• Lokale Änderungsrate
• Newton-Verfahren
1. Ableitung
f‘
• Krümmung
• Wendepunkte
• Art der Extrema
2. Ableitung
f‘‘
• Evtl. Bestätigung der Wendepunkte
3. Ableitung
f‘‘‘
Aufleiten
Ableiten
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Verkettete
Funktionen
f(x)dx = F(b) −F(a)
a
b
∫
f(x)dx∫ = F(x) +C
f(t)dt = F(x) −F(a)
a
x
∫ ; feste untere Grenze a