EFOKV

1. 7)
∫
(𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3)
( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥
A la integral dadaexpresaremosasi:
∫
(𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3)
( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 = ∫(
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
( 𝑥 + 1)2 +
𝐶
𝑥 − 2
+
𝐷
( 𝑥 − 2)2)𝑑𝑥
AhoracalculandolasconstantesA,B, C y D.
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3
( 𝑥 + 1)2( 𝑥 − 2)2 =
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
( 𝑥 + 1)2 +
𝐶
𝑥 − 2
+
𝐷
( 𝑥 − 2)2
=
𝐴( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)2 + 𝐵( 𝑥 − 2)2 + 𝐶( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 1)2 + 𝐷( 𝑥 + 1)2
( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2
Ahoraigualandolosnumeradoresse tiene:
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 𝐴( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)2 + 𝐵( 𝑥 − 2)2 + 𝐶( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 1)2 + 𝐷( 𝑥 + 1)2
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3
= ( 𝐴 + 𝐶) 𝑥3 + (−2𝐴 + 𝐵 + 𝐷) 𝑥2 + (−4𝐴 − 3𝐶 + 2𝐷) 𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶 + 𝐷
Por laidentidadde polinomiosse tiene:
Luegoreemplazandolosvaloresde A,B,C y D en(1):
∫
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3
( 𝑥 + 1)2( 𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 = −
5
27
∫
𝑑𝑥
𝑥 + 1
−
1
9
∫
𝑑𝑥
( 𝑥 + 1)2 +
32
27
∫
𝑑𝑥
𝑥 − 2
+
5
9
∫
𝑑𝑥
( 𝑥 − 2)2
=
5
27
ln| 𝑥 + 1| +
1
9(𝑥 + 1)
+
32
27
ln| 𝑥 − 2| +
5
9(𝑥 − 2)
+ 𝑐
8)
∫
( 𝑥2 + 2) 𝑑𝑥
( 𝑥 + 1)3(𝑥 − 2)
Solución
A la integral dadaexpresemosasi:

2. ∫
( 𝑥2 + 2) 𝑑𝑥
( 𝑥 + 1)3(𝑥 − 2)
= ∫(
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
(𝑥 + 1)2 +
𝐶
(𝑥 + 1)3 +
𝐷
𝑥 − 2
)𝑑𝑥 …. (1)
AhoracalculandolascostantesA,B, C y D.
( 𝑥2 + 2)
( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2)
=
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
(𝑥 + 1)2 +
𝐶
(𝑥 + 1)3 +
𝐷
𝑥 − 2
=
𝐴( 𝑥 + 1)2( 𝑥− 2) + 𝐵( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2) + 𝐶( 𝑥 − 2) + 𝐷(𝑥 + 1)3
( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2)
Igualandolosnumeradoresse tiene:
𝑥2 + 2 = 𝐴( 𝑥3 − 3𝑥 − 2) + 𝐵( 𝑥2 − 𝑥 − 2) + 𝐶( 𝑥 − 2) + 𝐷(𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1)
𝑥2 + 2 = ( 𝐴 + 𝐷) 𝑥3 + ( 𝐵 + 3𝐷) 𝑥2 + (−2𝐴 − 𝐵 + 3𝐷) 𝑥 − 2𝐴 − 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷
Luegoreemplazandoosvaloresde A,B,C y D en (1):
∫
( 𝑥2 + 2)
( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2)
= −
2
9
∫
𝑑𝑥
𝑥 + 1
+
1
3
∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2 − ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)3 +
2
9
∫
𝑑𝑥
𝑥 − 2
=
2
9
ln| 𝑥 + 1| −
1
3( 𝑥 + 1)
+
1
2( 𝑥 + 2)2 +
2
9
ln| 𝑥 − 2| + 𝑐
=
2
9
ln|
𝑥 − 2
𝑥 + 1
| −
(2𝑥2 + 5𝑥 − 5)
6( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 2)2 + 𝑐