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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
31
DISTRIBUTION OF THE NUMBER OF TIMES M/M/2/N
QUEUING SYSTEM WITH HETEROGENEOUS SERVERS REACHES
ITS CAPACITY IN TIME T SUBJECT TO CATASTROPHES AND
RESTORATIONS
Dhanesh Garg
Lecturer, School Of Mathematics and Computer Applications,
Thapar University, Patiala-147004, Punjab, India
ABSTRACT
In this paper, we study the distribution of the number of times that a limited capacity
two heterogeneous servers Markovian queue subject to catastrophes and restorations reaches
its capacity in time t. The occurrence of a catastrophe makes the system empty instantly but
the system takes its own time to be ready to accept new customers, this time is referred to as
‘restoration time’. The afore said distribution is obtained as a marginal distribution of the
joint distribution of the number of customers in the system at time t and the number of times
system reaches its capacity in time t under the conditions of catastrophes and restorations.
Some measures of effectiveness are obtained explicitly with catastrophic and restoration
effects.
Keywords: Catastrophes, Heterogeneous servers, Markovian queue, Restoration, Finite
capacity.
1. INTRODUCTION
In the last one decade a lot of work has been done by various authors taking into
consideration the concept of catastrophe B.K. Kumar et. al. [1] obtained the transient solution
of an M/M/2 queue with heterogeneous servers subject to catastrophes. DI Crescenzo et. al.
[3] made a continuous approximation of M/M/1 queue with catastrophe. In all the above
mentioned studies the researchers have obtained the state probabilities in one way or the other
and have computed various measures of performance. In this paper, the occurrence of a
catastrophe makes the system empty instantly whenever the system is not empty but the
system takes its own time to ready to accept new customers, this time is referred to as ‘the
restoration time’. The system subjected to catastrophes must take some time for its restoration
after the occurrence of a catastrophe. We have obtained explicitly the distribution of the
IJMRD
© PRJ
PUBLICATION
International Journal of Management Research and
Development (IJMRD)
ISSN 2248 – 938X (Print)
ISSN 2248 – 9398(Online),
Volume 3, Number 2, April - May (2013), pp. 31-61
© PRJ Publication, http://www.prjpublication.com/IJMRD.asp
International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
32
number of times the system reaches its capacity in time t under the effects of catastrophe and
restoration. Various other measures of performance have also been obtained explicitly.
2. MODEL DESCRIPTION
We consider an M/M/2/N queueing system having two heterogeneous servers with
FCFS discipline subject to catastrophes and restorations. The customers arrive at a counter in
accordance with a Poisson process with mean arrival rate λ>0. This model is based on the
following assumptions:-
1. There are two servers: server 1, the fast server and server 2, the slow server. The
service times are exponentially distributed with mean service rates µ1 and µ2
respectively and µ1>µ2.
2. If the system is empty, a customer joins the fastest server with probability p and the
slow with probability 1-p.
3. Each customer is served only at one server.
4. When the system is not empty, the catastrophes occur according to Poisson process
with mean rateξ .The occurrence of a catastrophe destroys all the customers in the
instants and affects the system as well. The system will require some sort of time to
restarts in a normal way, which is taken as restoration time. The restoration times are
independently, identically exponentially distributed with parameter β>0. The
customers arrive in the system during the restoration time as usual.
We define
m, nP (t) = Prob. [X(t) = m, Y(t) = n], 2 n N≤ ≤ (1)
Where
X (t) = the number of times the system reaches its capacity in time t.
Y (t) = the number of customers in the system at time t.
,0 ( )mP t = the prob. that the system is empty at time t.
,00 ( )mP t = The prob. that there are zero customers in the system at time t without the
occurrence of
Catastrophe.
,00 ( )mQ t = The prob. that there are zero customers in the system at time t with the occurrence
of
catastrophe destroying all the customers.
,1,0 ( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 1.
,0,1( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 2.
The marginal probabilities are
., ,
0
( ) ( )n m n
m
P t P t
∞
=
= ∑ And ,. ,
0
( ) ( )
N
m m n
n
P t P t
=
= ∑
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3. DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS GOVERNING THE SYSTEM
,00 ,00 1 ,1,0 2 ,0,1 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0m m m m m
d
P t P t P t P t Q t n m
dt
λ µ µ β= − + + + = ≥ (2)
,00 ,00 ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0
N
m m m n
n
d
Q t Q t P t n m
dt
λ β ξ
=
= − + + = ≥∑ (3)
,1,0 1 ,1,0 ,0 2 ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m
d
P t P t pP t P t n m
dt
λ µ ξ λ µ= − + + + + = ≥ (4)
,0,1 2 ,0,1 ,0 1 ,2( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m
d
P t P t p P t P t n m
dt
λ µ ξ λ µ= − + + + − + = ≥ (5)
, 1 2 , , 1 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;2 1, 0m n m n m n m n
d
P t P t P t P t n N m
dt
λ µ µ ξ λ µ µ− += − + + + + + + ≤ ≤ − ≥
(6)
, 1 2 , 1, 1( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1m N m N m N
d
P t P t P t n N m
dt
µ µ ξ λ − −= − + + + = ≥ (7)
0, ( ) 0N
d
P t
dt
=
Taking Laplace transform of the equations (2)-(7) w.r.t. t we have
0,00 0,00 0,1,0 0,0,11 2 0,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0s P s P s P s P s Q s mλ µ µ β
− − − − −
= − + + + + = (8)
0,. 0,000,00 0,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 0sQ s Q s P s P s mλ β ξ
− − − −
= − + + − = (9)
,00 ,00 ,1,0 ,0,11 2 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m m ms P s P s P s P s Q s mλ µ µ β
− − − − −
= − + + + ≥ (10)
,. ,00,00 ,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1m mm msQ s Q s P s P s mλ β ξ
− − − −
= − + + − ≥ (11)
,1,0 ,1,0 ,0 ,21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m ms P s P s p P s P s nλ µ ξ λ µ
− − − −
= − + + + + = (12)
,0,1 ,0,1 ,0 ,22 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )m m m ms P s P s p P s P sλ µ ξ λ µ
− − − −
= − + + + − + (13)
, , 1 , 11 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2,3,..., 1m n m n m ns P s P s P s n Nλ µ µ ξ λ µ µ
− − −
− ++ + + + = + + = − (14)
, 1, 11 2( ) ( ) ( ) ; , 1m N m Ns P s P s n N mµ µ ξ λ
− −
− −+ + + = = ≥ (15)
0, ( ) 0Ns P s
−
=
Since 0,00P (0) = 1
Where
, ,
0
( ) ( )st
m n m nP s e P t dt
∞−
−
= ∫
Define the probability generating functions by
,
0
( , ) ( ) m
n m n
m
P x s P s x
∞− −
=
= ∑ (16)
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0
2
0 0 1,0 0,1
( , ; ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
N
n
n
n
H x y s R x s P x s y
R x s P x s P x s P x s
− − −
=
− − − −
= +
= + +
∑
(17)
. ,.
0
( , ) ( ) m
m
m
P x s P s x
∞− −
=
= ∑
(18)
Multiplying equation (8) to (15) by xm
, summing over the ranges of m and using (16), we
have
0 1,0 0,1 .1 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1, 0s P x s P x s P x s P x s nλ ξ µ µ ξ
− − − −
+ + = + + + = (19)
1,0 0 21 2( ) ( , ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ
− − −
+ + + = + (20)
0,1 0 22 1( ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ
− − −
+ + + = − + (21)
1 11 2 1 2( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ),2 1n n ns P x s P x s P x s n Nλ µ µ ξ λ µ µ
− − −
− ++ + + + = + + ≤ ≤ − (22)
11 2( ) ( , ) ( , )N Ns P x s x P x sµ µ ξ λ −
− −
+ + + = (23)
Using (19) to (21), we get
01 1 2 21
1,0 2 1 2
1
11
[( )( ) { ( ) }] ( , )
( , ) [ {2( ) }]
( ){( ) ( 1) ( , )}N
s s p P x s
P x s s
s s s x P x s
λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ
µ λ ξ µ µ
µ λ ξ ξ λξ
−
−
−
−
−
−
 
+ + + + + − + − = + + + +
 
− + + + + + − 
(24)
02 1 2 21
0,1 1 1 2
1
12
[( )( ) { ( ) }] ( , )
( , ) [ {2( ) }]
( ){( ) ( 1) ( , )}N
s s p P x s
P x s s
s s s x P x s
λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ
µ λ ξ µ µ
µ λ ξ ξ λξ
−
−
−
−
−
−
 
+ + + + + + + − = + + + +
 
− + + + + + − 
(25)
Multiplying equation (22) to (23) by yn
, summing over the ranges of n and using (17), we
have on simplification
1
2
( , ; )
D
H x y s
D
−
=
(26)
Where
1 2
0 1,0 0,11 1 2
1 1
2 1
1 2
[1 ] (1 )( ) ( , ) (1 )[ ( , ) ( , )]
(1 )
(1 ) ( , ) ( 1) ( 1) ( , )N
N
D y s y y R x s y y P x s P x s
x y
y y P x s s y x y x P x s
s
ξ λ µ µ λ
λ
λ ξ
µ µ ξ
− − −
−
− −
− +
−
= + + − − − − − + +
  −
− + − + − +  
+ + +  
2 1 2[( ) (1 )( ( ))]D s y y yξ λ µ µ= + + − − +
1
1 2
(1 )
( , ) ( , )N N
x y
P x s P x s
s
λ
µ µ ξ
− −
−
−
=
+ + +
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2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( )
( ) , 1,2.
2
i
s s
s i
λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ
α
λ
+ + + + ± + + + + − × +
= =
The existence of ( , ; )H x y s
−
is only possible if numerator vanishes for α1 and α2 the two zeros
of the denominators. This will give rise two equations, solving them we have;
1
0
( , )
( , )
( , )
E x s
P x s
E x s
−
−
−
= (27)
2
1
(., )
( , )
( , )
N
E s
P x s
E x s
−
−
− −
=
(28)
Where
[ ]2 1
1 1 2 1 1 1
2 1 4
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
( ) [ ( )] { ( 1) ( )} ( ) ( ) ( 1)
[ ( )] [ { ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}]
( , ) [ ( 1)( ) [ ][ ( )]] (
s A x s s A s T N s T N
A A x s s T N T N T N T N
E x s s x s A A s A
λ ξ γ µ µ ξ λ µ ξ µ λ ξ
λ µ µ ξ λγ µ µ
λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ λγ
− −
− −
−
− − − −
+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − − − + + + − +
= − + + − − + + + + 2
1 2
2 2 2
1 2 1 1
2
1 2 1 2
1)[
( )( )] ( 1) ( 1) [ (2){ ( ) ( )}]
(2)( )
x s
s s T N x A s V A s s s
A A V
µ µ
ξ µ λ ξ λξ λγ ξ µ λ ξ
λγ µ µ
−
− − −
−
 
 
 
 
− + + 
 + + + + − + − + + + + + +
 
 + 
1
1
1 1
2 2
1 1 2 1 2 2 2 1 2 2
1 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 2 2
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]
(., ) [( )( ) ][ (1){ ( )} (2) ( )]
( )[ (1){ ( )} (2){ } (3)
s A s A V B B B B V
E s s s s A V B B B V B A
V B B V B B V B
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λγ
ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ µ µ
µ µ µ µ λ λ
− −
−
− − −
+ − + + + − + + − + −
= + + + + + + − + + − + +
+ − + + − − − 2 ]
 
 
 
 
  
1
1 1
1
1 4 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 1 6
1 1 2 1 2 2
( 1) [{ ( )}{ (1) ( ) (2) (1){ ( )}}
{ ( ) ( )}{ ( ) (1) (2) { }}] [ ( 1)
( , ) ( ) ][( ) ( 1)
x s A s B V B V V B B
A A s B V B V B B x
E x s A A x s B V N B
λξ λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ
µ µ µ λ ξ µ µ λγ γ λ λ
λ µ µ ξ µ µ λγ
− − −
− −
−
− −
− + + + + + + − + +
+ − + − + + + + + − + + −
= + + + + + + − 1
1
1 1
2
2 2 1 2
4 2 1 6 2
2 1 1 2 1 2 2 2
4
2 1 2 2
( 2) ( ){ ( )}
( 1){ }] ( ) [( ) ( 2) ( 1)
( 1){ ( )} ( ){ }]
V N V N B B
V N B B A x s B V N B V N
V N B B V N B B
γ µ µ
γ λ λ µ µ ξ µ µ λγ γ
µ µ γ λ
−
− − − −
−
 
 
 
 
− − + + 
 
+ − + − + + + + + − − − 
 
+ + + + + 
[ ]1
1
1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
( ) ( )
[( )( ) ]
[( ){( ) ( ) } ( )]
[( ) ( ){ ( )} ( )]
A s s
A s
B s s s p p s
B s A p
µ µ µ λ ξ µ λ ξ
µ µ λ ξ µ µ
µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ
λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ
= + + + + + + +
= + + + + +
= + + + + + + + + − + + +
= + + + + + − − −
21 2
1 2 ( )say
µ µ
α α γ
λ
−
+
= = ,
2
( ) ( 1) ( )T n V n V nγ −
= + −
and
1 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3,...r r
V r s s rα α= − =
If we write
2 1 2[( )( )]D y yλ α α= − − −
(26) yields
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36
1 11
1 2
0 01 2(1)
n n
n n
D y y
V
α α
λ α α
∞ ∞
− −
= =
    
 −   
     
∑ ∑
, 2
1
y
α
<
(29)
Now ( , )nP x s
−
is the coefficient of yn
in (17). Comparing the coefficients of yn
on both sides
of (29), we have:
2
1
0 11 2 3( , ) ( , ) ( , )
(1)
n
n NP x s s F F P x s F P x s
V
γ
λ
− − −
−
−
 
= + +  
(30)
Where
2 2
1 1 1 2 1 2[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}]F s T n s AV n A T n T nξ λ µ ξ γ µ µ λγ −
= + − + + + − − + + −
2
1 2 1 2
2 2
2 1 2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 1
( 1)[( ){( ) ( ) } ( )]
[ ( )( ) ( 2)][( ) ( ){ ( ) }
( )]
T n s s s p p s
F T n T n s A p
λ µ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ
γ µ µ λγ λ ξ µ µ λ µ µ µ µ
λµ µ µ
−
 − + + + + + + + + − + + +
 
= + + + − + + + + − + 
 − −
 
1 2 2
3 1 1 2 2( 1)[ ( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )} ]F s x T n s T n T n V n Aλξ λ µ ξ γ µ µ λγ− −
 = − − + + + − + + − + 
Since 0 ( , )P x s
−
and 1( , )NP x s
−
− are given by (27) and (28), so ( , )nP x s
−
are explicitly known.
For setting x=0 in (30) gives
[ ]
2
0, 1 6 2 3 7 4 52
6
( ) { }
(1)
n
nP s sZ Z Z Z Z Z Z
s Z V
γ
λξ
λ
−
= + − −
(31)
Where
2 2
1 1 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}
( 1)[( ){( ) ( ) } ( )] [ ( )( )
( 2)][( ) ( ){ ( )} ( )]
Z s T n s AV n A T n T n
T n s s s p p s T n
Z
T n s A p
ξ µ λ ξ γ µ µ λγ
µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ γ µ µ
λγ λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ
−
−
 = + − + + + − − + + − 
 − + + + + + + + + − + + + + + +
= 
− + + + + + − − −
2 2
3 1 2 1 1
2 2
4 1 1 2 2
2 2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
5 2 1
( )[ ][ ( )]
( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )}
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]
[ ( )(
Z s A s
Z T n s T n T n V n A
s A s A V B B B B V
Z A s s
λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ
µ λ ξ γ µ µ λγ
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λ γ
λ ξ µ λ
− −
−
− −



 = − + + − − + + + 
 = − + + + − + + − + 
+ − + + + − + + − + − +
= + + + + + 2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2
4 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
1
6 1 2
)][ (1) {( ( )} ( ) (2)] ( )
[ (1){ ( )} (2){ } (3)]
[ ( )][ (1) ( ) (2) (1){ ( )}] [
[ ] ( )
V B B B B V A
V B B V B B B V
A s B V B V V B B A A
Z s
ξ γ λγ µ µ µ µ µ µ
µ µ λ λ
λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ
λξ µ µ
− −
− −
−
 
 
− + + − + + + 
 − + + − + −
 
+ + + + + + − + + + −
= − + −
1
2 2 4
1 1 2 2 2 1 2
6 2
1 2 1 1 2 2 2 2 1 2
2 2 2
7 1 1 1 2 1 2 1 2
( )][( ) (1) (2) { } ( 1)
{ } [ {( ) ( 1) ( 2)} ( ){ ( )}]
[( )( ) ( )] ( 1) ( ) (2)
s B V B V B B V N
B B A B V N B V N V N B B
Z A s s s T N A A V
µ λ ξ µ µ λγ γ λ γ
λ λ µ µ λγ γ µ µ
λγ ξ µ λ ξ µ µ λγ µ µ
− − −
− −
− −
 
 
+ + + + + − + + − 
 + + − + + − − − + + 
= − + + + + + + − + + 
Applying the Leibniz differentiation theorem to (24) to (25) and (27), setting x=0 and
dividing both sides by m! We have
8
,1,0
9
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (32)
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37
10
,0,1
11
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (33)
12
,0
13
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (34)
Where
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2
2 2 6 2
2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1
8
[ {( ) } (2) [ ( ) ( )( )( )] ( 1) ( )
( ) [2 2 {( ) } ( 1) ( 2) ( )
{ ( ) }]][ ( ) { ( 2) ( 1)}
s p A A V s s s T N s s
s A A A A A p B V N V N B V N
B B A B V N V N A A
Z
λ µ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ
λ µ ξ λµ λ µ µ µ λγ γ
µ µ λ µ µ
− −
+ − − + + + + + + + + + − + +
+ + + + + + − + − − −
+ + + + − + +
=
2 4
2 1 1 2
1 4 4
2 1 1 2 1 2 2 1
4 2 6
2 1 2 1 2 1 1 2 2
2
{ ( 1) ( )} { }
{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {{( ) }
}{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)
B V N V N B B
T N T N s s T N A T N A A p B
B T N T N B B V N p T N T N A B V N
B
γ γ λ
λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ µ
γ λ µ µ λ µ µ λγ
−
− − −
− −
+ − + +
− − − + + + + + − − − + −
+ − − − + + + + − − − + + −
2 2 ( 1)
1 2 2 1 1 2 2( 1) ( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m
V N V N B A A V A s pγ λξ ξ λ µ µ µ− −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− − + + + + + − 
2
2 2 2 ( 1) 1 6
1 2 1 1 2 1 1 2 2
2 4
9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
2 2
1 2
[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)
(2) { }}] [
m m m m
s s s s A B V N V N B
Z V N B B V N B B A A s B V B
V B B
γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ
γ γ λ λ
+ − + + −
− −
− −
+ + + + + + + + + − −
= − + + − − + − − + − + + + + +
− + − 4 2 1
2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
A s B V B V V B Bλ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +
 
 
 
 
+ + + + + + − + +  
2
1 2 1 2 1 1 2 1
2 2 6 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
10
[ ( ) (2) { ( ) ( )( )( )}] ( 1) ( )
( ) [2 2 {( ) ( 1) ( 2) ( ){
( ) }}][ ( ) { ( 2) ( 1)} {
s pA A V s s s T N s s
s A A A A A pB V N V N B V N B
B A B V N V N A A B
Z
λ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ
λ µ ξ λ µ λ µ µ λγ γ
µ µ λ µ µ γ
− −
−
+ − + + + + + + + + + − + +
+ + + + + + + − − − +
+ + + − + +
=
4
1 2
1 4 4
2 1 1 2 1 2 1 2
4 2
1 2 1 2 1 1 2 2
6 2
2
( 1) ( )} { }
{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {( ) }
{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)
( 1)
V N V N B B
T N T N s s T N A T N A A pB B
T N T N B B V N p T N T N A B V N
B V N V
γ λ
λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ
γ λ µ µ λ µ µ
λγ γ
−
− − −
−
− −
+ − + +
− − − + + + + + − − − + +
− − − + + + + − − − + +
− − − 2 ( 1)
1 2 2 1 1 2 2( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m
N B A A V A s pλξ ξ λ µ µ µ −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ + + + + − 
2
2 2 2 ( 1) 1 6
1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 4
11 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
2 2
1 2
[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)
(2) { }}] [
m m m m
s s s s A B V N V N B
Z V N B B V N B B A A s B V B
V B B
γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ
γ γ λ
+ − + + −
− −
− −
+ + + + + + + + + − −
= − + + − − + − − + − + + + + +
− + − 4 2 1
2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
A s B V B V V B Bλ λ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +
 
 
 
 
+ + + + + + − + +  
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
6 2 2 2
2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 4
12 1 2 1 1 2 2
(2)( ) [( )( ) ( )] ( 1) [2 2 {( ) ( 1)
( 2) ( ){ ( ) }}][2 (1) ( ) ( ) {2( )( )}
( 1) ( 2)][2 { ( )
A AV A s s T N A A B V N
B V N V N B B V T N s
Z T N V N A A B B
µ µ ξ λ µ ξ µ µ λ λ µ µ
λγ γ µ µ λγ µ µ γ µ µ λ ξ
λ γ λ γ µ µ
− −
−
+ − + + + + + + − + + + +
− − − + + + + + + + +
= − − + + + 1 2
4 2 6 2
1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2 ( 1)
1 2
}{ ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}
( ){ } 2 {( ) ( 2) ( 1) ( 1)} (2){ ( )
( )}] m
T N T N T N T N
V N B B A B V N B V N V N B A A V A s
µ µ
γ λ λ µ µ λγ γ λξ ξ
λ µ µ
− − −
−
 
 
 
 − − − + + − −
 
 + + − + + − − − + + +
 
+ +  
2
2 2 ( 1) 1 6 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4 2 2
13 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2
4
2 1
[ ( ) ][ ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) }
( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}]
[ ( )][
m m m m
s s s A B V N V N B V N B B
Z V N B B A A s B V B V B B
A s
γ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ γ µ µ
γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ
λ λ µ ξ γ
+ − + + − −
− − −
−
+ + + + + − − − + +
= − − + − − + − + + + + + − + −
+ + + + 2 1
2 2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
B V B V V B Bλ µ µ γ µ µ− +
 
 
 
 
+ + − + +  
Now
2
, ,014( ) ( )
(1)
n
m n mP s Z P s
V
γ
λ
− −
 
=   
(35)
Where
1 2 2
1 1 2 1 2 1
2 2 2
14 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 2 2 1
[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}] [ ( 1){( )
{( ) ( ) } ( )} [ ( )( ) ( 2)][( ) ( )
{ ( ) } ( )]]
s s T n s AV n A T n T n T n s
Z s s p p s T n T n s
p
ξ λ µ ξ γ µ µ λγ λ µ ξ
λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ
λ µ µ µ µ λµ µ µ
− −
−
 + − + + + − − + + − + − + + +

= + + + + + − + + + + + + − + + + +
− + − −




 

Using (10) and (11), we have
,
,0 0
,00
[ ( )]
( ) ( )
( )
( ) ( )
N
m n
m n
m
P s
s P s
P s
s s
ξ
λ β
λ β ξ λ β ξ
−
−
−
=+ +
= −
+ + − + + −
∑ (36)
International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
38
,
,00
,00
[ ( )]
( )
( )
( ) ( )
N
m n
mn
m
P s
P s
Q s
s s
ξ
ξ
λ β ξ λ β ξ
−
−
−
=
= −
+ + − + + −
∑
(37)
We know that
( ) ( )
( )
0 0
0
( 1) 1
-j 1
(1 / ) ,( ) ( ) ( ) ,( ) ( 1)
and (1-a)
j
i i
k
i
j j i j j j j i j j i i
i ii
j k k
k
a b
a
a
C a b a a b b a b a b C a b
b
C
∞
= =
∞
=
− + + + −
+ −
− = + = + + + − = −
=
∑ ∑
∑
Using these Identities in (31) to (37), we have
[
1
1 ( 1 2) 2( 1)
0 0 0 0 0 1 0 0
1 ( 1) ( 1
1 2 2 1 1 2
0,
1
( 1)
1
{2( ) ( ) }[ {
( )
j j ll h
l h p q j l h p q j k h l
j l k h r p q
g j h l n g j h l n
n
j l j l r h j l
l h r p q
p R R
P s
λ γ
µ µ λ µ µ µ µ γ
+ −∞ ∞ ∞
+ + + − + − + + + − + + − +
= = = = = = =
− − + + − − − − + + − + +
−
+ + + −     
−      
     
+ + − + −
=
∑∑∑∑∑ ∑ ∑
) 2 ( 1)
( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) ( )
1 2
( 2) 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2
2
1
} {
}] ( ) ( ) [ {
}] [ { ( ) ( )( )( ) (1 )
(
}]
g j h l n
g j h l n l h k h l j k l h p g j h l k g j h l k
g j h l k
R
R s p R R
R p p
p
γ
µ µ γ λ ξ γ
λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ
λµ
− − + + − − +
− + + − + + + − + + + − + − + − − + + + + + − + + + +
− + + + + +
−
− + + + + −
− + − + + + + + + − − +
−
−
1
( 1) ( 2) 2( ) ( 1)
0 0 0 0 0
( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
(
1) 2 [{
} { }] ( ) [{
j l
l h j j k h l j k h l g j h l n
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n k l g j h l n
g j h
j l l j l r
R
l h r
R R R s R
R
λ γ
γ λ ξ
+∞ ∞ ∞
+ − + − + + − + − + + − − + + − − −
= = = = =
− + + − + + − − + + − − − + + − + − − − + + − −
− + +
+ + +   
   
   
− − − + + + −
∑∑∑∑∑
) 1 ( 1) ( 1)
2
3 2( 1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1
0
2 2 (2 2) 2 2 1
1 2
} { }]
( )[( )( ) {2( ) ( )}]( ) {
(2 ) [( ) ] } (2 ) [(
l n g j h l n g j h l n
N
i
i
i N i N i i N
R R
s
s s
γ
ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ λ µ ξ γ
λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ
− + − − + + − − + − + + − + −
−
− − +
=
− + − − + − − +
 
 
 
 
 
 − −
 
  

+ + + + + + + + + + + + + 

+ + + + + − + +
∑
1
(2 1)
1 2
0
2 1 2
1 2 1 2 2 1
2 1
2( 1) 2 2 (2 2) 2( ) 2 1
1 2
0 0
(2
1 2
) ]
[ {( )( )( )} ( ) (1 ) ( )]
{ (2 ) [( ) ] } 3{ (2 )
[( ) ]
N
i N
i
n n
n i i n i n n i i n
i i
i
p p
s
s
µ ξ ν
γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ λ ξ µ µ λ λ ξ µ
γ λ λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ µ ξ ν
−
− − +
=
− −
− −
− − − + − − + − − +
= =
− −

+ + + 

+ − + + + + + − + + − − + +

+ + + + + −

+ + + + +
∑
∑ ∑
2
1) 2( 1) 2 2 (2 2)
1 2
0
1 22
2( 1) ( 2) ( 2)
0 0 0 0 0 0 0
} { (2 ) [( ) ] }
2
( 1) [{ }] ( 1)
2 1
N
n i i N i N
i
j jN
l i j k i g j l i N g j l i N l
j l k i j l k
s
j l N
R R
l i
j j k
l k
γ λ λ µ µ ξ ν
γ
−
+ − + − + − − +
=
+ +∞ ∞ + ∞ ∞
+ − + + + − + + + − + − + + + − −
= = = = = = =

+ + + + + + +

+ +  
− − + −  
  
+ + + 
 
 
∑
∑∑∑∑ ∑∑∑
1
(2 1) ( ) ( 3) 2 2 1 (2 1)
1 2
0
[{ }] (2 ) [( ) ]
N
j l g j i g j i i N i N
i
R R sγ γ λ λ µ µ ξ ν
−
− − − − + + − + + − − + − − +
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 − − + + + + + 
   
∑
(38)
International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
39
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
2 2( 1) ( 1 2) ( 1) (
1 2 1 2 1 2
,1,0
1 1 1
( 1)
1
[ ( ) ] 2 ( ) {
()
j l h m
i l h p
j l k h r p i
j k l m j k l j k p mi l k p
m
j m j l j l r h m
j l h r p i
p s R
P s
λ µ µ µµ γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
++ +
= = = = = = =
+ + − + + −+ − + + + − −++ + −
−
+ + + + + −      
−       
      
+ + + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
11)
( 1 2) 2 ( 1) ( 1) 2 6
1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
2 2 1 2
2
1 2
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] [ ( )
{( )
g j h i p
g j h i p g j h i l n g j h i l n j i k
g j h i p l n g j h i p l n
R R R p
p R R p
p
γ λ γ λµ µ λ µµ
µ λ ξ λ ξ µ λ µ λξ λ ξ µ
λ µ µ
+ + ++ +
− + + ++ + − − + + +−− + − + + +−− − ++ + −
− + + ++ −− − + + ++ −+
 −
+ − − + + −
+ + + + − − + + + +
+ −
1 1
2 1 2 2 2 1 2
0 0 0 0
1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)
1 1 2
2
1 2 2
} (1 ) {( )( ) }] ( 1)
1
( ) [ ]
[( ) ](
j i m
i l
j l k i
mi l k m j i mi l g j l n g j l n
p p
j i l m j k
s R R
l i k
p
µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µµ
λ µ γ µ µ ξ
λξ µ µ µ
++∞ ∞ −
+
= = = =
−+ − + − + −− − −+ − + ++ − − + +− +

+ − + + + + − −

+ + − +   
+ + + −   
   
+ + −
∑∑∑∑
1 2
3 ( 1) ( 1)
2
0 0 0 0
2 2( ) 2 [2( ) 2] ( )
1 2 2 1 2 1
( 1) (
) [ ] ( 1)
[ [( ) ] (2 ) [( ) ] ( )
[
j N
g j l k n g j l k n l
j l k i
l i j k i N j k i N j l i
g j k l n g j k
j l
s R R
l
p s s
R R
λ µ ξ
λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ
+∞ ∞ +
− − + ++ − − − + ++ − +
= = = =
+ + + − − − + + − − − −+
− + + −− − − + + −
+ 
+ + + − − −  
 
+ − + + + + + + + + +
−
∑∑∑∑
1
1) 3 2( ) 2 1
1 2 2 1
0
(2 1) 3
1 2 1 2 1 2 2
2( ) (
1 2 2
] [ [( ) ]( ) [ (2 )
[( ) ] ] [2( )( ) ( )
1
[( ) ]] ( 1) ( )
n
l n n i i n
i
i n
l h j k r k h
p s
s p
j l m j l
p s
l j h
λξ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ
µ µ µ γ λ ξ
−
+ − − − + +
=
− + +
+ − + + − +
+ + − + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + +   
+ − − + +   
   
∑
[
1
)
0 0 0 0 0
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3
1 2 2
2( 2) 2 1 (2 1) 2( 1) 2 2
1 2 1 2
[{ } { }] ( ) [ [( ) ]]
(2 ) [( ) ] (2 ) [(
j l
l
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N i N i i N
R R R R s p
s s
γ λξ ξ λ µ µ µ
γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞
−
= = = = =
− + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + −
− + − − − − − − + − +
− − − + + + −
+ + + + + + + + + +
∑∑∑∑∑
1 2
(2 2)
0 0
) ] ]
N N
i N
i i
ν
+ −
− − +
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
  
∑ ∑
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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
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1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
2( 1) ( 1 1) ( 1)
1 2 1 2 1 2
(
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1 1 1
( 1)
1
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j l k h r p i
j k l m j k r l j k p m i l k p
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λ µ µ µ µ γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ + +
= = = = = = =
+ + − + + + − + − + + + − − + + +
−
−
+ + + + + −      
−       
      
+ + + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 1) 2 ( 1 2) ( 1) ( 1)
2 4
1 2 1 2 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
2 1 2
2
} { }
(2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }]
[ ] [ ( ) (1 )
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λξ λ ξ µ µ µ λ
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+ + −
− + + + + − − − + + + + − +
 − + −
− + + − + + + + −
− + + + + − +
1 1
2 2
0 0 0 0
1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)
2 1 2
3 ( 1)
1
1 1
( )( ) (1 ) }] ( 1)
( ) [ ]
( ) [
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λ ξ λ ξ µ λ µ
λ µ γ µ µ ξ
ξ λ µ ξ
+ +∞ ∞ −
+
= = = =
− + − + − + − − − − + − + + + − − + + − +
− − + + + − −
+ + −   
+ + + − − −   
  
+ + 
+ + + − 
 
+ + + + −
∑ ∑ ∑∑
1 1
( 1)
0 0 0 0
( 1) 2
1 2
2( ) 1 [2( ) 1] ( )
1 2 1
( 1) (
1
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1
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(2 ) [( ) ] ( )
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s s
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γ λ µ µ
λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ
+∞ ∞ −
− + + + + − +
= = = =
− + + + +
+ + − + − + + − + − − +
− + + − − − − + +
+ 
 − −  
 
− +  
+  
  
 + + + + + + + + +
−
∑∑∑∑
1
1) 1 2( ) 2 1
1 2
0
(2 1)
1 2 1 2 1 2
1
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2 1 2
0 0 0 0 0
( )
] [ [( ) ] (2 )
[( ) ] ] [2( )( )
{(1 )( ) }] ( 1)
( )
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i
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j l l
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−
− + + − − + +
=
− + +
+∞ ∞ ∞
+ − +
= = = = =
− + −
 + +
+ + + + + + + + + + +
+  
− + + + −   
  
+ +
∑
∑∑∑∑∑
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
2
2 2 1 2
2
2( 1) 2 2 (2 2)
1 1 2
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( )] [ (2 ) [( ) ] ]
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λ λ ξ µ γ λ λ µ µ ξ ν
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−
− + − + − − +
=
− + − +
− − −
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
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1 2 2 1 1 2
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1
1 2 1 2 1
2
2 (2 3) 2 2 (2 2)
2 1 2
0
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{ (1 ) [( )( ) ]}][( )
4( ) ][ (2 ) [( ) ]
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λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν
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=
−
−
− − + − + − − +
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











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

























 + + + + − +
− + + + + − + + + +
+ + + + + + + +
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∑
∑

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
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 
 
 
 
 
 
 

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1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1)
1 2
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1
[2( ) ] ( 1)
1
2 ( ) { }
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+ + −     
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1 2 1 1 2
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1 1 2 1 2
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0 0 0 0 0 0
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− + − − + + + − − − + + + − +
+∞ ∞ ∞ −
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= = = = = =
− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +
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−
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2 1 2
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+     
     
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1 2
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1 2 1 2 1 2 2
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1 1 2
0 0 0
1
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1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
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− + + − +
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+  
  
+ + + + + + + + + + + + +
+ +  
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  
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1
0 0
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[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
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−
− + − + − −
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
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2) 2 2 1
0 0
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2
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1 2
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( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
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− −
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− − − − + −
=
−
+ + + + + + − + − + − −
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+ + + + +
∑ ∑
∑ 2 2)
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 
 
 
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 
 
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 
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 
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 
 
 
 
 
  
(41)
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1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0
2
1
, 1 2 2 1 1 2
1 1
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   
+ + + + +    
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    
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1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
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 
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 
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 
 
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 − + − 
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1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
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− − + − + −
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∑ ∑
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2 1 2
0 0 0 0
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1 2 1
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+∞ ∞ +
+ − + + + + + + − −
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+ + −
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− − + − 
 
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2
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1 2 2
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1 2
0
( )
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+ + + + + −
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∑
∑
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2 1 1
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 
 
 
 
 
 + + + +
  
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− + − + +   
   
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1
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0 0 0 0 0
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1
1
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2 1 2 2 1
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1
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+ + + + + + + + + +
+ + +
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1 2
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i n i n
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sλ λ µ µ ξ ν
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + + + +
  
∑
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1 1
1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
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1 2
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1
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 
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1 1 2 1 2
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++
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− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +
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0 0 0
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1 2 1
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λ µ µ ξ ξλ ξ µ
λ ξ µ µµ
+∞ ∞
− + ++ +
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−−+ −−+ + − −−+ − + + +−− + − + + +−+ +
=
+ + + + −      
+      
     
+ + + − − + +
+ + + −
∑∑∑
1 1
2( 1) 2( ) 1
1 2
0 0 0 0
[2( ) 1]
1 2 1 2 1 2 2
1 1 2
1
( ) (2 )
[( ) ] [3{( )( )} ( )
1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
j N
j k i l i j k i N
j l k
j k i N
l h
j j k
l k
s
j j k
p p
l k
γ µ µ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ
ξλ µ λ ξ µµ
+∞ ∞ −
− + ++ + + + − +
= = =
− + + − +
+
+ +  
+  
  
+ + + + + + + + + + + + +
+ +  
+ − + − + −   
  
∑∑∑∑
1
2( )
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
3
1 1 2 1 2 2 1 1
2( 1) 2 2
( ) [{ } { }]
[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
[{ (2 )
j l
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j l k h r
k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N
s R R R R
p p s
γ
λ ξ γ
ξλξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ
γ λ
+∞ ∞ ∞
− +
= = = = =
− + − − + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ +
−
− + − +
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
∑∑∑∑∑
2 1
(2 2) 2 2 1
1 2
0 0
(2 1)
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 3
1 1 2 2 1 2
2( 1) (2 2)
0
[( ) ] { (2 )
[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
[ (2 )
N N
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s
s p p
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λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ
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− −
− − + − − +
= =
− − +
− −
− −− − +
=
+ + + + + −
+ + + + + + − + − + − −
+ + + + + + + + + + + + +
∑ ∑
2
(2 2)
1 2[( ) ] ]]
n
i n
s λ µ µ ξ ν
−
− − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + + + +
 
 
  
∑
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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
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1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2 2 1
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( )
1
( )
n j i j ll m h N
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λ
λ µ µ λ µ µ µ
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λ β ξ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
− − +
− + + +   
+ −    
   
+ + + + +    
+ − +    
    
−
+ + −
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
1 2
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1 ( 1)
}]
( ) [{ }
{ } { }]]
{
m i l q p
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R R R R
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− + − − + − − − + + − + + + + + − + + + + + −
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− +
+ + + − −
− + −
+ −
2
( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1 (2 1 1)
1 0 0 0
( 1)
1 2
} [2( ){ ( ) }]{ }[
1 2 1
( 1)
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µ µ λ µ µ µµ
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+ +∞ ∞
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= = = =
−
+ + −− + − + −− − −
= = =
− − − +
− + − + −
− + + + + + +     
−      
     
+ + + +
∑∑∑∑
∑∑∑
( ) ( 1 1) 1 ( 1 2)
1 2
2( 1) 2 2( ) 2
2 1 2
0 0 0 0
[2( ) 2] 2
1 2 1 1 2
) [ ]]
( 1) [ { ( ) }] {(2 )
[( ) ] } [ {( ) (
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l i j k i l i j k i N
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λ ξ γ
γ λ µ µ µ λ
λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ λµµ λ
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+∞ ∞ +
+ − + + + + + + − −
= = = =
− + + − −
+ −
+ 
− − + − 
 
+ + + + + − + + + +
∑∑∑∑
2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2 1 2
0
)
{ ( ) }}]( ) [{ (2 )
[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 ) [(
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i
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i N n i i n
i
n
i n n i i n
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s s
s s
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λ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ
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− − + − +
=
−
− − + − − − − − +
=
−
− − + − −− − +
=
+ +
+ − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + − + + + +
∑
∑
∑ (2 2)
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 2( ) ( )
2 1 1
0 0 0 0 0 0
( ) (
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
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µ µ µ γ λ ξ
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+∞ ∞ ∞
+ − + + − − +
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− + + − − −
+
+ + + + + + − + − + +
+ +   
− + − + +   
   
−
∑∑∑∑∑∑
) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
0
1
1 2( ) (2 1) (2 1)
1 1 2
0
} { }]
( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [ (2 ) [( ) ] ]]
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λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν
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− − + − + − − +
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−
− − − − + − − +
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



− − +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + +

∑
∑




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(43)
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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
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2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2
,00
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){
1
( )
( )
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m m j j i
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− + + +
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−
− + + +   
+ −    
   
+ + + + +    
+    
    
=
+ + −
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
2 1 1 2
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1
( ) }]
( ) [{ }
{ } { }]]
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− + −− + − −−+ + − + + ++ + − + + ++ + −
− + + ++ + + − + + ++ + + + − + + ++ + + + + − + + ++ + + + +
−
− +
+ + + − −
− + −
+
2
( 1) ( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1
1 0 0 0
(2 1 1) (
1 2
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1 2 1
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++∞ ∞
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= = =
− + −−− − − −
− − + − + −
− + + + + + +     
−      
     
+ + +
∑∑∑∑
∑∑∑
1) ( ) ( 1 1)
1 2
1 ( 1 2) 2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
2( ) 2 [2( ) 2] 2
1 2 1
( ) [
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γ γ λ µ µ µ
λ λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ
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+∞ ∞ +
− − + + ++ + + − + ++ +
= = = =
+ + − − − + + − −
+ +
+ 
− − − + − 
 
+ + + + + − + +
∑∑∑∑
1 2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2
0
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[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 ) [(
N
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−
− − + − − − − − +
=
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− − + − −− − +
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+
+ + + + − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + −
∑
∑
∑ (2 2)
1 2
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 2( ) ( )
2 1 1
0 0 0 0 0 0
(
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
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+∞ ∞ ∞
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+ + + + +
+ + + + + + − + − + +
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− + − + +   
   
∑∑∑∑∑∑
) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
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1 1 2
0
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( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [ (2 ) [( ) ]
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− − + − + − − +
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−
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=
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+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + +
∑
∑ 1)
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
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1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1
1 2
1
1 1
[2( ) ] ( 1)
2 ( ) {
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j l k h r i
j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n
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j l h r i
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= = = = = =
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−
+ + + + −     
+ + −      
     
 + + + −
− + + −
∑∑∑∑∑∑
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1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2
1 1
0 0 0 0 0 0
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2 ( ) { } [( )( ) ( )]
( ) { } [( )( ) ]
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j l k h r i
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s R R
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λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
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− + − − + + + − − − + + + − +
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =

− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +

−

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1 2
( ) ( 1) ( 1)
1 2 1
1 1
2 1 2
0 0 0
1
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2 ( ) [{ }] [ ( )
( ) ] ( 1)
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j l k i
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j l h r i
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+ ∞ −
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+ + + + −     
+     
     
+ + + − − + +
+ + + −∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1
1 2
0
[2( ) 1]
1 2 1 2 1 2 2
2( )
1 1 2
0 0
1
( ) (2 )
[( ) ] [3{( )( )} ( )
1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
j k i l i j k i N
j k i N
l
l h j k
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j j k
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j j k
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λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ
ξλ µ λ ξ µµ γ
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− + + + + + + − +
− + + − +
∞
+ − +
= =
+ +  
+  
  
+ + + + + + + + + + + + +
+ +  
+ − + − + −   
  
∑
∑∑
1
0 0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
3
1 1 2 1 2 2 1 1
2( 1) 2 2 (
1 2
( ) [{ } { }]
[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
[{ (2 ) [( ) ]
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+∞ ∞
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−
− + − + −
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
+ + + + +
∑∑∑
2 1
2 2) 2 2 1
0 0
(2 1)
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 3
1 1 2 2 1 2
2
2( 1) (2 2)
1 2
0
{ (2 )
[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
[ (2 ) [( )
N N
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λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ
µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ
γ λ λ µ µ ξ
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− + − − +
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− − +
− −
−
− − − − +
=
−
+ + + + + + − + − + − −
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + +
∑ ∑
∑ (2 2)
] ]i n
ν − − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(44)
Where
2
2 2
12 2
1 1 1
( )
, ( ) 4 ( ) , 2[ ( 1) ]R s g l N Nk and
µ µ
α γ ν µ µ λ ξ λ µ µ γ
λ
−
+
= = + + + + − + = + + =
We are now in a position to complete the solution for the joint distribution of X (t) and Y (t).
Taking the Inverse Laplace transform of (38) to (44), using the tables [2, 4, 6], we obtain
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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
47
[
1
1 ( 1 2)
0 0 0 0 0 1 0 0
2( 1) 1
1 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1)
0,
1
( 1)
1
{2( ) ( ) }[[ { }
( )
j j ll h
l h p q j l h p q
j l k h r p q
j k h l
g j h l n g j h l n
n
j l j l r h j l
l h r p q
p I I
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λ
γ µ µ λ µ µ µ µ γ
+ −∞ ∞ ∞
+ + + − + − + + +
= = = = = = =
− + + − + −
+ + − − − + + − + +
+ + + −     
−      
     
+ + − + −
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
1 2
( 1 1)
( )2 2( 1)
( 1) ( 1) 1 2
0
( )( )( )
( 1) ( ) ( 2) 1 2
( )
{ }] ( )
( 1 1)!
[ { }](2 ( ) ).
t j k l h p
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g j h l n g j h l n
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g j h l k g j h l k g j h l k
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j k l h p
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λ µ µ ξ
λ µ µ ξλ ξ
γ µ µ γ
γ λ µ µ
+ − + − −
− + + +− + − + + +
+ + − − + + + − + +
− + + + −− +
+ + + + + + + + + + + + + +
−
− − + +
+ − + − −
− − + 
∫
2 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
1
( 1) ( 2) 2( )
( 1)
0 0 0 0 0
1
( 1) (
[ { ( ) ( )( )( ) (1 ) }]
( 1) 2 [[{
} {
j l
l h j j k h l j k h l
g j h l n
j l k h r
g j h l n g
w
p p p
j l l j l r
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λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ λµ
λ γ
γ
+∞ ∞ ∞
+ − + − + + − + − + + −
+ + − − −
= = = = =
−
+ + − + +
+
− + + + + + + − − + −
+ + +   
−    
   
− −
∑∑∑∑∑
1 2
1 2
1
( )
) ( ) ( )
0
( )( )1 ( )
( ) ( 1) ( 1) 1 2
1 2
( )
}] [{
( 1)!
} { }](2 ( ) ). ]
( )[(
t k l
t
j h l n g j h l n g j h l n
t ww
g j h l n g j h l n g j h l n
t w
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k l
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λ µ µ ξ
λ µ µ ξλ ξ
γ λ µ µ
ξ µ µ λ ξ
− −
− + + +
+ + − − + + − + + + − −
− + + + −− − +
+ + − + + + − − + + + − + −
 
 
 
 −
 − + −
− − 
 
− − + 
  
+ + +
∫
1
1 2
2 2
2( 1)
1 2 1 2 1 2
00
1
( )2 1
(2 2) (2 1) 1 2
0
( )( ) 2 1
1 2
( )
)( ) {2( ) ( )}] [{
2!
(2 2) } { (2 1) }](2 ( ) ) . ]
] [ {( )( )( )}
t N
i
i
N
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t w
i N I i N I w w e
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λ µ ξ
λ µ µ ξ
µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ γ
γ λ µ µ
γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ
−
− +
=
−
− + +− −
− + − +
=
− + + + − − −
− 
+ + + + + + + 


− + − − + + 

+ − + + + + +
∑∫
∑
1 2
2
1 2
2 1
2( 1) 2( )
2 1 (2 2)
0 0
12 2
( )2( 1) 1 2( 1)
(2 1) (2 2)
0 0 0 0
( )
(1 ) ( )][{ (2 2) } 3{ (2 1)
} { (2 2) } [ ( 1)
n n
n i n i
i n
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jN N
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λ µ λ ξ µ
µ λ λ ξ µ γ γ
γ γ
− −
− − −
− +
= =
+− ∞ +
− + + +− + − + − + + +
− + − +
= = = = =
− + +
− − + + − + − − +

+ − + + −

∑ ∑
∑ ∑∑∑
1 2
0
2
( 2) ( 2)
0 0 0
1
( )(2 1) 2 1
( ) ( 3) (2 1)
0
2 2 1
[{ }] ( 1)
[{ }] (2 1) ]
j
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g j l i N g j l i N
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+∞ ∞
+ + + − + + + + − −
= = =
−
− + + +− + − − −
+ + + + − +
=




















+ + + + +     
− + −     
     
− − − +

∑
∑∑∑
∑















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



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(45)
International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
48
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
( 1 1)
2 2( 1) ( 1 2)
1 2 1 2
,1,0
1 1 1
( 1)
1
( )
[ ( ) ] 2
(
( )
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j l k h r p i
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j k l m j k l j k p
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+∞ ∞ ∞ −
+ + +
= = = = = = =
− + + + −
+ + − + + − + − + + +
− + + + + +      
−       
      
−
+ +
− + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
( 1 1)
0
2 2 6
( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2
1 2 2 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2
(
{
1 1)!
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] (2 ( ) )
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g j h i p
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g j h i p g j h i l n g j h i l n
g j h i p l n g j h i p l n
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+ + + + +
− + + + −
+ + + + + + + + − − + + + + − − −
+ + + + − − + + + + − +
− +
−
− + − − + + −
+ + + + − − +
∫
)( ) 2
2 1 2 2 1 2 2
1 1
1 ( ) (2 1)
2 1 2 1
0 0 0 0
( 1)
0
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1
( ) }] ( 1)
( )
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λ ξ µ λ µµ λ µ γ
+ −
+ +∞ ∞ −
+ − + − + − + − −
= = = =
− + −
+ + + + + − + − + +
+ + − +    
+ + − −    
   
−
− + −
∑∑∑∑
∫
2 1 2
2
2
( 1) ( 1) 1 2 1 2 2
0
1 2
( ) ( )( )
( 1) ( 1) 1 2
0 0 0 0
2
1 2 2
( )
}(2 ( ) ) [ {( ) }]
2!
[ ](2 ( ) ) ( 1)
[ [( ) ]
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λ µ µ λ ξ µ µ µ
λ µ µ
λ µ µ µ
+ + + − + + − +
+∞ ∞ +
− + + − + + −
+ + + − − + + + − +
= = = =
−
− + + + −
− + − −
+ 
+ − 
 
∫
∑∑∑∑
1 2
1
1
( )1
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0
2
( )( )
( 1) ( 1) 1 2 1 2 2
0
1
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(2
0
( )
(2( ) 2)
( 1)!
( )
[ ](2 ( ) ) [ [( ) ]
2!
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λ µ ξ
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− + −
− + + ++ −
+ + − −
− + + −
+ + − − − + + − + −
−
−
+
=
  −
+ + − − + 
− + − 
−− + + + −
+ +
∫
∫
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1) 1 2 1
1
3
2 1 2 2 1 2 2
0 0 0 0 0
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1
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+
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+
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+ − −
− + +
+ + + +
+ + 
+ + + + + + + − −  
 
+   −
  
+ − −  
∑∑∑∑∑
1
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0
2 1 2
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1 2 (2 1)
0 00
1
(2 2) 1 2
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(2 ( ) ). [ [{ (2 1) } {
2!
(2 2) }](2 ( ) ).
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+ −
− + − − + − +
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−
+ + − − +
− + +
∫
∑ ∑∫
1 2( )( )
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(46)
International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
49
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
( 1 1)
2( 1) ( 1 1)
1 2 1 2
,0,1
1 1 1
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1
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− + + + −
+ + − + + + − + − + + +
+ + + + + −      
−       
      
−
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− + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
( 1 1)
0
2 2 4
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1 1)!
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] (2 ( ) )
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− + + −
+ + + + + + + + − − − + + + − − +
+ + + + − − + + + + − +
− + +
 −−
+ − − + + −
+ + + + − − +
∫
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2 1 2 2 2 2
( 1)1 1
1 ( ) (2 1)
2 0
0 0 0 0
( 1) (
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− + −+ +∞ ∞ −
+ − + − + − + − −
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+ + + −
+ + + + − + + + + − −
 + + − + +    −
−    
− + −   
−
∑∑∑∑ ∫
1 1 2
2
1) 1 2 ( 1) ( 1)
0
1 1
( ) ( )( )
1 2
0 0 0 0
2( 1)
1 2
( )
}(2 ( ) ) [{ }
2!
1 1
(2 ( ) )] ( 1)
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γ λ µ µ
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+∞ ∞ −
− + + − + + − +
= = = =
− + + +
−
+ + −
+ − +   
+ − −    
   
+
∫
∑∑∑∑
1 2
1
( 1)
( )1
[2( ) 1]
0
1
( )( ) 1 2( )
( 1) ( 1) 1 2 1 2
0
(1
(2 1)
( )
{(2( ) 1) }
( 1)!
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+ + − − − + + − + +
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−−
+ +
 −
+ + − + +
− + −
− + + +
+ +
∫
∑
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1 2 1 2 2
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2( )
1 2 ( ) ( )0
0 0 0 0 0
1
( 1) (
] [2( )( ) {(1 )( )
( )
}] ( 1) [{ }
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λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ
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+ − +
+ + − − + + − +
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−
+ + − − + + +
+ + + + + + − + +
+   −
+ − −  
+ − −  
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1 2 2
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1) 1 2 2
2 2 3
2( 1) 2( 3)
1 2 1 (2 2)0
0 0
( ) ( )(1
(2 3) 1 2
}](2 ( ) )] [ (1 )( )
( )
( ) ( )] [ (2 2) (2 3)
2!
](2 ( ) )]
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t w
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λ µ µ ξ λ ξ µ
λ µ µ λξ ξλ λ ξ µ
µ µ λ λ ξ µ γ γ
λ µ µ
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− + +
− −
− + − +
− +
= =
− + + + − + +−
− +
+ + − + +
− 
+ + + + − + − − +

+ 
∑ ∑∫
1 2
1 2
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2 1 1 2 1 2
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1 2
0 0
2
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(2 2) 1 2
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( )
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−
− + + +− − + −
− +
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
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

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











+ − + −
−
+ + + + − +
− + +
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∑

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
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







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

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

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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
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1 2 1 2
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
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1 2 1 2
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 
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 
 
 
 
  
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1
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1
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λ µ µ λ µ µ µ µ
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+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
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− − + − −
− + + +   
+ −    
   
+ + + + +    
+ − +    
    
−
∑ ∑ ∑∑∑∑∑∑ ∑
1
( 1 1)
(2 1) 4
( 1 1) ( 1 2)
0
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
(
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( 1 1)!
{ } { }
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− − + + −
− + − − + −
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− + −
−
− −
− − + + −
− + −
+
∫
1 2
2 1
( )( ))
0 0 0 0 1 0 0 0
( 1 1) ( 1
1 (2 2 1)
1
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− − + − + − − − −
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+ −   
  
+ + + + +    − −
   
− − + −   
∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑
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0 0
1
( 1 ) ( 1 2)
( 1 1) ( 1 3)
1 2 2 1 1 2
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( 1 1) ( 1 3) }]
[2( ){ ( ) }][{(
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+ + + + − + + + + + +
+ + + + − + + + + + + +
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
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+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − + − + + + + + + −
+ − + + + +
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( 1 1)
1
( 1 1) ( 1 2)
1 ( )( ) ( )
( 1 2) 2 1
( )( )
1 1)
( 1 1) } {( 1 2)
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+ + + + + + − + + + + + + −
+ + + + − + +
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1 2
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2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2 2
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2
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2) } [ {( ) ( ) { ( )
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+∞ ∞ +
− + + + +
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− + + +−
+ + − −
−
− +
=
+ 
+ − + + 
 
− − − + + + + + + +
−
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∑∑∑∑
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(2 1) (2 2) 2 1
0 00
( ) ( )( ) ( )( )1 ( )
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( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
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− + + + − + + − − + + −− − + −
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∑ ∑∫
2 1 2 1
1
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2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0
( 1)
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+ 
+ − + − + + − + −  
 
+   −
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− + −  
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1 2
1
) ( 1) ( 1)
1
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2 1 (2 2) 2 1
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1
( ) 2( )
2 1 (2 1) 2 1
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− + + + − − − + −
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=
−
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+ + − + +
+ + − + +
∑∫
∑ 1 2
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λ µ µ ξ
λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
− + + +
− + + − − + + −− + −
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 
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 
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
∫
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1 1
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+ + −∞ ∞ ∞ −
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   
+ + + + +    
+ − +    
    
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1
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(2 1) 4
( 1 1) ( 1 2)
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( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
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[{ }
( 1 1)!
{ } { }
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−
− −
− − + + −
− + −
+
∫
1 2
2 1
( )( )( )
0 0 0 0 1 0 0 0
( 1 1) (
1 (2 2 1)
1
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  
+ + + + +    − −
   
− − + −   
∑ ∑ ∑∑∑∑∑
1)
0 0
1
( 1 ) ( 1 2)
( 1 1) ( 1 3)
1 2 2 1 1 2
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( 1 1) ( 1 3) }]
[2( ){ ( ) }][{
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
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+ + + + − + − + + + + + + −
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1 2
( 1 1)
1
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1 ( )( ) ( )
( 1 2) 2 1
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( 1 1)
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+ + + + − + +
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1 2
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2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2 2
[2( ) 2] 1 1 2 2 2 1
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=
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− − + − + + 
 
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−
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2
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1 2
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(2 1) (2 2) 2 1
0 00
( ) ( )( ) ( )1 ( )
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( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
1!
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−
− − + − − + +
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∑ ∑∫
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1
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0
( 1)
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( )
0
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1 2
1 2
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1
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1
( )1 2( )
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00
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+ + − + + − +
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−
− + + +− − −
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=
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+ + − +
+ + + − +
∑∫
∑∫
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
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1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
( 1) 2( )
( 1) ( 1
0
1
[2( ) ] ( 1)
1 ( )
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− + − + + −
+ + + − − − + + + − + +
+ + + +    
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    
−  −
 −  − − + + − 
−
∑∑∑∑∑∑
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1 1 2
)
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1 2 ( ) ( ) 1 2
( 1)
1 1 2 ( ) ( ) 1 2
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( ) ( )( )( )
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( )
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+ + + − − + + + − +
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− + + − + + −− + −

− + − + + + + +
−
+ + − +
+ − −

∫
1 2 1 2
1 1
( 6)
1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
(
0
[( )( ) ]
1
( 1) ( )
( )
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γ µ µ
λ
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= = = = = =
− − + −
− − + − − + +
+ +
− + + + + +
+ + + + −      
− +      
     
−
− − + −
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1) ( 1) 1 2
1 1
( )( )( )
1 2 1 2
0 0 0 0
2( 1) 1
1 2 [2( ) 1]
}(2 ( ) )]
1
] [ ( )( ) ] ( 1)
( ) (2( ) 1)
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ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
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+ − − + + + + − + +
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− + + −− + −
= = = =
−− + + + + −
+ + − +
− +
+ +  
− + + + + + −   
  
+ + + − +
∑∑∑∑
1 2( )
1
2 1 2 2 1 1 2
( 1)1
2( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0
1
(
[3{( )
( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]
1 ( )
( 1) [{ }
( 1)!
{
t
t k h lj l
l h j k
g j h l n g j h l n
j l k h r
g j
p p
j j k t w
I I
l k k h l
I
λ µ µ ξ
λ ξ µ
λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ
γ
γ
+ + +
+ − −+∞ ∞ ∞
+ − +
+ + − − + + − +
= = = = =
−
+
+ + +
+ + + + + + − + − +
+ +   −
− −  
+ − −  
−
∑∑∑∑∑ ∫
( ) ( )
1) ( 1) 1 2 1
2 2
2( 1)
1 2 1 2 2 1 (2 2)
00
(2 1
(2 1) 1 2
}](2 ( ) ) ] [ (1 )( )
( )
( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }
2!
{ (2 1) }](2 ( ) )
w w
h l n g j h l n
t N
i
i N
i
i
i N
I w e e dw p
t w
p i N I
i N I w w e
λ β ξ λ ξ
λ
λ µ µ ξ λξ λ ξ µ
µ µ µµ λ µ λ ξ µ γ
γ λ µ µ
− + − − +
+ − − + + + − + +
−
− +
− +
=
−− −
− +
− + + − + +
 −
+ + − + + − +

− − + +
∑∫
1 1 2
1 2
1
) ( )( )( )
0
2 2
2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
( )( ) ( )( ) 2( 1)
(2 2
00 0
]
[ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
[{3 4 } ][ (2 2)
1! 2!
N
w t ww
i
t t n
t w t w n i
i n
i
e e dw
p p
t w t w
e e dw i n I
µ ξ λ µ µ ξλ β ξ
λ ξ µ λ ξ µ
λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ
γ
−
+ + − + + + −− + −
=
−
− + + − − + + − − − −
− +
=
 +
− + − + − − + + + + + +
− −
+ − +
∑
∑∫ ∫ )]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(51)
Where 1 2( ) , 2 ( )I t Iν να α λ µ µ≡ = +
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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
56
4. NUMBER OF TIMES THE SYSTEM REACHES ITS CAPACITY IN TIME t
Putting y=1 in (26) and on simplification, we have
[ ]1
1( ,1; ) 1 ( 1) ( , )N
A
H x s x P x s
s
λ
−
−= + −
(52)
Using (28) in (52) and setting x=0, we have
151
0,.
16
( ) 1
ZA
P s
s Z
−  
= − 
  (53)
Where
1
1
1 1
2
1 1 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2
15 2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )}
(2)] [[( )( ) ][ (1){ ( )}
(2) ( )] ( )[ (1){ ( )} (2){ } (3) ]]
s A s A V B B B
Z B V s s s A V B B B
V B A V B B V B B V B
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ
λγ ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ
µ µ µ µ µ µ λ λ
−
− − −
 + − + + + − + + − +

= − + + + + + + − + +
− + + + − + + − − −



 
 
 
1 1
1
1 1
6 2
1 2 2 2 2 1 2
4 4
2 2 1 2 2 1 2
16 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2
[( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( )}
( 1){ }] [{ ( )}{ (1) ( ) (2)
(1){ ( )}} { ( ) ( )}{ ( ) (1)
(2) {
A B V N B V N V N B B
V N B B A s B V B V
Z
V B B A A s B V
B V
λ µ µ λγ γ µ µ
γ λ λ µ λ ξ λγ µ µ
ξ
γ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ
λγ γ
− −
− −
−
− −
+ + − − − + +
+ − + − + + + + + +
=
− + + + − + − + + + +
+ − 1 2}}]]B Bλ
 
 
 
 
 
 
+  
Using (28) in (52), differentiating m times w.r.t. x and dividing both sides by m! And setting
x=0, we have
17
,.
18
( )m
Z
P s
Z
−  
=  
  (54)
Where
1 1 1
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 4 4
1 2 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
17 2
2
[ (1){ ( )} ( ) (2)][ ( ) ( 2)
2 ( ){ [ ( 1) ( 1)]} ( ) ( )
{ }][ (1){ ( )} ( ) ( ){ ( ) (1)
(2)
V B B B B V B V N
s V N B V N B V N
B B V B B A A s B V
Z
B V
γ λγ µ µ µ µ µ µ
λ µ µ λ ξ γ γ µ µ γ
λ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ
λγ
− −
− − −
−
− + + − + + + −
+ + + + − + + + + +
+ + + − + − + + + +
=
+ + 1 1
1 1 1
2
2 1 2 2 1 2
2 2 4
2 1 2 1 2 2
( 1)
( )} [ ( 2) ( ){ ( )}]
{ ( 1) ( )} ( ){ ( 2) ( 1)} { }
{ ( 1) ( 2)}] m
A s A B V N V N B B
A A B V N V N A B V N V N B B
V N V N
λ µ λ ξ λ λ γ µ µ
γ λ µ µ γ λ
−
− −
−
 
 
 
 
 
 + + + + − − + +
 
 + + − + + + − + + +
 
+ − −  
2
( 1) 1 6
1 2 1 1 2 2
2 4
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
18 2 2
1 2 2 2 1 2 2 1
4
2
[ ( ) ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ]
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}
{( ) (1) (2) { }}] [ ( )]
[
m m m
s s s A B V N V N B
V N B B V N B B A A s
Z
B V B V B B A s
B V
λξ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ
µ µ λ γ γ λ λ λ µ ξ
γ λ
− + + −
− −
− −
−
+ + + + + − − −
+ + − − + − − + − + + +
=
+ + − + − + + + +
2 1
2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
B V V B Bµ µ γ µ µ− +
 
 
 
 
 
 + + − + + 
Expanding the right hand sides of (53) and (54), we have
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938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
57
1
( ) 2( 1) 2
0 0 0 0 0 0
2 2 ( 1) ( 1
1 2 2 1 2
0,.
1
( 1)
( )( ) ( ) (1 ) [{
( )
j jl
i l h j l h i j k h l r
j l k h i r
g j k l g j k l
j l j l r j j k l
s
l h r i k
p p R R
P s
λ γ
λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ
+∞ ∞ ∞
++ − +− + − + + −+ + −
= = = = = =
− + + +− − + + ++
−
+ + + + −     
−      
     
 + + + + + − − − −
=
∑∑∑∑∑∑
)
1 ( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 2) 2
0 0 0
( 2 2)
1 2 1 2
0 0
2
1
}
{ } (2 ) { }]
1
( 1) [ ( )( )( )
(1 )
j
g j i h k g j i h k i j k g j k l g j k l
j l k
j
i l j k l i
i r
R R R R s
j l j k j r
l k r
p
γ λ γ
γ λλ ξ µ λ ξ µ µ µ
λµ
∞ ∞
− − + ++ + + − + ++ + + + + − − + + +− − + + +− −
= = =
∞
+ − + −++
= =
− − + − −
+ + − +   
− + + + + +   
   
− − +
∑∑∑
∑∑
( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2)
2
3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)
1 2 1 2
( )][{ } { }]
[ ( )] { }] ( )( ) [{ }]
g j l k N g j l k N g j l k g j l k
g j g j k l g j r l g j r l
p R R R R
p R R s R R
λ λ ξ µ γ
λ µ µ γ ξµ µ λ ξ
− + ++ + − + ++ + + − + ++ + − + ++ +
− − + − − + + − −− − + + ++ − + + ++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + − − −
 
− + − − + + + −  
(55)
1 1 1
1
0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1
1 2
,.
1 1 1
( 1)
1
2 [( ) ]
( )
j j kl m m i
i l p q h
j l k h r i q p
m i l p q m i l p q l p
m
m m j j l j k m i j k
i j l h k p q
j i l r
p
r
P s
λ µ µ λ γ
+ −∞ ∞ ∞ − + −
+ + + +
= = = = = = = =
− − + − − − − + + + −
−
− + + + + − −       
−        
       
+ + + 
+ 
 
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
(2 1) ( 1 1)
1 2
( 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)
1 1
0 0 0 0
( )
( ) [{ } { }]
1
( 1)
m j i q m i l p
m i k l g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N
j m
i l
j l k i
s
s R R R R
m m j j i j i
i j l
µ µ ξ
λ ξ γ
+ − − − − − − + −
− − − − − − + + + + + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + + +
+∞ ∞ −
+
= = = =
+ + +
+ + − − −
− + + +   
+ −    
   
∑∑∑∑ 1 (2 2)
1
( ) ( ) ( 2) ( 1)
2 1 2 1 2
1 2
( 3) 2( 1) 2
0 0 0 0
[2 ( )
( )( )]( ) [{ } {
}] ( 1) [ { (
m i k m j i N
m i l k g j i N g j i N g j i N
j N
g j i N l i j k i
j l k i
k
k
s R R R
j l
R p
l
λ γ λλ ξ µ
λ ξ µ µ µ µ µ ξ γ
γ λ µ
− − − − + − − −
− − + + − + + + − + + + + − + + + +
+∞ ∞ +
− + + + + + − + + +
= = = =
+ 
+ + 
 
+ + + + + + − −
+ 
− − −  
 
∑∑∑∑ 2( ) 2
2 1 2
[2( ) 2] 2
1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2( 1) 2 3 (2 3) 2( ) (2 1)
1 2 1 2
0 0
) }] {(2 )
[( ) ] } [ ( )( )( ) (1 )
( )][{ (2 ) [( ) ] } { (2 )
[(
l i j k i N
j k i N
N n
i i N i N n i i n
i i
s p
p s
s
µ µ λ
λ µ µ ξ ν λλ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ
λ µ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ
+ + + − −
− + + − −
− −
− + − + − − + − − +
= =
+ −
+ + + + + + + + + + + − −
+ + + + + + + −
+ +
∑ ∑
(2 1)
1 2 ) ] }]i n
µ ξ ν − − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + +
 
 
 
(56)
Taking the inverse transform of (55) and (56), we have
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Distribution of the number of times m m 2 n

  • 1. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 31 DISTRIBUTION OF THE NUMBER OF TIMES M/M/2/N QUEUING SYSTEM WITH HETEROGENEOUS SERVERS REACHES ITS CAPACITY IN TIME T SUBJECT TO CATASTROPHES AND RESTORATIONS Dhanesh Garg Lecturer, School Of Mathematics and Computer Applications, Thapar University, Patiala-147004, Punjab, India ABSTRACT In this paper, we study the distribution of the number of times that a limited capacity two heterogeneous servers Markovian queue subject to catastrophes and restorations reaches its capacity in time t. The occurrence of a catastrophe makes the system empty instantly but the system takes its own time to be ready to accept new customers, this time is referred to as ‘restoration time’. The afore said distribution is obtained as a marginal distribution of the joint distribution of the number of customers in the system at time t and the number of times system reaches its capacity in time t under the conditions of catastrophes and restorations. Some measures of effectiveness are obtained explicitly with catastrophic and restoration effects. Keywords: Catastrophes, Heterogeneous servers, Markovian queue, Restoration, Finite capacity. 1. INTRODUCTION In the last one decade a lot of work has been done by various authors taking into consideration the concept of catastrophe B.K. Kumar et. al. [1] obtained the transient solution of an M/M/2 queue with heterogeneous servers subject to catastrophes. DI Crescenzo et. al. [3] made a continuous approximation of M/M/1 queue with catastrophe. In all the above mentioned studies the researchers have obtained the state probabilities in one way or the other and have computed various measures of performance. In this paper, the occurrence of a catastrophe makes the system empty instantly whenever the system is not empty but the system takes its own time to ready to accept new customers, this time is referred to as ‘the restoration time’. The system subjected to catastrophes must take some time for its restoration after the occurrence of a catastrophe. We have obtained explicitly the distribution of the IJMRD © PRJ PUBLICATION International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248 – 938X (Print) ISSN 2248 – 9398(Online), Volume 3, Number 2, April - May (2013), pp. 31-61 © PRJ Publication, http://www.prjpublication.com/IJMRD.asp
  • 2. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 32 number of times the system reaches its capacity in time t under the effects of catastrophe and restoration. Various other measures of performance have also been obtained explicitly. 2. MODEL DESCRIPTION We consider an M/M/2/N queueing system having two heterogeneous servers with FCFS discipline subject to catastrophes and restorations. The customers arrive at a counter in accordance with a Poisson process with mean arrival rate λ>0. This model is based on the following assumptions:- 1. There are two servers: server 1, the fast server and server 2, the slow server. The service times are exponentially distributed with mean service rates µ1 and µ2 respectively and µ1>µ2. 2. If the system is empty, a customer joins the fastest server with probability p and the slow with probability 1-p. 3. Each customer is served only at one server. 4. When the system is not empty, the catastrophes occur according to Poisson process with mean rateξ .The occurrence of a catastrophe destroys all the customers in the instants and affects the system as well. The system will require some sort of time to restarts in a normal way, which is taken as restoration time. The restoration times are independently, identically exponentially distributed with parameter β>0. The customers arrive in the system during the restoration time as usual. We define m, nP (t) = Prob. [X(t) = m, Y(t) = n], 2 n N≤ ≤ (1) Where X (t) = the number of times the system reaches its capacity in time t. Y (t) = the number of customers in the system at time t. ,0 ( )mP t = the prob. that the system is empty at time t. ,00 ( )mP t = The prob. that there are zero customers in the system at time t without the occurrence of Catastrophe. ,00 ( )mQ t = The prob. that there are zero customers in the system at time t with the occurrence of catastrophe destroying all the customers. ,1,0 ( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 1. ,0,1( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 2. The marginal probabilities are ., , 0 ( ) ( )n m n m P t P t ∞ = = ∑ And ,. , 0 ( ) ( ) N m m n n P t P t = = ∑
  • 3. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 33 3. DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS GOVERNING THE SYSTEM ,00 ,00 1 ,1,0 2 ,0,1 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0m m m m m d P t P t P t P t Q t n m dt λ µ µ β= − + + + = ≥ (2) ,00 ,00 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0 N m m m n n d Q t Q t P t n m dt λ β ξ = = − + + = ≥∑ (3) ,1,0 1 ,1,0 ,0 2 ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m d P t P t pP t P t n m dt λ µ ξ λ µ= − + + + + = ≥ (4) ,0,1 2 ,0,1 ,0 1 ,2( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m d P t P t p P t P t n m dt λ µ ξ λ µ= − + + + − + = ≥ (5) , 1 2 , , 1 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;2 1, 0m n m n m n m n d P t P t P t P t n N m dt λ µ µ ξ λ µ µ− += − + + + + + + ≤ ≤ − ≥ (6) , 1 2 , 1, 1( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1m N m N m N d P t P t P t n N m dt µ µ ξ λ − −= − + + + = ≥ (7) 0, ( ) 0N d P t dt = Taking Laplace transform of the equations (2)-(7) w.r.t. t we have 0,00 0,00 0,1,0 0,0,11 2 0,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0s P s P s P s P s Q s mλ µ µ β − − − − − = − + + + + = (8) 0,. 0,000,00 0,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 0sQ s Q s P s P s mλ β ξ − − − − = − + + − = (9) ,00 ,00 ,1,0 ,0,11 2 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m m ms P s P s P s P s Q s mλ µ µ β − − − − − = − + + + ≥ (10) ,. ,00,00 ,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1m mm msQ s Q s P s P s mλ β ξ − − − − = − + + − ≥ (11) ,1,0 ,1,0 ,0 ,21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m ms P s P s p P s P s nλ µ ξ λ µ − − − − = − + + + + = (12) ,0,1 ,0,1 ,0 ,22 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )m m m ms P s P s p P s P sλ µ ξ λ µ − − − − = − + + + − + (13) , , 1 , 11 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2,3,..., 1m n m n m ns P s P s P s n Nλ µ µ ξ λ µ µ − − − − ++ + + + = + + = − (14) , 1, 11 2( ) ( ) ( ) ; , 1m N m Ns P s P s n N mµ µ ξ λ − − − −+ + + = = ≥ (15) 0, ( ) 0Ns P s − = Since 0,00P (0) = 1 Where , , 0 ( ) ( )st m n m nP s e P t dt ∞− − = ∫ Define the probability generating functions by , 0 ( , ) ( ) m n m n m P x s P s x ∞− − = = ∑ (16)
  • 4. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 34 0 2 0 0 1,0 0,1 ( , ; ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) N n n n H x y s R x s P x s y R x s P x s P x s P x s − − − = − − − − = + = + + ∑ (17) . ,. 0 ( , ) ( ) m m m P x s P s x ∞− − = = ∑ (18) Multiplying equation (8) to (15) by xm , summing over the ranges of m and using (16), we have 0 1,0 0,1 .1 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1, 0s P x s P x s P x s P x s nλ ξ µ µ ξ − − − − + + = + + + = (19) 1,0 0 21 2( ) ( , ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ − − − + + + = + (20) 0,1 0 22 1( ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ − − − + + + = − + (21) 1 11 2 1 2( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ),2 1n n ns P x s P x s P x s n Nλ µ µ ξ λ µ µ − − − − ++ + + + = + + ≤ ≤ − (22) 11 2( ) ( , ) ( , )N Ns P x s x P x sµ µ ξ λ − − − + + + = (23) Using (19) to (21), we get 01 1 2 21 1,0 2 1 2 1 11 [( )( ) { ( ) }] ( , ) ( , ) [ {2( ) }] ( ){( ) ( 1) ( , )}N s s p P x s P x s s s s s x P x s λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ µ λ ξ µ µ µ λ ξ ξ λξ − − − − − −   + + + + + − + − = + + + +   − + + + + + −  (24) 02 1 2 21 0,1 1 1 2 1 12 [( )( ) { ( ) }] ( , ) ( , ) [ {2( ) }] ( ){( ) ( 1) ( , )}N s s p P x s P x s s s s s x P x s λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ µ λ ξ µ µ µ λ ξ ξ λξ − − − − − −   + + + + + + + − = + + + +   − + + + + + −  (25) Multiplying equation (22) to (23) by yn , summing over the ranges of n and using (17), we have on simplification 1 2 ( , ; ) D H x y s D − = (26) Where 1 2 0 1,0 0,11 1 2 1 1 2 1 1 2 [1 ] (1 )( ) ( , ) (1 )[ ( , ) ( , )] (1 ) (1 ) ( , ) ( 1) ( 1) ( , )N N D y s y y R x s y y P x s P x s x y y y P x s s y x y x P x s s ξ λ µ µ λ λ λ ξ µ µ ξ − − − − − − − + − = + + − − − − − + +   − − + − + − +   + + +   2 1 2[( ) (1 )( ( ))]D s y y yξ λ µ µ= + + − − + 1 1 2 (1 ) ( , ) ( , )N N x y P x s P x s s λ µ µ ξ − − − − = + + +
  • 5. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 35 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( ) , 1,2. 2 i s s s i λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ α λ + + + + ± + + + + − × + = = The existence of ( , ; )H x y s − is only possible if numerator vanishes for α1 and α2 the two zeros of the denominators. This will give rise two equations, solving them we have; 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) E x s P x s E x s − − − = (27) 2 1 (., ) ( , ) ( , ) N E s P x s E x s − − − − = (28) Where [ ]2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) [ ( )] { ( 1) ( )} ( ) ( ) ( 1) [ ( )] [ { ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}] ( , ) [ ( 1)( ) [ ][ ( )]] ( s A x s s A s T N s T N A A x s s T N T N T N T N E x s s x s A A s A λ ξ γ µ µ ξ λ µ ξ µ λ ξ λ µ µ ξ λγ µ µ λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ λγ − − − − − − − − − + + + + − − + + + + + + − + + + + − − − + + + − + = − + + − − + + + + 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1)[ ( )( )] ( 1) ( 1) [ (2){ ( ) ( )}] (2)( ) x s s s T N x A s V A s s s A A V µ µ ξ µ λ ξ λξ λγ ξ µ λ ξ λγ µ µ − − − − −         − + +   + + + + − + − + + + + + +    +  1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 [( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)] (., ) [( )( ) ][ (1){ ( )} (2) ( )] ( )[ (1){ ( )} (2){ } (3) s A s A V B B B B V E s s s s A V B B B V B A V B B V B B V B ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λγ ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ µ µ µ µ µ µ λ λ − − − − − − + − + + + − + + − + − = + + + + + + − + + − + + + − + + − − − 2 ]            1 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 6 1 1 2 1 2 2 ( 1) [{ ( )}{ (1) ( ) (2) (1){ ( )}} { ( ) ( )}{ ( ) (1) (2) { }}] [ ( 1) ( , ) ( ) ][( ) ( 1) x s A s B V B V V B B A A s B V B V B B x E x s A A x s B V N B λξ λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ λγ γ λ λ λ µ µ ξ µ µ λγ − − − − − − − − − + + + + + + − + + + − + − + + + + + − + + − = + + + + + + − 1 1 1 1 2 2 2 1 2 4 2 1 6 2 2 1 1 2 1 2 2 2 4 2 1 2 2 ( 2) ( ){ ( )} ( 1){ }] ( ) [( ) ( 2) ( 1) ( 1){ ( )} ( ){ }] V N V N B B V N B B A x s B V N B V N V N B B V N B B γ µ µ γ λ λ µ µ ξ µ µ λγ γ µ µ γ λ − − − − − −         − − + +    + − + − + + + + + − − −    + + + + +  [ ]1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) [( )( ) ] [( ){( ) ( ) } ( )] [( ) ( ){ ( )} ( )] A s s A s B s s s p p s B s A p µ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ λ ξ µ µ µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ = + + + + + + + = + + + + + = + + + + + + + + − + + + = + + + + + − − − 21 2 1 2 ( )say µ µ α α γ λ − + = = , 2 ( ) ( 1) ( )T n V n V nγ − = + − and 1 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3,...r r V r s s rα α= − = If we write 2 1 2[( )( )]D y yλ α α= − − − (26) yields
  • 6. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 36 1 11 1 2 0 01 2(1) n n n n D y y V α α λ α α ∞ ∞ − − = =       −          ∑ ∑ , 2 1 y α < (29) Now ( , )nP x s − is the coefficient of yn in (17). Comparing the coefficients of yn on both sides of (29), we have: 2 1 0 11 2 3( , ) ( , ) ( , ) (1) n n NP x s s F F P x s F P x s V γ λ − − − − −   = + +   (30) Where 2 2 1 1 1 2 1 2[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}]F s T n s AV n A T n T nξ λ µ ξ γ µ µ λγ − = + − + + + − − + + − 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 ( 1)[( ){( ) ( ) } ( )] [ ( )( ) ( 2)][( ) ( ){ ( ) } ( )] T n s s s p p s F T n T n s A p λ µ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ λ µ µ µ µ λµ µ µ −  − + + + + + + + + − + + +   = + + + − + + + + − +   − −   1 2 2 3 1 1 2 2( 1)[ ( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )} ]F s x T n s T n T n V n Aλξ λ µ ξ γ µ µ λγ− −  = − − + + + − + + − +  Since 0 ( , )P x s − and 1( , )NP x s − − are given by (27) and (28), so ( , )nP x s − are explicitly known. For setting x=0 in (30) gives [ ] 2 0, 1 6 2 3 7 4 52 6 ( ) { } (1) n nP s sZ Z Z Z Z Z Z s Z V γ λξ λ − = + − − (31) Where 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)} ( 1)[( ){( ) ( ) } ( )] [ ( )( ) ( 2)][( ) ( ){ ( )} ( )] Z s T n s AV n A T n T n T n s s s p p s T n Z T n s A p ξ µ λ ξ γ µ µ λγ µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ − −  = + − + + + − − + + −   − + + + + + + + + − + + + + + + =  − + + + + + − − − 2 2 3 1 2 1 1 2 2 4 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 5 2 1 ( )[ ][ ( )] ( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )} [( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)] [ ( )( Z s A s Z T n s T n T n V n A s A s A V B B B B V Z A s s λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ µ λ ξ γ µ µ λγ ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λ γ λ ξ µ λ − − − − −     = − + + − − + + +   = − + + + − + + − +  + − + + + − + + − + − + = + + + + + 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 6 1 2 )][ (1) {( ( )} ( ) (2)] ( ) [ (1){ ( )} (2){ } (3)] [ ( )][ (1) ( ) (2) (1){ ( )}] [ [ ] ( ) V B B B B V A V B B V B B B V A s B V B V V B B A A Z s ξ γ λγ µ µ µ µ µ µ µ µ λ λ λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ λξ µ µ − − − − −     − + + − + + +   − + + − + −   + + + + + + − + + + − = − + − 1 2 2 4 1 1 2 2 2 1 2 6 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 7 1 1 1 2 1 2 1 2 ( )][( ) (1) (2) { } ( 1) { } [ {( ) ( 1) ( 2)} ( ){ ( )}] [( )( ) ( )] ( 1) ( ) (2) s B V B V B B V N B B A B V N B V N V N B B Z A s s s T N A A V µ λ ξ µ µ λγ γ λ γ λ λ µ µ λγ γ µ µ λγ ξ µ λ ξ µ µ λγ µ µ − − − − − − −     + + + + + − + + −   + + − + + − − − + +  = − + + + + + + − + +  Applying the Leibniz differentiation theorem to (24) to (25) and (27), setting x=0 and dividing both sides by m! We have 8 ,1,0 9 ( ) , 1m Z P s m Z − = ≥ (32)
  • 7. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 37 10 ,0,1 11 ( ) , 1m Z P s m Z − = ≥ (33) 12 ,0 13 ( ) , 1m Z P s m Z − = ≥ (34) Where 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 6 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 8 [ {( ) } (2) [ ( ) ( )( )( )] ( 1) ( ) ( ) [2 2 {( ) } ( 1) ( 2) ( ) { ( ) }]][ ( ) { ( 2) ( 1)} s p A A V s s s T N s s s A A A A A p B V N V N B V N B B A B V N V N A A Z λ µ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ λ µ ξ λµ λ µ µ µ λγ γ µ µ λ µ µ − − + − − + + + + + + + + + − + + + + + + + + − + − − − + + + + − + + = 2 4 2 1 1 2 1 4 4 2 1 1 2 1 2 2 1 4 2 6 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 { ( 1) ( )} { } { ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {{( ) } }{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2) B V N V N B B T N T N s s T N A T N A A p B B T N T N B B V N p T N T N A B V N B γ γ λ λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ µ γ λ µ µ λ µ µ λγ − − − − − − + − + + − − − + + + + + − − − + − + − − − + + + + − − − + + − 2 2 ( 1) 1 2 2 1 1 2 2( 1) ( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m V N V N B A A V A s pγ λξ ξ λ µ µ µ− −                   − − + + + + + −  2 2 2 2 ( 1) 1 6 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 4 9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 [ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}] [ m m m m s s s s A B V N V N B Z V N B B V N B B A A s B V B V B B γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ λ + − + + − − − − − + + + + + + + + + − − = − + + − − + − − + − + + + + + − + − 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m A s B V B V V B Bλ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +         + + + + + + − + +   2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 6 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 10 [ ( ) (2) { ( ) ( )( )( )}] ( 1) ( ) ( ) [2 2 {( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) }}][ ( ) { ( 2) ( 1)} { s pA A V s s s T N s s s A A A A A pB V N V N B V N B B A B V N V N A A B Z λ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ λ µ ξ λ µ λ µ µ λγ γ µ µ λ µ µ γ − − − + − + + + + + + + + + − + + + + + + + + + − − − + + + + − + + = 4 1 2 1 4 4 2 1 1 2 1 2 1 2 4 2 1 2 1 2 1 1 2 2 6 2 2 ( 1) ( )} { } { ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {( ) } { ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2) ( 1) V N V N B B T N T N s s T N A T N A A pB B T N T N B B V N p T N T N A B V N B V N V γ λ λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ γ λ µ µ λ µ µ λγ γ − − − − − − − + − + + − − − + + + + + − − − + + − − − + + + + − − − + + − − − 2 ( 1) 1 2 2 1 1 2 2( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m N B A A V A s pλξ ξ λ µ µ µ −                   + + + + + −  2 2 2 2 ( 1) 1 6 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 4 11 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 [ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}] [ m m m m s s s s A B V N V N B Z V N B B V N B B A A s B V B V B B γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ + − + + − − − − − + + + + + + + + + − − = − + + − − + − − + − + + + + + − + − 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m A s B V B V V B Bλ λ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +         + + + + + + − + +   2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 4 12 1 2 1 1 2 2 (2)( ) [( )( ) ( )] ( 1) [2 2 {( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) }}][2 (1) ( ) ( ) {2( )( )} ( 1) ( 2)][2 { ( ) A AV A s s T N A A B V N B V N V N B B V T N s Z T N V N A A B B µ µ ξ λ µ ξ µ µ λ λ µ µ λγ γ µ µ λγ µ µ γ µ µ λ ξ λ γ λ γ µ µ − − − + − + + + + + + − + + + + − − − + + + + + + + + = − − + + + 1 2 4 2 6 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 }{ ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )} ( ){ } 2 {( ) ( 2) ( 1) ( 1)} (2){ ( ) ( )}] m T N T N T N T N V N B B A B V N B V N V N B A A V A s µ µ γ λ λ µ µ λγ γ λξ ξ λ µ µ − − − −        − − − + + − −    + + − + + − − − + + +   + +   2 2 2 ( 1) 1 6 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 4 2 2 13 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 4 2 1 [ ( ) ][ ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}] [ ( )][ m m m m s s s A B V N V N B V N B B Z V N B B A A s B V B V B B A s γ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ λ λ µ ξ γ + − + + − − − − − − + + + + + − − − + + = − − + − − + − + + + + + − + − + + + + 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m B V B V V B Bλ µ µ γ µ µ− +         + + − + +   Now 2 , ,014( ) ( ) (1) n m n mP s Z P s V γ λ − −   =    (35) Where 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 14 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 [( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}] [ ( 1){( ) {( ) ( ) } ( )} [ ( )( ) ( 2)][( ) ( ) { ( ) } ( )]] s s T n s AV n A T n T n T n s Z s s p p s T n T n s p ξ λ µ ξ γ µ µ λγ λ µ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ λ µ µ µ µ λµ µ µ − − −  + − + + + − − + + − + − + + +  = + + + + + − + + + + + + − + + + + − + − −        Using (10) and (11), we have , ,0 0 ,00 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N m n m n m P s s P s P s s s ξ λ β λ β ξ λ β ξ − − − =+ + = − + + − + + − ∑ (36)
  • 8. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 38 , ,00 ,00 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) N m n mn m P s P s Q s s s ξ ξ λ β ξ λ β ξ − − − = = − + + − + + − ∑ (37) We know that ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( 1) 1 -j 1 (1 / ) ,( ) ( ) ( ) ,( ) ( 1) and (1-a) j i i k i j j i j j j j i j j i i i ii j k k k a b a a C a b a a b b a b a b C a b b C ∞ = = ∞ = − + + + − + − − = + = + + + − = − = ∑ ∑ ∑ Using these Identities in (31) to (37), we have [ 1 1 ( 1 2) 2( 1) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ( 1) ( 1 1 2 2 1 1 2 0, 1 ( 1) 1 {2( ) ( ) }[ { ( ) j j ll h l h p q j l h p q j k h l j l k h r p q g j h l n g j h l n n j l j l r h j l l h r p q p R R P s λ γ µ µ λ µ µ µ µ γ + −∞ ∞ ∞ + + + − + − + + + − + + − + = = = = = = = − − + + − − − − + + − + + − + + + −      −             + + − + − = ∑∑∑∑∑ ∑ ∑ ) 2 ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 2 ( 2) 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 } { }] ( ) ( ) [ { }] [ { ( ) ( )( )( ) (1 ) ( }] g j h l n g j h l n l h k h l j k l h p g j h l k g j h l k g j h l k R R s p R R R p p p γ µ µ γ λ ξ γ λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ λµ − − + + − − + − + + − + + + − + + + − + − + − − + + + + + − + + + + − + + + + + − − + + + + − − + − + + + + + + − − + − − 1 ( 1) ( 2) 2( ) ( 1) 0 0 0 0 0 ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 [{ } { }] ( ) [{ j l l h j j k h l j k h l g j h l n j l k h r g j h l n g j h l n g j h l n k l g j h l n g j h j l l j l r R l h r R R R s R R λ γ γ λ ξ +∞ ∞ ∞ + − + − + + − + − + + − − + + − − − = = = = = − + + − + + − − + + − − − + + − + − − − + + − − − + + + + +            − − − + + + − ∑∑∑∑∑ ) 1 ( 1) ( 1) 2 3 2( 1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 2 (2 2) 2 2 1 1 2 } { }] ( )[( )( ) {2( ) ( )}]( ) { (2 ) [( ) ] } (2 ) [( l n g j h l n g j h l n N i i i N i N i i N R R s s s γ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ − + − − + + − − + − + + − + − − − − + = − + − − + − − +            − −       + + + + + + + + + + + + +   + + + + + − + + ∑ 1 (2 1) 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2( 1) 2 2 (2 2) 2( ) 2 1 1 2 0 0 (2 1 2 ) ] [ {( )( )( )} ( ) (1 ) ( )] { (2 ) [( ) ] } 3{ (2 ) [( ) ] N i N i n n n i i n i n n i i n i i i p p s s µ ξ ν γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ λ ξ µ µ λ λ ξ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ ν − − − + = − − − − − − − + − − + − − + = = − −  + + +   + − + + + + + − + + − − + +  + + + + + −  + + + + + ∑ ∑ ∑ 2 1) 2( 1) 2 2 (2 2) 1 2 0 1 22 2( 1) ( 2) ( 2) 0 0 0 0 0 0 0 } { (2 ) [( ) ] } 2 ( 1) [{ }] ( 1) 2 1 N n i i N i N i j jN l i j k i g j l i N g j l i N l j l k i j l k s j l N R R l i j j k l k γ λ λ µ µ ξ ν γ − + − + − + − − + = + +∞ ∞ + ∞ ∞ + − + + + − + + + − + − + + + − − = = = = = = =  + + + + + + +  + +   − − + −      + + +      ∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ 1 (2 1) ( ) ( 3) 2 2 1 (2 1) 1 2 0 [{ }] (2 ) [( ) ] N j l g j i g j i i N i N i R R sγ γ λ λ µ µ ξ ν − − − − − + + − + + − − + − − + =                                                                           − − + + + + +      ∑ (38)
  • 9. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 39 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 2( 1) ( 1 2) ( 1) ( 1 2 1 2 1 2 ,1,0 1 1 1 ( 1) 1 [ ( ) ] 2 ( ) { () j l h m i l h p j l k h r p i j k l m j k l j k p mi l k p m j m j l j l r h m j l h r p i p s R P s λ µ µ µµ γ µ µ ξ +∞ ∞ ∞ − ++ + = = = = = = = + + − + + −+ − + + + − −++ + − − + + + + + −       −               + + + + + = ∑∑∑∑∑∑∑ 11) ( 1 2) 2 ( 1) ( 1) 2 6 1 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 2 1 2 2 1 2 } { } (2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }][ ] [ ( ) {( ) g j h i p g j h i p g j h i l n g j h i l n j i k g j h i p l n g j h i p l n R R R p p R R p p γ λ γ λµ µ λ µµ µ λ ξ λ ξ µ λ µ λξ λ ξ µ λ µ µ + + ++ + − + + ++ + − − + + +−− + − + + +−− − ++ + − − + + ++ −− − + + ++ −+  − + − − + + − + + + + − − + + + + + − 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 0 0 1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 1 2 2 } (1 ) {( )( ) }] ( 1) 1 ( ) [ ] [( ) ]( j i m i l j l k i mi l k m j i mi l g j l n g j l n p p j i l m j k s R R l i k p µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µµ λ µ γ µ µ ξ λξ µ µ µ ++∞ ∞ − + = = = = −+ − + − + −− − −+ − + ++ − − + +− +  + − + + + + − −  + + − +    + + + −        + + − ∑∑∑∑ 1 2 3 ( 1) ( 1) 2 0 0 0 0 2 2( ) 2 [2( ) 2] ( ) 1 2 2 1 2 1 ( 1) ( ) [ ] ( 1) [ [( ) ] (2 ) [( ) ] ( ) [ j N g j l k n g j l k n l j l k i l i j k i N j k i N j l i g j k l n g j k j l s R R l p s s R R λ µ ξ λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ +∞ ∞ + − − + ++ − − − + ++ − + = = = = + + + − − − + + − − − −+ − + + −− − − + + − +  + + + − − −     + − + + + + + + + + + − ∑∑∑∑ 1 1) 3 2( ) 2 1 1 2 2 1 0 (2 1) 3 1 2 1 2 1 2 2 2( ) ( 1 2 2 ] [ [( ) ]( ) [ (2 ) [( ) ] ] [2( )( ) ( ) 1 [( ) ]] ( 1) ( ) n l n n i i n i i n l h j k r k h p s s p j l m j l p s l j h λξ µ µ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ µ µ µ γ λ ξ − + − − − + + = − + + + − + + − + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +    + − − + +        ∑ [ 1 ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3 1 2 2 2( 2) 2 1 (2 1) 2( 1) 2 2 1 2 1 2 [{ } { }] ( ) [ [( ) ]] (2 ) [( ) ] (2 ) [( j l l j l k h r g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n i i N i N i i N R R R R s p s s γ λξ ξ λ µ µ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ +∞ ∞ ∞ − = = = = = − + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + − − + − − − − − − + − + − − − + + + − + + + + + + + + + + ∑∑∑∑∑ 1 2 (2 2) 0 0 ) ] ] N N i N i i ν + − − − + = =                                                                 +       ∑ ∑ (39)
  • 10. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 40 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2( 1) ( 1 1) ( 1) 1 2 1 2 1 2 ( ,0,1 1 1 1 ( 1) 1 [ ( ) ] 2 ( ) { ( ) j l h m i l h p j l k h r p i j k l m j k r l j k p m i l k p m j m j l j l r h m j l h r p i s R P s λ µ µ µ µ γ µ µ ξ +∞ ∞ ∞ − + + + = = = = = = = + + − + + + − + − + + + − − + + + − − + + + + + −       −               + + + + + = ∑∑∑∑∑∑∑ 1 1) 2 ( 1 2) ( 1) ( 1) 2 4 1 2 1 2 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 2 2 } { } (2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }] [ ] [ ( ) (1 ) { g j h i p g j h i p g j h i l n g j h i l n i k g j h i p l n g j h i p l n R R R p p R R p p γ λ γ λ µ µ µ µ µ λ λ ξ λ ξ µ λ µ λξ λ ξ µ µ µ λ µ + + + + + − − + + + + + − + + + − − − − + + + − − + + + − − + + + + − − − + + + + − +  − + − − + + − + + + + − − + + + + − + 1 1 2 2 0 0 0 0 1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1) 2 1 2 3 ( 1) 1 1 1 ( )( ) (1 ) }] ( 1) ( ) [ ] ( ) [ j i m i l j l k i m i l k m j i m i l g j l n g j l n g j l k n j i m p l i j i k s R R k s R R λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ γ µ µ ξ ξ λ µ ξ + +∞ ∞ − + = = = = − + − + − + − − − − + − + + + − − + + − + − − + + + − − + + −    + + + − − −       + +  + + + −    + + + + − ∑ ∑ ∑∑ 1 1 ( 1) 0 0 0 0 ( 1) 2 1 2 2( ) 1 [2( ) 1] ( ) 1 2 1 ( 1) ( 1 ] ( 1) 1 [ [( ) ] (2 ) [( ) ] ( ) [ j N g j l k n i l j l k i j k i l i j k i N j k i N j l k g j k l n g j k j l N N j p i j s s R R γ λ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ +∞ ∞ − − + + + + − + = = = = − + + + + + + − + − + + − + − − + − + + − − − − + + +   − −     − +   +       + + + + + + + + + − ∑∑∑∑ 1 1) 1 2( ) 2 1 1 2 0 (2 1) 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 1 2 0 0 0 0 0 ( ) ] [ [( ) ] (2 ) [( ) ] ] [2( )( ) {(1 )( ) }] ( 1) ( ) n l n n i i i n i i n j l l h j k j l k h r k h l p s p j l l p l h s λ ξ γ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µ µ λ ξ µ µ µ γ λ ξ − − + + − − + + = − + + +∞ ∞ ∞ + − + = = = = = − + −  + + + + + + + + + + + + + +   − + + + −       + + ∑ ∑∑∑∑∑ ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 1 2 2 2( 1) 2 2 (2 2) 1 1 2 0 2( 3) 2 3 [{ } { }] ( ) [ (1 )( ) ( ) ( )] [ (2 ) [( ) ] ] (2 ) [( g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n N i i N i N i i i N R R R R s p p s s γ λξ λ µ ξ ξλ λ ξ µ µ µ λ λ ξ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + + − − − + − + − − + = − + − + − − − + + + + − + + + +  + + + + + + + −  + + ∑ 3 (2 3) 1 2 2 1 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 2 (2 3) 2 2 (2 2) 2 1 2 0 ) ] [( ) { (1 ) [( )( ) ]}][( ) 4( ) ][ (2 ) [( ) ] N i N i n n i i n i n i p p s s s µ ξ ν µ µ µ µ λ µ µ µ λ ξ λ ξ µ λ λ µ ξ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν − − − + = − − − − + − + − − + =                                           + + + + − + − + + + + − + + + + + + + + + + + +  ∑ ∑                                                          (40)
  • 11. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 41 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 2 ,0 1 [2( ) ] ( 1) 1 2 ( ) { } ( ) j l m i l h j l k h r i j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n m m j j l j l r j l h r m s R R i P s µ µ µµ γ µ µ ξ +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = = − + − + + − − − − + + − + + + − − − − + + + − + + − + + + +     + + −           −   + + + −     = ∑∑∑∑∑∑ 4 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 2 ( ) { } [( )( ) ( )] ( ) { } [( )( ) ] ( 1) g j h i l n g j h i l n k r l g j h i l n g j h i l n j l m i l h j l k h r i R R s R R m j j λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ − − + + + − − − + + + − + − + − − + + + − − − + + + − + +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = = − + − + + + + + + + + + − − + + + + + + −  ∑∑∑∑∑∑ ( 6) 1 2 ( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 1 ( ) 2 ( ) [{ }] [ ( ) ( ) ] ( 1) i k l l h m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n j N l j l k i j l l j l r m l h r i s R R j γ µ µ λ µ µ ξ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ − + + + + − − + − − + + − − − + − + + + − − + − + + + − + + +∞ ∞ − = = = = + + + −      +            + + + − − + + + + + −∑∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1 1 2 [2( ) 1] 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 1 1 2 0 0 0 1 ( ) (2 ) [( ) ] [3{( )( )} ( ) 1 (1 ) (1 )( ) ] ( 1) j k i l i j k i N j k i N l l h j k k h r j k l k s j j k p p l k γ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ γ − + + + + + + − + − + + − + ∞ ∞ + − + = = = + +   +      + + + + + + + + + + + + + + +   + − + − + −       ∑∑∑ 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2( 1) 2 2 (2 1 2 ( ) [{ } { }] [ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( ) [{ (2 ) [( ) ] j j l k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n i i N i N s R R R R p p s s λ ξ γ ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν +∞ = = − + − − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + + − − + − + − − + + − − − + − + + + + − + + + + + + + + + + ∑∑ 2 1 2) 2 2 1 0 0 (2 1) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 2 2 2( 1) (2 2) ( 1 2 0 { (2 ) [( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]{3( ) 4( ) } [ (2 ) [( ) ] N N i i N i i i N n n i i n i s p p s s s γ λ λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν − − + − − + = = − − + − − − − − − − + − = − + + + + + + − + − + − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + ∑ ∑ ∑ 2 2) ]i n− +                                                                                (41)
  • 12. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 42 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 , 1 2 2 1 1 2 1 1 [2( ) ][ ( 1) [2( ){ ( ) }]( ) 1 j i j ll m h i l p q j l k h r i q p n m i l p m m n m m j j i i j l l j i k h j l r q pP s h k p q µ µ γ γ λ µ µ λ µ µ µµ λ + + −∞ ∞ ∞ − − + + + = = = = = = = = − − − + − − + + +    + −         + + + + +     + − +=           ∑∑∑∑∑∑∑∑ 1 (2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4 1 2 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 2 ( ) [{ } { } { }]] i l q p m j i q m i l p q g j h i p g j h i p g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r s R R R R R R γ µ µ ξ γ γ − − + − + − − + − − − + + − + + + + + − + + + + + − − + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + +               + + + − −   − + −  + 2 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 1 1 (2 1 1) 1 0 0 ( 1 2 { } [2( ){ ( ) }]{ }[ 1 2 1 ( 1) ( ) j i l n n n n j l k h h m i l h m i l p m j i l p p i m i n R R p R R m m j j i l j i k i j l h k s ν γ µ µ λ µ µ µµ λ γ µ µ ξ + +∞ ∞ − + − + − = = = = − + + − − + − + − − − − = = − − − − − + − + − − + + + + + +      −             + + + ∑∑∑∑ ∑ ∑ 1) ( ) ( 1 1) 1 ( 1 2) 1 2 2( 1) 2 2( ) 2 2 1 2 0 0 0 0 [2( ) 2] 2 1 2 1 ( ) [ ]] ( 1) [ { ( ) }] {(2 ) [( ) ] } [ {( ) l p m i k l g j h i p g j h i p j N l i j k i l i j k i N j l k i j k i N s R R j l p l s λ ξ γ γ λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ + − − + − − + + + + + − − + + + + + +∞ ∞ + + − + + + + + + − − = = = = − + + − − + + − +  − − + −    + + + + + − + + + ∑∑∑∑ 1 2 2 2 2 2 2( 1) 2 3 2 1 2 1 0 1 (2 3) 1 2 2( ) (2 1) 1 2 2 0 2 (2 1) 2( 1) (2 2) 1 2 0 ( ) { ( ) }}]( ) [{ (2 ) [( ) ] ( ) [ (2 ) [( ) ] (2 ) [( N i i N i n i N n i i n i n i n n i i n i p s s s s s λµµ λ ξ µ λ µ µ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ − − − + − + = − − − + − − − − − + = − − − + − − − − + = + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + + − + ∑ ∑ ∑ (2 2) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2( ) ( 2 1 1 ) ] ] [ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1) ( ) i n l h j k r p m j j l l p s j l h λ µ µ ξ ν ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ γ λ ξ − − + + − + + −                                              + + + +    + + + + + − + − + + + +    − + − + +        + 1 ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 2 1 2 2 (2 2) 2 1 2 2 1 0 1 2( 1 [{ } { }] ( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ] ( ) [ j l k l h j l k h r g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n N i i N i N i n i R R R R s s p s γ ξλ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν µ µ λ λ µ ξ γ +∞ ∞ ∞ − + = = = = = − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + + − − − − + − + − − + = − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + ∑∑∑∑∑ ∑ 1 ) (2 1) (2 1) 1 2 0 (2 ) [( ) ] ]] n i n i n i sλ λ µ µ ξ ν − − + − − + =                        + + + + +    ∑ (42)
  • 13. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 43 1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2( ) ( ) ( 1 2 ,00 1 [( )( )] [[2( ) ] ( 1) 1 2 ( ) { ( ) j l m i l h j l k h r i j j k r l m i l k h g j h i l n m m j j l j l r s s j l h r m s R i P s ξ λ β λ β ξ µ µ µµ γ µ µ ξ +∞ ∞ ∞ − − ++ = = = = = = − + − + + − − −−+ + − + + +−− − − + + + +     + + + + − + + −           −   + + +    = ∑∑∑∑∑∑ 1) ( 1) 4 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 0 0 0 } 2 ( ) { } [( )( ) ( )] ( ) { } [( )( ) ] ( 1) g j h i l n g j h i l n g j h i l n k r l g j h i l n g j h i l n l m i l h k h r i R R R s R R λµ µ γ λ ξ λ ξ µ λµ µ λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ − + + +−+ + − − + + +−− − + + +−+ − + − − + + +−− − + + +−+ ∞ − ++ = = =  − − + − + + + + + + + + + − − + + + + + −∑∑∑ 1 ( 6) 1 2 0 0 0 ( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 ( ) [{ }] [ ( ) ( ) ] ( 1) j i k l l h j l m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n l i m j j l l j l r m j l h r i s R R γ µ µ λ µ µ ξ ξλ ξ µ λ ξ µ µµ +∞ ∞ − + ++ + = = = −−+ −−+ + − −−+ − + + +−− + − + + +−+ + = + + + + −       +             + + + − − + + + + + − ∑∑∑ 1 1 2( 1) 2( ) 1 1 2 0 0 0 0 [2( ) 1] 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ( ) (2 ) [( ) ] [3{( )( )} ( ) 1 (1 ) (1 )( ) ] ( 1) j N j k i l i j k i N j l k j k i N l h j j k l k s j j k p p l k γ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ +∞ ∞ − − + ++ + + + − + = = = − + + − + + + +   +      + + + + + + + + + + + + + + +   + − + − + −       ∑∑∑∑ 1 2( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2( 1) 2 2 ( ) [{ } { }] [ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( ) [{ (2 ) j l j k j l k h r k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n i i N s R R R R p p s γ λ ξ γ ξλξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ γ λ +∞ ∞ ∞ − + = = = = = − + − − + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + − − + − + + + − − − + − + + + + − + + + + + ∑∑∑∑∑ 2 1 (2 2) 2 2 1 1 2 0 0 (2 1) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 2 2( 1) (2 2) 0 [( ) ] { (2 ) [( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]{3( ) 4( ) } [ (2 ) N N i N i i N i i i N n i i n i s s p p s s λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ γ λ − − − − + − − + = = − − + − − − −− − + = + + + + + − + + + + + + − + − + − − + + + + + + + + + + + + + ∑ ∑ 2 (2 2) 1 2[( ) ] ]] n i n s λ µ µ ξ ν − − − +                                                                        + + + + +        ∑
  • 14. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 44 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 [2( ) ][ ( 1) [2( ){ ( ) 1 ( ) n j i j ll m h N i l p q j l k h r i q p n m i l p m m j j i i j l l j i k h j l r q p h k p q s γ µ µ γ λ λ µ µ λ µ µ µ ξ λ β ξ + + −∞ ∞ ∞ − − + + + = = = = = = = = = − − + − + + +    + −         + + + + +     + − +          − + + − ∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 1 1 2 (2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4 1 2 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 2 1 ( 1) }] ( ) [{ } { } { }]] { m i l q p m j i q m i l p q g j h i p g j h i p g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r n n s R R R R R R R µ γ µ µ ξ γ γ ν γ −− − + − + − − + − − − + + − + + + + + − + + + + + − − + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + − − − + − + − 2 ( 1) 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 1 1 (2 1 1) 1 0 0 0 ( 1) 1 2 } [2( ){ ( ) }]{ }[ 1 2 1 ( 1) ( ) ( j i N n n n j l k n h l m i l h m i l p m j i l p p h i m i l p R p R R m m j j i l j i k i j l h k s s µ µ λ µ µ µµ λ γ µ µ ξ + +∞ ∞ − + − = = = = − + + −− + − + −− − − = = = − − − + − + − + − − + + + + + +      −             + + + + ∑∑∑∑ ∑∑∑ ( ) ( 1 1) 1 ( 1 2) 1 2 2( 1) 2 2( ) 2 2 1 2 0 0 0 0 [2( ) 2] 2 1 2 1 1 2 ) [ ]] ( 1) [ { ( ) }] {(2 ) [( ) ] } [ {( ) ( m i k l g j h i p g j h i p j N l i j k i l i j k i N j l k i j k i N R R j l p l s λ ξ γ γ λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ λµµ λ − − + − − + + + + + − − + + + + + +∞ ∞ + + − + + + + + + − − = = = = − + + − − + − +  − − + −    + + + + + − + + + + ∑∑∑∑ 2 2 2 2 2( 1) 2 3 2 1 2 1 0 1 (2 3) 1 2 2( ) (2 1) 1 2 2 0 2 (2 1) 2( 1) (2 2) 1 2 1 2 0 ) { ( ) }}]( ) [{ (2 ) [( ) ] ( ) [ (2 ) [( ) ] (2 ) [( N i i N i n i N n i i n i n i n n i i n i p s s s s s ξ µ λ µ µ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ − − − + − + = − − − + − − − − − + = − − − + − −− − + = + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + ∑ ∑ ∑ (2 2) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ] ] [ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1) ( ) [{ i n j l N l h j k r k l h j l k h r n g j h l n g p m j j l l p s j l h R R ξ ν ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µµ µ µ µ γ λ ξ − − + +∞ ∞ ∞ + − + + − − + = = = = = = − + + − − − + + + + + + + − + − + + + +    − + − + +        − ∑∑∑∑∑∑ ) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 2 1 2 2 (2 2) 2 1 2 2 1 0 1 1 2( ) (2 1) (2 1) 1 1 2 0 } { }] ( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ] ( ) [ (2 ) [( ) ] ]] j h l n g j h l n g j h l n N i i N i N i n n i i n i n i R R s s p s s γ ξλ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν µ µ λ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν + + − + − − + + − − + − + + − + + − − − − + − + − − + = − − − − − + − − + =     − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + +  ∑ ∑                                                                                      (43)
  • 15. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 45 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 ,00 1 1 [2( ) ][ ( 1) [2( ){ 1 ( ) ( ) n j i j ll m h N i l p q j l k h r i q p n m i l p m m m j j i i j l l j i k h j l r q p h k p q Q s s γ µ µ γ λ λ µ µ λ ξ λ β ξ ++ −∞ ∞ ∞ − − + + + = = = = = = = = = −−+ − − + + +    + −         + + + + +     +          = + + − ∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 1 2 1 1 2 (2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4 1 2 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 2 1 ( ) }] ( ) [{ } { } { }]] m i l q p m j i q m i l p q g j h i p g j h i p g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r n s R R R R R R µ µ µµ γ µ µ ξ γ γ ν −− − + − + −− + − −−+ + − + + ++ + − + + ++ + − − + + ++ + + − + + ++ + + + − + + ++ + + + + − + + ++ + + + + − − + + + + − − − + − + 2 ( 1) ( 1) 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 (2 1 1) ( 1 2 { } [2( ){ ( ) }]{ }[ 1 2 1 ( 1) ( ) j i N n n n n j l k n h l m i l h m i l p p h i m j i l p m i R R p R R m m j j i l j i k i j l h k s γ µ µ λ µ µ µµ λ γ µ µ ξ ++∞ ∞ + − + − = = = = − + + −−+ = = = − + −−− − − − − − + − + − − + + + + + +      −             + + + ∑∑∑∑ ∑∑∑ 1) ( ) ( 1 1) 1 2 1 ( 1 2) 2( 1) 2 2 1 2 0 0 0 0 2( ) 2 [2( ) 2] 2 1 2 1 ( ) [ ]] ( 1) [ { ( ) }] {(2 ) [( ) ] } [ {( ) l p m i k l g j h i p j N g j h i p l i j k i l i j l k i j k i N j k i N s R j l R p l s λ ξ γ γ λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ −+ − −+ − − + + ++ + +∞ ∞ + − − + + ++ + + − + ++ + = = = = + + − − − + + − − + + +  − − − + −    + + + + + − + + ∑∑∑∑ 1 2 2 2 2 2( 1) 2 3 2 2 1 2 1 0 1 (2 3) 1 2 2( ) (2 1) 1 2 2 0 2 (2 1) 2( 1) (2 2) 1 2 0 ( ) { ( ) }}]( ) [{ (2 ) [( ) ] ( ) [ (2 ) [( ) ] (2 ) [( N i i N i n i N n i i n i n i n n i i n i p s s s s s λµµ λ ξ µ λ µ µ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ − − − + − + = − − − + − − − − − + = − − − + − −− − + = + + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + + − ∑ ∑ ∑ (2 2) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ] ] [ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1) ( ) [{ i n j l N l h j k r k l h j l k h r n g j h p m j j l l p s j l h R λ µ µ ξ ν ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µµ µ µ µ γ λ ξ − − + +∞ ∞ ∞ + − + + − −+ = = = = = = − + + − + + + + + + + + + + + − + − + + + +    − + − + +        ∑∑∑∑∑∑ ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 2 1 2 2 (2 2) 2 1 2 2 1 0 1 1 2( ) (2 1) (2 1 1 2 0 } { }] ( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ] ( ) [ (2 ) [( ) ] l n g j h l n g j h l n g j h l n N i i N i N i n n i i n i n i R R R s s p s s γ ξλ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν µ µ λ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν − − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + − − − − + − + − − + = − − − − − + − − + = − − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ∑ ∑ 1) ]]                                                                                          
  • 16. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 46 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1 1 2 1 1 1 [2( ) ] ( 1) 2 ( ) { ( ) j l m i l h j l k h r i j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n m j j l j l r m j l h r i s R R s µ µ µµ γ µ µ ξ ξ λ β ξ +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = = − + − + + − − − − + + − + + + − − − − + + + − + + − + + + + −      + + −              + + + − − + + − ∑∑∑∑∑∑ ) 4 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 } 2 ( ) { } [( )( ) ( )] ( ) { } [( )( ) ] ( 1) g j h i l n g j h i l n k r l g j h i l n g j h i l n j l m i l h j l k h r i R R s R R λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ − − + + + − − − + + + − + − + − − + + + − − − + + + − + +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = =  − + − + + + + + + + + + − − + + + + +  −  ∑∑∑∑∑∑ ( 6) 1 2 ( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 1 1 2 1 2 0 0 0 1 ( ) 2 ( ) [{ }] [ ( ) ( ) ] ( 1) i k l l h m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n j N l j l k i m j j l l j l r m j l h r i s R R γ µ µ λ µ µ ξ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ − + + + + − − + − − + + − − − + − + + + − − + − + + + − + + + ∞ − = = = = + + + + −      +            + + + − − + + + + + −∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1 1 2 0 [2( ) 1] 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 1 1 2 0 0 1 ( ) (2 ) [( ) ] [3{( )( )} ( ) 1 (1 ) (1 )( ) ] ( 1) j k i l i j k i N j k i N l l h j k k h r j j k l k s j j k p p l k γ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ γ ∞ − + + + + + + − + − + + − + ∞ + − + = = + +   +      + + + + + + + + + + + + + + +   + − + − + −       ∑ ∑∑ 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2( 1) 2 2 ( 1 2 ( ) [{ } { }] [ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( ) [{ (2 ) [( ) ] j j l k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n i i N s R R R R p p s s λ ξ γ ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν +∞ ∞ = = = − + − − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + + − − + − + − + + − − − + − + + + + − + + + + + + + + + + ∑∑∑ 2 1 2 2) 2 2 1 0 0 (2 1) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 2 2 2( 1) (2 2) 1 2 0 { (2 ) [( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]{3( ) 4( ) } [ (2 ) [( ) N N i N i i N i i i N n n i i n i s p p s s s γ λ λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ − − − + − − + = = − − + − − − − − − − + = − + + + + + + − + − + − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + ∑ ∑ ∑ (2 2) ] ]i n ν − − +                                                                           (44) Where 2 2 2 12 2 1 1 1 ( ) , ( ) 4 ( ) , 2[ ( 1) ]R s g l N Nk and µ µ α γ ν µ µ λ ξ λ µ µ γ λ − + = = + + + + − + = + + = We are now in a position to complete the solution for the joint distribution of X (t) and Y (t). Taking the Inverse Laplace transform of (38) to (44), using the tables [2, 4, 6], we obtain
  • 17. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 47 [ 1 1 ( 1 2) 0 0 0 0 0 1 0 0 2( 1) 1 1 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1) 0, 1 ( 1) 1 {2( ) ( ) }[[ { } ( ) j j ll h l h p q j l h p q j l k h r p q j k h l g j h l n g j h l n n j l j l r h j l l h r p q p I I P t λ γ µ µ λ µ µ µ µ γ + −∞ ∞ ∞ + + + − + − + + + = = = = = = = − + + − + − + + − − − + + − + + + + + −      −             + + − + − = ∑∑∑∑∑∑∑ 1 2 1 2 ( 1 1) ( )2 2( 1) ( 1) ( 1) 1 2 0 ( )( )( ) ( 1) ( ) ( 2) 1 2 ( ) { }] ( ) ( 1 1)! [ { }](2 ( ) ). t j k l h p t l h k h l g j h l n g j h l n t wp w g j h l k g j h l k g j h l k t w I I e j k l h p I I I w e e d λ µ µ ξ λ µ µ ξλ ξ γ µ µ γ γ λ µ µ + − + − − − + + +− + − + + + + + − − + + + − + + − + + + −− + + + + + + + + + + + + + + + − − − + + + − + − − − − +  ∫ 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 ( 1) ( 2) 2( ) ( 1) 0 0 0 0 0 1 ( 1) ( [ { ( ) ( )( )( ) (1 ) }] ( 1) 2 [[{ } { j l l h j j k h l j k h l g j h l n j l k h r g j h l n g w p p p j l l j l r I l h r I I λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ λµ λ γ γ +∞ ∞ ∞ + − + − + + − + − + + − + + − − − = = = = = − + + − + + + − + + + + + + − − + − + + +    −         − − ∑∑∑∑∑ 1 2 1 2 1 ( ) ) ( ) ( ) 0 ( )( )1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 ( ) }] [{ ( 1)! } { }](2 ( ) ). ] ( )[( t k l t j h l n g j h l n g j h l n t ww g j h l n g j h l n g j h l n t w I e I k l I I I w e e dw λ µ µ ξ λ µ µ ξλ ξ γ λ µ µ ξ µ µ λ ξ − − − + + + + + − − + + − + + + − − − + + + −− − + + + − + + + − − + + + − + −        −  − + − − −    − − +     + + + ∫ 1 1 2 2 2 2( 1) 1 2 1 2 1 2 00 1 ( )2 1 (2 2) (2 1) 1 2 0 ( )( ) 2 1 1 2 ( ) )( ) {2( ) ( )}] [{ 2! (2 2) } { (2 1) }](2 ( ) ) . ] ] [ {( )( )( )} t N i i N wi i N i N i t w t w i N I i N I w w e e dw λ µ ξ λ µ µ ξ µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ γ γ λ µ µ γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ − − + = − − + +− − − + − + = − + + + − − − −  + + + + + + +    − + − − + +   + − + + + + + ∑∫ ∑ 1 2 2 1 2 2 1 2( 1) 2( ) 2 1 (2 2) 0 0 12 2 ( )2( 1) 1 2( 1) (2 1) (2 2) 0 0 0 0 ( ) (1 ) ( )][{ (2 2) } 3{ (2 1) } { (2 2) } [ ( 1) n n n i n i i n i i jN N ti l i j k i i n i N i j l k i p p i n I i n I i N I t e λ µ µ ξ λ µ λ ξ µ µ λ λ ξ µ γ γ γ γ − − − − − − + = = +− ∞ + − + + +− + − + − + + + − + − + = = = = = − + + − − + + − + − − +  + − + + −  ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ 1 2 0 2 ( 2) ( 2) 0 0 0 1 ( )(2 1) 2 1 ( ) ( 3) (2 1) 0 2 2 1 [{ }] ( 1) [{ }] (2 1) ] j l g j l i N g j l i N j l k N tj l i g j i g j i N i j l N j j k I I l i l k I I i N I t e λ µ µ ξ γ γ ∞ +∞ ∞ + + + − + + + + − − = = = − − + + +− + − − − + + + + − + =                     + + + + +      − + −            − − − +  ∑ ∑∑∑ ∑                                                                            (45)
  • 18. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 48 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ( 1 1) 2 2( 1) ( 1 2) 1 2 1 2 ,1,0 1 1 1 ( 1) 1 ( ) [ ( ) ] 2 ( ( ) j l h m i l h p j l k h r p i m i l k p j k l m j k l j k p m m m j j l j l r h i j l h r p t w p m i l k p P t λ µ µ µµ γ +∞ ∞ ∞ − + + + = = = = = = = − + + + − + + − + + − + − + + + − + + + + +       −               − + + − + + + = ∑∑∑∑∑∑∑ 1 2 ( 1 1) 0 2 2 6 ( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 2 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2 ( { 1 1)! } { } (2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }][ ] (2 ( ) ) t g j h i p j i k g j h i p g j h i l n g j h i l n g j h i p l n g j h i p l n I I I I p p I I w e µ µ γ λ γ λ µ µ λ µµ µ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ µ + + + + + − + + + − + + + + + + + + − − + + + + − − − + + + + − − + + + + − + − + − − + − − + + − + + + + − − + ∫ )( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 ( ) (2 1) 2 1 2 1 0 0 0 0 ( 1) 0 [ ( ) {( ) } (1 ) {( ) 1 ( ) }] ( 1) ( ) [{ ( 1)! t w j i m i l m i l k m j i j l k i t m i l dw p p p j i l m j k p l i k t w I m i l ξ λξ λ ξ µ λ µ µ µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µµ λ µ γ + − + +∞ ∞ − + − + − + − + − − = = = = − + − + + + + + − + − + + + + − +     + + − −         − − + − ∑∑∑∑ ∫ 2 1 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2 1 2 2 0 1 2 ( ) ( )( ) ( 1) ( 1) 1 2 0 0 0 0 2 1 2 2 ( ) }(2 ( ) ) [ {( ) }] 2! [ ](2 ( ) ) ( 1) [ [( ) ] w g j l n g j l n j N u t w l g j l k n g j l k n j l k i l w u I w p I I u e du e dw j l p l λ ξ µ µ µ ξ λ µ µ λ ξ µ µ µ λ µ µ λ µ µ µ + + + − + + − + +∞ ∞ + − + + − + + − + + + − − + + + − + = = = = − − + + + − − + − − +  + −    ∫ ∑∑∑∑ 1 2 1 1 ( )1 [2( ) 2] 0 2 ( )( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 2 0 1 2( ) (2 0 ( ) (2( ) 2) ( 1)! ( ) [ ](2 ( ) ) [ [( ) ] 2! [ (2 1) t j l i ti j k i N t t w g j k l n g j k l n n n i i n i t w j k i N I t e j l i t w I I w e dw p i n I λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ µ λξ µ µ µ γ − + − − + + ++ − + + − − − + + − + + − − − + + − + − − − + =   − + + − − +  − + −  −− + + + − + + ∫ ∫ ∑ 1 1 2( ) ( )( )1 1) 1 2 1 1 3 2 1 2 2 1 2 2 0 0 0 0 0 ( 1) 2( ) (2 ( ) ). ] [2( ) 1 ( ) ( ) [( ) ]] ( 1) ( ) ( 1)! w t w j l l h j l k h r k h l j k r w w e e dw j l p p l m j l t w j h k h l λ ξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ µ µ µ γ − + + − + + + −− + +∞ ∞ ∞ + = = = = = + − − − + + + + + + + +  + + + + + + + − −     +   −    + − −   ∑∑∑∑∑ 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 0 2 1 2 ( )( ) 2( 2) 2( 1) 1 2 (2 1) 0 00 1 (2 2) 1 2 [{ } { }] ( ) (2 ( ) ). [ [{ (2 1) } { 2! (2 2) }](2 ( ) ). t g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n t N N t w i i i N i i w i N I I I I t w w e dw i N I i N I w w e λ ξ ξ γ λ µ µ λξ γ γ λ µ µ − + + − − + + − + + + − − + + + − + + + − − + − − + − + − − = = − − − + − − − − + + − − + − + + ∫ ∑ ∑∫ 1 2( )( ) ] t w e dwλ ξ µ µ− + + + −                                                                                               (46)
  • 19. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 49 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ( 1 1) 2( 1) ( 1 1) 1 2 1 2 ,0,1 1 1 1 ( 1) 1 ( ) [ ( ) ] 2 ( ( ) j l h m i l h p j l k h r p i m i l k p j k l m j k r l j k p m j m j l j l r h m j l h r p i t w m i l k p P t λ µ µ µµ γ +∞ ∞ ∞ − + + + = = = = = = = − + + + − + + − + + + − + − + + + + + + + + −       −               − + + − + + + = ∑∑∑∑∑∑∑ 1 2 ( 1 1) 0 2 2 4 ( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2 ( { 1 1)! } { } (2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }][ ] (2 ( ) ) t g j h i p i k g j h i p g j h i l n g j h i l n g j h i p l n g j h i p l n I I I I p p I I w e µ µ ξ γ λ γ λ µ µ µµ µλ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ µ + + + + + − + + − + + + + + + + + − − − + + + − − + + + + + − − + + + + − + − + +  −− + − − + + − + + + + − − + ∫ )( ) 2 1 2 2 2 2 ( 1)1 1 1 ( ) (2 1) 2 0 0 0 0 0 ( 1) ( [ ( ) (1 ) {( )( ) (1 ) }] 1 1 ( ) ( 1) ( 1)! [{ t w m i lj i m t i l m i l k m j i j l k i g j l n dw p p p j i m j i k t w l i k m i l I I λξ λ ξ µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ γ − − + −+ +∞ ∞ − + − + − + − + − − = = = = + + + − + + + + − + + + + − −  + + − + +    − −     − + −    − ∑∑∑∑ ∫ 1 1 2 2 1) 1 2 ( 1) ( 1) 0 1 1 ( ) ( )( ) 1 2 0 0 0 0 2( 1) 1 2 ( ) }(2 ( ) ) [{ } 2! 1 1 (2 ( ) )] ( 1) [ [( ) ] w g j l n g j l k n g j l k n j N u t w i l j l k i j k i w u w I I j N N j u e du e dw l i j p λ ξ µ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ γ λ µ µ + + − + + + + − − + + + + − +∞ ∞ − − + + − + + − + = = = = − + + + − + + − + − +    + − −         + ∫ ∑∑∑∑ 1 2 1 ( 1) ( )1 [2( ) 1] 0 1 ( )( ) 1 2( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 0 (1 (2 1) ( ) {(2( ) 1) } ( 1)! [{ }(2 ( ) )] [ [( ) ] (2 1) j l k t tl i j k i N n t w n i i g j k l n g j k l n i i n t w j k i N I t e j l k I I w e dw p i n I t e λ µ µ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ γ µ µ − + − − + + ++ − + + − + − − + + − − − + + − − − + + − + + = −− + +  − + + − + + − + − − + + + + + ∫ ∑ 1 2 ) 1 2 1 2 2 ( 1)1 2( ) 1 2 ( ) ( )0 0 0 0 0 0 1 ( 1) ( ] [2( )( ) {(1 )( ) ( ) }] ( 1) [{ } ( 1)! { t k h lj l t l h j k g j h l n g j h l n j l k h r g j h l n g j p p j l l t w I I l h k h l I I λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ µµ γ γ + + + + − −+∞ ∞ ∞ + − + + + − − + + − + = = = = = − + + − − + + + + + + + + + − + + +   − + − −   + − −   − − ∑∑∑∑∑ ∫ 1 2 2 ( )( ) 1) 1 2 2 2 2 3 2( 1) 2( 3) 1 2 1 (2 2)0 0 0 ( ) ( )(1 (2 3) 1 2 }](2 ( ) )] [ (1 )( ) ( ) ( ) ( )] [ (2 2) (2 3) 2! ](2 ( ) )] t w h l n N Nt i i i N i i w t i N w e dw p t w p i N I i N I w w e e λ ξ λ µ µ ξ λ ξ µ λ µ µ λξ ξλ λ ξ µ µ µ λ λ ξ µ γ γ λ µ µ − + − − + + − − − + − + − + = = − + + + − + +− − + + + − + + −  + + + + − + − − +  +  ∑ ∑∫ 1 2 1 2 ) 2 1 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 1 2 0 0 2 ( )(2 3) 1 (2 2) 1 2 0 [( ) { (1 ) ( ) [( )( ) ]}][ 4 ] 1! [{ (2 2) }(2 ( ) ) ] w t t t w t w n wn i i n i dw p t w p e e i n I w w e dw λ ξ µ λ ξ µ λ µ µ ξ µ µ µµ λ µµ µ λ ξ λ ξ µ λ γ λ µ µ − − + + − − + + − − − + + +− − + − − + =                               + − + − − + + + + − + − + +  ∫ ∫ ∑                                                                (47)
  • 20. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 50 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) 2( ) ( 1) ( 0 ,0 1 [2( ) ] ( 1) 1 ( ) 2 [{ ( 1)! ( ) j l m i l h j l k h r i t m i l k h j j k r l g j h i l n g j h i m m j j l j l r j l h r m t w I I i m i l k h P t µ µ µµ γ +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = = − − + + − − + − + + − + + + − − − + + + + + + +     + + −           −  −  −  − − + + −  = ∑∑∑∑∑∑ ∫ 1 1 2 1) 4 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( 1) 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 0 ( ) ( )( ) } 2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )( ( ) ) ( )][ { }(2 ( ) )] ( 1)! [( l n g j h i l n g j h i l n w k r l g j h i l n g j h i l n u t w I I w w u I I u k r l e e dwλ ξ µ µ µ ξ λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ µ µ − + + − + + + − − + + + − + + − − + + + − − + + + − + − + + − + + −  − + − + + + + + − + + − + + − −  −  ∫ 1 2 1 2 1 1 ( 6) 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 0 )( ) ] 1 ( 1) ( ) ( ) 2 [{ ( 1)! j l m i l h i k l l h j l k h r i t m i l k m i l h m i l h r g j h i l m j j l l j l r m j l h r i t w I m i l k λ ξ µ λ ξ µ µµ γ µ µ λ +∞ ∞ ∞ − + + − + + + + = = = = = = − − + − − − + − − + + + + + − + + + + + + + + + −       − +             − − − + − ∑∑∑∑∑∑ ∫ 1 2 1 2 1) ( 1) 1 2 1 1 ( )( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 ( )2( 1) 1 1 2 [2( ) 1] }(2 ( ) )] 1 [ ( )( ) ] ( 1) ( ) (2( ) 1) [3{ n g j h i l n j N t w l j l k i tj k i l i j k i N I w j j k e dw l k j k i N I t e µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ γ µ µ − + + + + − + + +∞ ∞ − − + + − = = = = − + + +− + + + + − + + − + − + + +   − + + + + + −       + + + − + + ∑∑∑∑ 1 2 1 2 2 1 1 2 ( 1)1 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 ( 1) ( ( ) ( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ] 1 ( ) ( 1) [{ } ( 1)! { t k h lj l l h j k g j h l n g j h l n j l k h r g j h l n g j p p j j k t w I I l k k h l I I λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ γ γ + − −+∞ ∞ ∞ + − + + + − − + + − + = = = = = − + + − − + + + + + + + + + + + − + − + + +   − − −   + − −   − − ∑∑∑∑∑ ∫ 1 1 2 ( ) 1) 1 2 1 2 2 2( 1) 1 2 1 2 2 1 (2 2) 00 ( ) ( )( )2 1 (2 1) 1 2 }](2 ( ) ) [ (1 )( ) ( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) } 2! { (2 1) }](2 ( ) ) w h l n t N i i N i w t wi i N we dw p t w p i N I i N I w w e e λ ξ λ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ γ γ λ µ µ − + − + + − − + − + = − + + − + + + −− − − + + + − + +  − + + − + + − +  − − + +  ∑∫ 1 2 1 0 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 2( 1) (2 2) 00 0 [ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [{3 4 } ][ (2 2) ] 1! 2! N i t t n t w t w n i i n i dw p p t w t w e e dw i n Iλ ξ µ λ ξ µ λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ γ − = − − + + − − + + − − − − − + =                                    + − + − + − − + + + + + + − − + − +  ∑ ∑∫ ∫                                                     (48)
  • 21. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 51 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1 1 [2( ) ][ ( 1) [2( ){ ( ) }] 1 ( ) j i j ll m h i l p q j l k h r i q p m i l p m i n m n m m j j i i j l l j i k h j l r q p h k p q P t µ µ γ λ µ µ λ µ µ µ µ γ λ + + −∞ ∞ ∞ − − + + + = = = = = = = = − − + − − + + +    + −         + + + + +     + − +          = ∑ ∑ ∑∑∑∑∑ ∑ 1 1 ( 1 1) (2 1) 4 ( 1 1) ( 1 2) 0 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) ( 2 1 ( ) [{ } ( 1 1)! { } { } ](2 ( ) )] l q p t m i l p q m j i q g j h i p g j h i p g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r t w I I m i l p q I I I I w e µ γ γ λ µ µ − − + − − + + − − + − − + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − + + − − + − + ∫ 2 )( ) 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ( 1 1) (2 2 1) 1 2 1 [ ( 1) ( ) ( t w j i l h m i l h m i l p j l k h p i m i l p m j i l n dw m m j j i l j i k i j l h k t w m i l p µ ξ λ γ + + − + +∞ ∞ − + + − − + = = = = = = − − + − − + − − − −                                  − + + + + + +      −             − − − + + ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ( 1) 0 0 1 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 1 2 2 ( ) [ {( 1 ) 1 1)! ( 1)! ( 1 2) } {( 1 1) ( 1 3) }] [2( ){ ( t w m i l k g j h i p n g j h i p n g j h i p n g j h i p n w u g j h i p n m i l k I g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I p γ γ µ µ λ µ − − + − − + + + + − + + + + + + + + + + − + + + + + + +  − + + + + − − − − + − − + + + + + + − + + + + − + − + + + + + + − + − ∫ ∫ 1 2 1 1 2 ( 1 1) 1 ( 1 1) ( 1 2) ( )( )1 ( )( ) ( 1 2) 2 1 ) }][{( 1 1) ( 1 1) } {( 1 2) ( 1 2) }](2 ( ) ) ] g j h i p n g j h i p n g j h i p n t ww u g j h i p n g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I u e du e dµ µ ξλ ξ µ µ µ γ λ µ µ + + + + − + − + + + + + + + + + + + + − + + −− − + − + + + + − + + + + + + − + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + − + + 1 2 1 2 2( 1) 2 2 1 2 0 0 0 0 ( )1 2 2 2 [2( ) 2] 1 1 2 2 2 1 2( 1) 2 0 ( 1) [ { ( ) }] {(2( ) 2) } [ {( ) ( ) { ( ) ( ) }}] [{ (2 3) 1! j N l i j k i l i j l k i t j k i N t i i w j l p j k i N l I t e p t w i N λ µ µ ξ γ λ µ µ µ ξλ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ λ µ µ µ γ +∞ ∞ + + − + + + + = = = = − + + +− + + − − − + = +  − − + − + + − −    − + + + + + + + − − − + ∑∑∑∑ ∫ 1 2 1 2 2 1 2 ( )1 (2 3) 2 1 0 1 2 1 2( ) 2( 1) (2 1) (2 2) 2 1 0 00 ( ) ( )( ) ( )( )1 }(2 ( ) ). ] ( ) [{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) ) 1! . . ] ] N w i N w n n n i n i i n i n i i u w u t w I w w e w u i n I i n I u u e e du e dw λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ λ µ µ λ γ γ λ µ µ − − + + +− − + − − − − − − − − − + − + = = − + + + − + + − − + + −−   + − − − + − − + +  ∑ ∑ ∑∫ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ( 1) 2 2( ) 2 1 1 0 [ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) }] ( 1) ( 1)! t k l h l h j k r p m j j l l t w p j l h k l h ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ γ − + − + − + +                                                        + + + + + − + − + + + +    − − + −     − + −    + ∫ 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 1 1 ( )( ) ( )1 2 1 1 (2 2) 2 1 00 2 1 [{ } { }](2 ( ) ) [{ (2 2) }(2 ( ) ) [( ) j l j l k h r g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n t N t w wi i N i I I I I w e i N I w w eλ µ µ ξ λ µ µ ξ γ λ µ µ ξλ γ λ µ µ µ µ +∞ ∞ ∞ = = = = = − + + − − + + − + + + − − + + + − + + − − + + + − − + + +− − + − − + = − − − + + − + + + + ∑∑∑∑∑ ∑∫ 1 2 1 2 1 ( )2( ) 1 (2 1) 2 1 00 ( )( ) ( )( ) ] [ (2 1) ](2 ( ) ) . ] ] ] w n un i i n i w u t w p i n I u u e e du e dw λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ λ γ λ µ µ − − + + +− − − − + = − + + − − + + −                        − + +       ∑∫ (49)
  • 22. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 52 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) 2( ) ( ) 0 ,00 1 [2( ) ] ( 1) 1 ( ) 2 {( ) ( ) ( 1)! ( ) j l m i l h j l k h r i t m i l k h j j k r l w m m j j l j l r j l h r m t w e i m i l k h e P t λ β ξ µ µ µ µ γ λ β λ β ξ +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = = − − + + − − + − + + − − + − + + + +     + + −           −  −   + − + −  − − + + −  = ∑∑∑∑∑∑ ∫ ( ) ( 1) ( 1) 4 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( 1) 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 0 } [{ } 2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )( ( ) ) ( )][ { }(2 ( ) ( 1)! w g j h i l n g j h i l n g j h i l n g j h i l n w k r l g j h i l n g j h i l n I I I I w w u I I u k r l λ β ξ λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ µ µ − + − + + + − − − + + + − + + − + + + − − + + + − + + − − + + + − − + + + − +  − − + − + + + + + − + + − + + − −∫ 1 1 2( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 ( 6) 1 2 0 0 0 0 0 0 ( )] [( )( ) ] 1 ( 1) ( ) ( ) 2 u t w j l m i l h i k l l h j l k h r i m i l h m i l h r e e dw m j j l l j l r m j l h r i t w λ ξ µ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µ µ γ µ µ λ − + + − + + − +∞ ∞ ∞ − + + − + + + + = = = = = = − − + − − + +  − + + + + +  + + + + −       − +             − ∑∑∑∑∑∑ 1 2 1) ( 1) ( 1) 1 2 0 1 1 ( )( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 2( 1) 1 2 [{ }(2 ( ) )] ( 1)! 1 [ ( )( ) ] ( 1) ( ) (2( ) t m i l k g j h i l n g j h i l n j N t w l j l k i j k i l i I I w m i l k j j k e dw l k j k i N µ µ ξ λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µ µ γ µ µ − − + − + + + − − + + + + − + + +∞ ∞ − − + + − = = = = − + + + + − + − − + − + +   − + + + + + −       + + + − + ∫ ∑∑∑∑ 1 2( )1 [2( ) 1] 1 2 1 2 2 1 1 2 ( 1) 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1) [3{( ) ( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ] 1 ( ) ( 1) [{ } ( 1)! t j k i N t k h ll l h j k g j h l n g j h l n k h r I t e p p j j k t w I I l k k h l λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µ µ γ − + + +− + + − + + − −∞ ∞ + − + + + − − + + − + = = = + + + + + + + + + − + − + + +   − − −   + − −   ∑∑∑ ∫ 1 0 0 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 2 2( 1) 1 2 1 2 2 1 (2 2) 00 2 (2 1) 1 { }](2 ( ) ) [ (1 )( ) ( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) } 2! { (2 1) }](2 ( j j l w g j h l n g j h l n t N i i N i i i N I I w e dw p t w p i N I i N I λ ξ γ λ µ µ ξ λξ λ ξ µ µ µ µ µ λ µ λ ξ µ γ γ λ µ µ +∞ = = − − + + + − − + + + − + + − − + − + = − − + − − + + − + +  − + + − + + − +  − − + + ∑∑ ∑∫ 1 1 2 1 2 1 ( ) ( )( )1 2 0 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 2( 1) (2 2 00 0 ) ) [ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [{3 4 } ][ (2 2) 1! 2! N w t w i t t n t w t w n i i n i w w e e dw p p t w t w e e dw i n I λ µ ξ λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ γ − − + + − + + + −− = − − + + − − + + − − − − − + =  + − + − + − − + + + + + + − − + − + ∑ ∑∫ ∫ )]                                                                                                 
  • 23. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 53 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 [2( ) ][ ( 1) [2( ){ ( ) }] 1 n j i j ll m h N i l p q j l k h r i q p n m i l p m i m m j j i i j l l j i k h j l r q p h k p q γ µ µ γ λ λ µ µ λ µ µ µ µ ξ + + −∞ ∞ ∞ − − + + + = = = = = = = = = − − + − − − + + +    + −         + + + + +     + − +          − ∑ ∑ ∑∑∑∑∑∑ ∑ 1 ( 1 1) (2 1) 4 ( 1 1) ( 1 2) 0 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) ( 2 1 ( ) [{ } ( 1 1)! { } { } ](2 ( ) ) l q p t m i l p q m j i q g j h i p g j h i p g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r t w I I m i l p q I I I I w e λ β γ γ λ µ µ − + − − + + − − + − − + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − + − − − − − − + + − − + − + ∫ 1 2 2 1 ( )( )) 0 0 0 0 1 0 0 0 ( 1 1) ( 1 1 (2 2 1) 1 ] [ ( 1) 2 1 ( ) ( ) ( 1 1)! j i l h m N t ww i l h j l k h p i n m i l p m i l k m i l p m j i l n m m j e dw i j j i l j i k t w w u l h k m i l p µ µ ξξ λ γ + +∞ ∞ − − + + − + + = = = = = = = − − + − − − + − − − + − + − − − − − +   + −       + + + + +    − −     − − + −    ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ ) 0 0 1 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 1 2 2 1 1 2 ( 1)! [ {( 1 ) ( 1 2) } { ( 1 1) ( 1 3) }] [2( ){ ( ) }][{( t w g j h i p n g j h i p n g j h i p n g j h i p n m i l k g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I p g j h i γ γ µ µ λ µ µ µ µ − + + + + − + + + + + + + + + + − + + + + + + +   − − + − + + + + − − + + + + + + − + + + + − + − + + + + + + − + − + + + + ∫ ∫ 1 2 ( 1 1) 1 ( 1 1) ( 1 2) 1 ( )( ) ( ) ( 1 2) 2 1 ( )( ) 1 1) ( 1 1) } {( 1 2) ( 1 2) }](2 ( ) ) ] ] ( 1) g j h i p n g j h i p n g j h i p n w u w g j h i p n t w l i p n I g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I u e du e e dw λ ξ λ β ξ µ µ ξ γ λ µ µ + + + + − + − + + + + + + + + + + + + − − + − − + − + + + + − + − + + − + + − + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + − + + − − 1 2 1 2 2( 1) 2 2 1 2 0 0 0 0 ( )1 2 2 2 [2( ) 2] 1 1 2 2 2 1 2 2( 1) 2 (2 00 [ { ( ) }] {(2( ) 2) } [ {( ) ( ) { ( ) ( ) }}] [{ (2 3) 1! j N j k i l i j l k i t j k i N t N i i i j l p j k i l N I t e p t w i N I λ µ µ ξ γ λ µ µ µ ξλ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ λ µ µ µ γ +∞ ∞ + − + + + + = = = = − + + +− + + − − − − + = +  + − + +    − − − + + + + + + + − − − + ∑∑∑∑ ∑∫ 1 2 1 2 2 1 ( )1 3) 2 1 1 2 1 2( ) 2( 1) (2 1) (2 2) 2 1 0 00 ( ) ( )( ) ( )( )1 ( ) }(2 ( ) ). ] ( ) [{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) ) 1! . . ] ] ] w N w n n n i n i i n i n i i u w u t ww w w e w u i n I i n I u u e e du e e dw λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ λ µ µ λ γ γ λ µ µ − + + +− − + − − − − − − − − − + − + = = − + + + − + + − − + + −− − + − + − − − + − − + + + ∑ ∑∫ 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2( ) ( ) ( 0 [ {(2 )( 2 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1) ( ) [{ ( 1)! j l N l h j l k h r n t k l h j k r g j h l n g j h l m j p p j j l l t w I I l h k l h ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ γ +∞ ∞ ∞ + = = = = = = − + − − + + + + − − + + − + + + + +  + − + − + + − + −     +   − −   − + −   ∑∑∑∑∑∑ ∫ 1 2 1 2 1 ) ( 1) ( 1) 1 ( )( ) 1 2 1 1 2 1 (2 2) 2 1 00 1 ( ) 2( ) 2 1 (2 1) 2 1 0 } { }] (2 ( ) ) [{ (2 2) }(2 ( ) ) [( ) ] [ (2 1) ](2 ( ) ) n g j h l n g j h l n t N t w i i N i n w n i i n i I I w e i N I w w e p i n I u u λ µ µ ξ λ µ µ ξ γ λ µ µ ξλ γ λ µ µ µ µ λ γ λ µ µ − + + + − − + + + − + + − − + + + − − − + − − + = − − + + + − − − − + = − − + + − + + + + − + + ∑∫ ∑ 1 2 1 2 ( )1 0 ( )( ) ( )( )( ) . ] ] ] ] w u w u t ww e e du e e dw λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ − + + + − + + − − + + −− + −                                                                                                                      ∫
  • 24. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 54 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 2 1 1 ,00 1 1 [2( ) ][ ( 1) [2( ){ ( ) 1 ( ) n j i j ll m h N i l p q j l k h r i q p n m i l p m m m j j i i j l l j i k h j l r q p h k p q Q t γ µ µ γ λ λ µ µ λ µ µ µ ξ + + −∞ ∞ ∞ − − + + + = = = = = = = = = − − + − + + +    + −         + + + + +     + − +          = ∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 1 2 ( 1 1) (2 1) 4 ( 1 1) ( 1 2) 0 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 2 1 }] ( ) [{ } ( 1 1)! { } { } ](2 ( ) m i l q p t m i l p q m j i q g j h i p g j h i p g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r t w I I m i l p q I I I I w µ γ γ λ µ µ − − − + − − + + − − + − − + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − + + − − + − + ∫ 1 2 2 1 ( )( )( ) 0 0 0 0 1 0 0 0 ( 1 1) ( 1 (2 2 1) 1 ) ] [ ( 1) 2 1 ( ) ( ) ( 1 1)! j i l h m N t ww i l h j l k h p i n m i l p m m i l p m j i l n m m j e e dw i j j i l j i k t w w u l h k m i l p µ µ ξλ β ξ λ γ + +∞ ∞ − − + + −− + − + + = = = = = = = − − + − − − + − + − − − − − +   + −       + + + + +    − −     − − + −    ∑ ∑ ∑∑∑∑∑ 1) 0 0 1 ( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3) 1 2 2 1 1 2 ( 1)! [ {( 1 ) ( 1 2) } { ( 1 1) ( 1 3) }] [2( ){ ( ) }][{ t w i l k g j h i p n g j h i p n g j h i p n g j h i p n m i l k g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I p γ γ µ µ λ µ µ µ µ − − + − − + + + + − + + + + + + + + + + − + + + + + + +   − − + − + + + + − − + + + + + + − + + + + − + − + + + + + + − + − + ∫ ∫ 1 2 ( 1 1) 1 ( 1 1) ( 1 2) 1 ( )( ) ( ) ( 1 2) 2 1 ( )( ) ( 1 1) ( 1 1) } {( 1 2) ( 1 2) }](2 ( ) ) ] ] g j h i p n g j h i p n g j h i p n w u w g j h i p n t w g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I g j h i p n I u e du e e dw λ ξ λ β ξ µ µ ξ γ λ µ µ + + + + − + − + + + + + + + + + + + + − − + − − + − + + + + − + − + + − + + + + − + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + − + + 1 2 1 2 2( 1) 2 2 1 2 0 0 0 0 ( )1 2 2 2 [2( ) 2] 1 1 2 2 2 1 2( 1) 2 00 ( 1) [ { ( ) }] {(2( ) 2) } [ {( ) ( ) { ( ) ( ) }}] [{ (2 3) 1! j N l i j k i l i j l k i t j k i N t i i j l p j k i l N I t e p t w i N λ µ µ ξ γ λ µ µ µ ξλ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ λ µ µ µ γ +∞ ∞ + + − + + + + = = = = − + + +− + + − − − + = +  − − + − + +    − − − + + + + + + + − − − + ∑∑∑∑ ∫ 1 2 1 2 2 1 2 ( )1 (2 3) 2 1 1 2 1 2( ) 2( 1) (2 1) (2 2) 2 1 0 00 ( ) ( )( ) ( )1 ( ) }(2 ( ) ). ] ( ) [{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) ) 1! . . ] ] ] N w i N w n n n i n i i n i n i i u w u w I w w e w u i n I i n I u u e e du e e λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ λ µ µ λ γ γ λ µ µ − − + + +− − + − − − − − − − − − + − + = = − + + + − + + − − + +− − + − + − − − + − − + + ∑ ∑ ∑∫ ( ) 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2( ) ( ) 0 [ {(2 )( 2 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1) ( ) [{ ( 1)! t w j l N l h j l k h r n t k l h j k r g j h l n dw p p m j j l l t w I I j l h k l h ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ γ − +∞ ∞ ∞ + = = = = = = − + − − + + + + − − + + + + + + − + − + + − + − + +    − −    − + −    ∑∑∑∑∑∑ ∫ 1 2 1 2 1 ( ) ( 1) 1 ( )( ) 1 2 1 ( 1) 2 1 (2 2) 00 1 ( )1 2( ) 2 1 2 1 (2 1) 00 } { }](2 ( ) ) [{ (2 2) } (2 ( ) ) [( ) ] [ (2 1) ] (2 g j h l n g j h l n t N t w i g j h l n i N i w n w n i i n i I I w e i N I w w e p i n I λ µ µ ξ λ µ µ ξ γ λ µ µ ξλ γ λ µ µ µ µ λ γ λ − + + − + + + − − + − − + + + − − − + + + − + + − + = − − + + +− − − − + = − − + + − + + + + − + ∑∫ ∑∫ 1 2 1 2( ) ( )( ) ( )( )1 ( ) 2 1( ) ) . ] ] ] ]u w u t ww u u e e du e e dwλ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ µ µ − + + + − + + − − + + −− − + −                                                                                                                    + 
  • 25. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 55 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) 2( ) ( 1) ( 1 0 1 [2( ) ] ( 1) 1 ( ) 2 [{ ( 1)! j l m i l h j l k h r i t m i l k h j j k r l g j h i l n g j h i l n m j j l j l r j l h r m t w I I i m i l k h µ µ µµ γ ξ +∞ ∞ ∞ − + + = = = = = = − − + + − − + − + + − + + + − − − + + + − + + + + + +     + + −           −  −  −  − − + + −  − ∑∑∑∑∑∑ ∫ 1 1 2 ) 4 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( 1) 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 0 ( ) ( )( )( ) } 2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )( ( ) ) ( )][ { }(2 ( ) )] ( 1)! ] g j h i l n g j h i l n w k r l g j h i l n g j h i l n u t ww I I w w u I I u k r l e e e dwλ ξ µ µ µ ξλ β ξ λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ µ µ − + + + − − + + + − + + − − + + + − − + + + − + − + + − + + −− + −  − + − + + + + + − + + − + + − −  ∫ 1 2 1 2 1 1 ( 6) 1 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 0 [( )( ) ] 1 ( 1) ( ) ( ) 2 [{ ( 1)! j l m i l h i k l l h j l k h r i t m i l k m i l h m i l h r g j m j j l l j l r m j l h r i t w I m i l k λ ξ µ λ ξ µ µµ γ µ µ λ +∞ ∞ ∞ − + + − + + + + = = = = = = − − + − − − + − − + + + + − + + + + + + + + + −       − +             − − − + − ∑∑∑∑∑∑ ∫ 1 2 1) ( 1) 1 2 1 1 ( )( )( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 2( 1) 1 1 2 [2( ) 1] }(2 ( ) )] 1 ] [ ( )( ) ] ( 1) ( ) (2( ) 1) h i l n g j h i l n j N t ww l j l k i j k i l i j k i N I w j j k e e dw l k j k i N I t e µ µ ξλ β ξ λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ γ µ µ + − − + + + + − + + +∞ ∞ − − + + −− + − = = = = −− + + + + − + + − + − + + +   − + + + + + −       + + + − + ∑∑∑∑ 1 2( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 ( 1)1 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 ( [3{( ) ( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ] 1 ( ) ( 1) [{ } ( 1)! { t t k h lj l l h j k g j h l n g j h l n j l k h r g j p p j j k t w I I l k k h l I λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ γ γ + + + + − −+∞ ∞ ∞ + − + + + − − + + − + = = = = = − + + + + + + + + + + − + − + + +   − − −   + − −   − ∑∑∑∑∑ ∫ ( ) ( ) 1) ( 1) 1 2 1 2 2 2( 1) 1 2 1 2 2 1 (2 2) 00 (2 1 (2 1) 1 2 }](2 ( ) ) ] [ (1 )( ) ( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) } 2! { (2 1) }](2 ( ) ) w w h l n g j h l n t N i i N i i i N I w e e dw p t w p i N I i N I w w e λ β ξ λ ξ λ λ µ µ ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ γ γ λ µ µ − + − − + + − − + + + − + + − − + − + = −− − − + − + + − + +  − + + − + + − +  − − + + ∑∫ 1 1 2 1 2 1 ) ( )( )( ) 0 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 2( 1) (2 2 00 0 ] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [{3 4 } ][ (2 2) 1! 2! N w t ww i t t n t w t w n i i n i e e dw p p t w t w e e dw i n I µ ξ λ µ µ ξλ β ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ γ − + + − + + + −− + − = − − + + − − + + − − − − − + =  + − + − + − − + + + + + + − − + − + ∑ ∑∫ ∫ )]                                                                                         (51) Where 1 2( ) , 2 ( )I t Iν να α λ µ µ≡ = +
  • 26. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 56 4. NUMBER OF TIMES THE SYSTEM REACHES ITS CAPACITY IN TIME t Putting y=1 in (26) and on simplification, we have [ ]1 1( ,1; ) 1 ( 1) ( , )N A H x s x P x s s λ − −= + − (52) Using (28) in (52) and setting x=0, we have 151 0,. 16 ( ) 1 ZA P s s Z −   = −    (53) Where 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 15 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 [( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)] [[( )( ) ][ (1){ ( )} (2) ( )] ( )[ (1){ ( )} (2){ } (3) ]] s A s A V B B B Z B V s s s A V B B B V B A V B B V B B V B ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λγ ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ µ µ µ µ µ µ λ λ − − − −  + − + + + − + + − +  = − + + + + + + − + + − + + + − + + − − −          1 1 1 1 1 6 2 1 2 2 2 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 2 16 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( )} ( 1){ }] [{ ( )}{ (1) ( ) (2) (1){ ( )}} { ( ) ( )}{ ( ) (1) (2) { A B V N B V N V N B B V N B B A s B V B V Z V B B A A s B V B V λ µ µ λγ γ µ µ γ λ λ µ λ ξ λγ µ µ ξ γ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ λγ γ − − − − − − − + + − − − + + + − + − + + + + + + = − + + + − + − + + + + + − 1 2}}]]B Bλ             +   Using (28) in (52), differentiating m times w.r.t. x and dividing both sides by m! And setting x=0, we have 17 ,. 18 ( )m Z P s Z −   =     (54) Where 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 4 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 17 2 2 [ (1){ ( )} ( ) (2)][ ( ) ( 2) 2 ( ){ [ ( 1) ( 1)]} ( ) ( ) { }][ (1){ ( )} ( ) ( ){ ( ) (1) (2) V B B B B V B V N s V N B V N B V N B B V B B A A s B V Z B V γ λγ µ µ µ µ µ µ λ µ µ λ ξ γ γ µ µ γ λ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ λγ − − − − − − − + + − + + + − + + + + − + + + + + + + + − + − + + + + = + + 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 2 1 2 1 2 2 ( 1) ( )} [ ( 2) ( ){ ( )}] { ( 1) ( )} ( ){ ( 2) ( 1)} { } { ( 1) ( 2)}] m A s A B V N V N B B A A B V N V N A B V N V N B B V N V N λ µ λ ξ λ λ γ µ µ γ λ µ µ γ λ − − − −            + + + + − − + +    + + − + + + − + + +   + − −   2 ( 1) 1 6 1 2 1 1 2 2 2 4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 18 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 4 2 [ ( ) ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ] ( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )} {( ) (1) (2) { }}] [ ( )] [ m m m s s s A B V N V N B V N B B V N B B A A s Z B V B V B B A s B V λξ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ λ λ µ ξ γ λ − + + − − − − − − + + + + + − − − + + − − + − − + − + + + = + + − + − + + + + 2 1 2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m B V V B Bµ µ γ µ µ− +            + + − + +  Expanding the right hand sides of (53) and (54), we have
  • 27. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248- 938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013) 57 1 ( ) 2( 1) 2 0 0 0 0 0 0 2 2 ( 1) ( 1 1 2 2 1 2 0,. 1 ( 1) ( )( ) ( ) (1 ) [{ ( ) j jl i l h j l h i j k h l r j l k h i r g j k l g j k l j l j l r j j k l s l h r i k p p R R P s λ γ λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ +∞ ∞ ∞ ++ − +− + − + + −+ + − = = = = = = − + + +− − + + ++ − + + + + −      −              + + + + + − − − − = ∑∑∑∑∑∑ ) 1 ( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 2) 2 0 0 0 ( 2 2) 1 2 1 2 0 0 2 1 } { } (2 ) { }] 1 ( 1) [ ( )( )( ) (1 ) j g j i h k g j i h k i j k g j k l g j k l j l k j i l j k l i i r R R R R s j l j k j r l k r p γ λ γ γ λλ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ ∞ ∞ − − + ++ + + − + ++ + + + + − − + + +− − + + +− − = = = ∞ + − + −++ = = − − + − − + + − +    − + + + + +        − − + ∑∑∑ ∑∑ ( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2) 2 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) 1 2 1 2 ( )][{ } { }] [ ( )] { }] ( )( ) [{ }] g j l k N g j l k N g j l k g j l k g j g j k l g j r l g j r l p R R R R p R R s R R λ λ ξ µ γ λ µ µ γ ξµ µ λ ξ − + ++ + − + ++ + + − + ++ + − + ++ + − − + − − + + − −− − + + ++ − + + ++                          + + − − −   − + − − + + + −   (55) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 2 ,. 1 1 1 ( 1) 1 2 [( ) ] ( ) j j kl m m i i l p q h j l k h r i q p m i l p q m i l p q l p m m m j j l j k m i j k i j l h k p q j i l r p r P s λ µ µ λ γ + −∞ ∞ ∞ − + − + + + + = = = = = = = = − − + − − − − + + + − − − + + + + − −        −                 + + +  +    = ∑∑∑∑∑∑∑∑ (2 1) ( 1 1) 1 2 ( 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3) 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) [{ } { }] 1 ( 1) m j i q m i l p m i k l g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N j m i l j l k i s s R R R R m m j j i j i i j l µ µ ξ λ ξ γ + − − − − − − + − − − − − − − + + + + + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + + + +∞ ∞ − + = = = = + + + + + − − − − + + +    + −         ∑∑∑∑ 1 (2 2) 1 ( ) ( ) ( 2) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 ( 3) 2( 1) 2 0 0 0 0 [2 ( ) ( )( )]( ) [{ } { }] ( 1) [ { ( m i k m j i N m i l k g j i N g j i N g j i N j N g j i N l i j k i j l k i k k s R R R j l R p l λ γ λλ ξ µ λ ξ µ µ µ µ µ ξ γ γ λ µ − − − − + − − − − − + + − + + + − + + + + − + + + + +∞ ∞ + − + + + + + − + + + = = = = +  + +    + + + + + + − − +  − − −     ∑∑∑∑ 2( ) 2 2 1 2 [2( ) 2] 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( 1) 2 3 (2 3) 2( ) (2 1) 1 2 1 2 0 0 ) }] {(2 ) [( ) ] } [ ( )( )( ) (1 ) ( )][{ (2 ) [( ) ] } { (2 ) [( l i j k i N j k i N N n i i N i N n i i n i i s p p s s µ µ λ λ µ µ ξ ν λλ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ λ µ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ + + + − − − + + − − − − − + − + − − + − − + = = + − + + + + + + + + + + + − − + + + + + + + − + + ∑ ∑ (2 1) 1 2 ) ] }]i n µ ξ ν − − +                                            + + +       (56) Taking the inverse transform of (55) and (56), we have