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08 abiturvorbereitung geometrie abstandsbestimmungen
- 2. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstandsbestimmungen www.vom-mathelehrer.de 2 Der Abstand zwischen zwei Objekten wird stets auf den Abstand zwischen einem Punkt (des einen Objekts) und einem (das andere) Objekt zurückgeführt. Hilfsmittel zur Abstands- bestimmung Betrag eines Vektors Hilfsgerade Hilfsebene Hess‘sche Normalenform einer Ebene Besitzt der Abstand die Länge Null, so • sind die Objekte identisch (z.B. Geraden, Ebenen) • liegt das eine Objekt in/auf dem anderen (z.B. Punkt auf Gerade) • gibt es einen Berührpunkt (Tangentialebene)
- 3. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstand Punkt - Punkt www.vom-mathelehrer.de 3 Die Strecke zwischen zwei Punkten lässt sich bestimmen, indem man die Länge des Verbindungsvektors berechnet. A(2 |1| 3) ; B(−3 | 4 |1) AB =| AB → |= −3 − 2 4 − 2 2− 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = −5 2 −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = (−5)2 + 22 +(−1)2 = 30 (LE)
- 4. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstand Punkt - Gerade www.vom-mathelehrer.de 4 Abstand mit Hilfe einer Hilfsebene eines variablen Vektors Ziel: Lotfußpunkt auf der Geraden finden, um anschließend den Abstand zweier Punkte zu bestimmen (s.o.). Q(4 | 3 | 5) ; g: X → = 1 0 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Hilfsebene E : Aufpunkt Q; Normalenvektor ist Richtungsvektor (oder Vielfaches davon) der Geraden E : 1 3 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ! X → − 4 3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 E : x1 + 3x2 − 2x3 − 3 = 0 E∩g = {F} : 1+ 2λ + 3(0+ 6λ) − 2(3 − 4λ) − 3 = 0 −8+ 28λ = 0 λ = 2 7 Q(4 | 3 | 5) ; g: X → = 1 0 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Verbindungsvektor QX → muss auf dem Richtungsvektor der Geraden senkrecht stehen QX → ! u → = ! 0 1 0 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 4 3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ! 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = ! 0 −3 −3 −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ! 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = ! 0 (−3+ 2λ)⋅ 2+(−3+ 6λ)⋅ 6+(−2− 4λ)⋅(−4)= ! 0 −6+ 4λ −18+ 36λ + 8+16λ= ! 0 −16+ 56λ = 0 λ = 2 7 F → = 1 0 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 2 7 2 6 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 11 7 12 7 13 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ d(Q;g) = QF = QF →
- 5. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstand Punkt - Ebene www.vom-mathelehrer.de 5 Abstand mit Hilfe einer Hilfsgeraden der HNF Ziel mit der Hilfsgeraden: Lotfußpunkt in der Ebene bestimmen, um dann den Abstand zweier Punkte zu berechnen. P(5 | −1| 3) ; E : 2x1 − x2 + 4x3 − 5 = 0 nE → = 2 −1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ |nE → |= 21 HNFE : 1 21 (2x1 − x2 + 4x3 − 5) = 0 d(P;E) = 1 21 (2⋅5 −(−1) + 4⋅3 − 5 = 18 21 P(5 | −1| 3) ; E : 2x1 − x2 + 4x3 − 5 = 0 Hilsgerade g: Aufpunkt P; Richtungsvektor ist Normalenvektor der Ebene g: X → = 5 −1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + λ 2 −1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ E∩g = {F} : 2(5+ 2λ) −(−1− λ) + 4(3+ 4λ) − 5 = 0 10+ 4λ +1+ λ +12+16λ − 5 = 0 18+ 21λ = 0 λ = − 6 7 F → = 5 −1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 6 7 2 −1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 23 7 − 1 7 − 3 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ d(P;E) = PF =|PF → |
- 6. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstand zweier paralleler Geraden www.vom-mathelehrer.de 6 Ziel: Rückführung auf den Abstand Punkt – Gerade. Man bestimmt den Abstand des Aufpunkts der einen Geraden von der anderen Geraden.
- 7. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstand Gerade/Ebene - parallele Ebene www.vom-mathelehrer.de 7 • Die Abstandsbestimmung wird zurückgeführt auf den Abstand Punkt - Gerade • Man bestimmt den Abstand des Aufpunkts der einen Geraden von der anderen Geraden. • Möglichkeiten: Hilfsgerade oder HNF Gerade – parallele Ebene • Die Abstandsbestimmung wird zurückgeführt auf den Abstand Punkt - Ebene • Man bestimmt den Abstand des Aufpunkts der einen Ebene von der anderen Ebene. • Möglichkeiten: Hilfsgerade oder HNF Ebene – parallele Ebene
- 8. www.vom-mathelehrer.de Geometrie- Abstand zweier windschiefer Geraden www.vom-mathelehrer.de 8 Normalenvektor •Bestimme den Normalenvektor der Hilfsebene indem du das Vektorprodukt der Richtungsvektoren der Geraden (z.B.: g und h) bestimmst. Ebenengleichung der Hilsebene •Normalenvektor ist bestimmt •Aufpunkt der Ebene ist Aufpunkt einer Geraden (z.B.: g) Abstand der windschiefen Geraden •Bestimme den Abstand der windschiefen Geraden, indem du den Abstand des Aufpunkts der anderen Geraden (hier: h) von der Hilfsebene bestimmst. Ziel: Rückführung auf den Abstand Gerade – Parallele Ebene und somit auf Punkt - Ebene
- 9. www.vom-mathelehrer.de Geometrie –Abstand Punkt/Gerade/Ebene zu Kugel www.vom-mathelehrer.de 9 •Die Abstandsbestimmung wird zurückgeführt auf den Abstand Punkt - Punkt •Man bestimmt den Abstand des Mittelpunkts der Kugel von dem Punkt außerhalb der Kugel. •Möglichkeiten: Betrag des Verbindungsvektors •Zuletzt subtrahiert man den Radius der Kugel von dem Abstand Mittelpunkt - Gerade Punkt – Kugel •Die Abstandsbestimmung wird zurückgeführt auf den Abstand Punkt - Gerade •Man bestimmt den Abstand des Mittelpunkts der Kugel der von der Geraden. •Möglichkeiten: Hilfsebene oder variabler Vektor •Zuletzt subtrahiert man den Radius der Kugel von dem Abstand Mittelpunkt - Gerade Gerade – Kugel •Die Abstandsbestimmung wird zurückgeführt auf den Abstand Punkt - Ebene •Man bestimmt den Abstand des Mittelpunkts der Kugel von der Ebene. •Möglichkeiten: Hilfsgerade oder HNF •Zuletzt subtrahiert man den Radius der Kugel von dem Abstand Mittelpunkt - Ebene Ebene – Kugel
- 10. www.vom-mathelehrer.de Geometrie –Abstand zweier Kugeln www.vom-mathelehrer.de 10 •Die Abstandsbestimmung wird zurückgeführt auf den Abstand Punkt - Punkt •Man bestimmt den Abstand der Mittelpunkte der Kugel. •Möglichkeit: Betrag des Verbindungsvektors •Zuletzt subtrahiert man die Radien der Kugeln von dem Abstand der Mittelpunkte. •Ist der Differenzwert <0 (LE), so schneiden sich die Kugeln (es entsteht ein Schnittkreis) •Ist der Differenzwert =0 (LE) so berühren sich die Kugeln in einem Punkt •Ist der Differenzwert >0 (LE), so gibt es keine gemeinsamen Punkte Kugel – Kugel