Cálculo diferencial e integral

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERIAS EN CIENCIAS
APLICADAS
INGENIERÍA TEXTIL
CÁLCULO DE UNA VARIABLE
INTEGRALES IMPROPIAS
NOMBRE: Cristian Estévez
DOCENTE: MSc. Luis Chamorro
FECHA: 27 de Enero del 2018
TEMA: Integrales Impropias
Ibarra, 2017 – 2018

2. En los ejercicios 15 a 32, determinar si la integral impropia es divergente o convergente.
Evaluar la integral si es convergente.
15. ∫
𝟏
𝒙 𝟐
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝑦 =
1
𝑥2
lim
𝑏→∞
∫
𝑑𝑥
1
𝑏
1
x y
lim
𝑏→∞
[−
1
𝑥
]b
1 1 1
lim
𝑏→∞
[−
1
𝑏
− (−
1
1
)] 2 0.25
𝐴 = [−
1
∞
+ 1] 3 0.11
𝐴 = 1 𝑢2
Convergente 4 0.06

3. 16. ∫
𝟓
𝒙 𝟑
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝑦 =
𝟓
𝒙 𝟑
lim
𝑏→∞
5∫
𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝒃
𝟏
x y
lim
𝑏→∞
[−
5
2𝑥2
]b
1 1 5
lim
𝑏→∞
[−
5
2𝑏2 − (−
5
2(12)
)] 2 0,625
A = [−
5
2∞2 + 2,5] 3 0,185
A = 2,5 𝑢2
Converge 4 0,078

4. 17. ∫
𝟑
√ 𝒙𝟑
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝑦 =
3
√ 𝑥3
lim
𝑏→∞
∫
3
√ 𝑥3
𝑏
1
𝑑𝑥 x y
lim
𝑏→∞
3 ∫ 𝑥
−
1
3
𝑏
1
𝑑𝑥 1 9
lim
𝑏→∞
[
9
2 √𝑥23 ]b
1 2 2,38
lim
𝑏→∞
[
9 √𝑥23
2
−
9 √𝑥23
2
]b
1 3 2,08
lim
𝑏→∞
[
9 √𝑏23
2
−
9 √123
2
] 4 1,88
𝐴 = [
9√∞23
2
− 4,5]
𝐴 =[ 𝐼𝑁𝐷 − 4,5]
lim
𝑏→∞
[
9 √𝑏23
2
−
9 √123
2
]
lim
𝑏→∞
[
18
6 √ 𝑏3 −
9 √123
2
]
lim
𝑏→∞
[
18
6 √∞3 −
9 √123
2
]
|𝐴| = 4,5𝑢2
Converge

5. 18. ∫
𝟒
√ 𝒙𝟒
∞
𝟏
𝒅𝒙 𝒚 =
𝟒
√ 𝒙𝟒
lim
𝑏→∞
4 ∫ 𝑥
−
1
4
𝑏
1
𝑑𝑥 x y
lim
𝑏→∞
[
4𝑥
3
4
3
]b
1 1 4
lim
𝑏→∞
[
4𝑏
3
4
3
−
4(1)
3
4
3
] 2 3,36
lim
𝑏→∞
[
4(∞)
3
4
3
−
4(1)
3
4
3
] 3 3,30
lim
𝑏→∞
[ 𝐼𝑁𝐷 −
4(1)
3
4
3
] 4 2,82
lim
𝑏→∞
[
4𝑏
3
4
3
−
4(1)
3
4
3
]
lim
𝑏→∞
[
12
12𝑏
1
4
−
4(1)
3
4
3
]
𝐴 = [
12
12(∞)
1
4
−
4 √134
3
]
𝐴 = 1.33𝑢2
Converge

6. 19. ∫ 𝒙𝒆−𝟐𝒙
𝒅𝒙
𝟎
−∞
lim
𝑎→−∞
∫ 𝑥𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
0
𝑎
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = −
𝑒−2𝑥
2
lim
𝑎→−∞
−
𝑥𝑒−2𝑥
2
− ∫ −
0
𝑎
𝑒−2𝑥
2
𝑑𝑥
lim
𝑎→−∞
[−
𝑥𝑒−2𝑥
2
−
𝑒−2𝑥
4
]0
a
lim
𝑎→−∞
[−
𝑒−2𝑎2
2
−
𝑒−2𝑎
4
] − [−
(0)𝑒0
2
−
𝑒0
4
]
𝐴 =[∞ +
1
4
]
𝐴 = ∞

7. 20. ∫ 𝑥𝑒
−
𝑥
2
∞
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
∫ 𝑥𝑒
−
𝑥
2
𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[−2𝑒
−
𝑥
2( 𝑥 + 2)]b
0
lim
𝑏→∞
[−
2( 𝑏 + 2)
𝑒
𝑏
2
+
2(0 + 2)
𝑒
0
2
]
𝐴 = [
∞
∞
+ 4]
lim
𝑏→∞
[−
2( 𝑏 + 2)
𝑒
𝑏
2
+ 4]
lim
𝑏→∞
[−
4
𝑒
𝑏
2
+ 4]
𝐴 = [
4
∞
+ 4]
𝐴 = 4 Converge

8. 21. ∫ 𝑥2∞
0
𝑒−𝑥
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
∫ 𝑥2
𝑏
0
𝑒−𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[− 𝑒−𝑥 ( 𝑥2 +2𝑥+2)]b
0
lim
𝑏→∞
[− 𝑒−𝑏 ( 𝑏
2
+2𝑏 +2) + 𝑒−0 (0
2
+2(0)+2)]
lim
𝑏→∞
[−
∞2 +2∞+2
𝑒∞ +2]
lim
𝑏→∞
[−
∞
∞+2]
lim
𝑏→∞
[𝐼𝑁𝐷 +2]
lim
𝑏→∞
[ 𝑒−𝑏 (2𝑏
2
+2𝑏+2) +2]
lim
𝑏→∞
[ 𝑒−𝑏 𝑏
2
+2]
lim
𝑏→∞
[𝐼𝑁𝐷 +2]
lim
𝑏→∞
[ 𝑒−𝑏 𝑏
2
+2]
lim
𝑏→∞
[− 𝑒−𝑏(𝑏−2)+2]
𝐴 = 2 Converge

9. 22. ∫ ( 𝒙 − 𝟏) 𝒆−𝒙∞
𝟎
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫ ( 𝑥 − 1) 𝑒−𝑥𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑏
0
𝑑𝑥 − ∫ 𝑒−𝑥𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[
𝑒𝑥2
2
−
𝑥2
2
− 𝑒𝑥]b
0
lim
𝑏→∞
[
𝑒𝑏2
2
−
𝑏2
2
− 𝑒𝑥 −
𝑒(0)2
2
+
02
2
+ 𝑒0]
𝐴 = [
∞
2
−
∞
2
− ∞]
𝐴 = ∞
23. ∫ 𝒆−𝒙∞
𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑥𝑏
0 cos 𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑒−𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥)]b
0
lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑒−𝑏(sin 𝑏 − cos 𝑏) − 1
2
𝑒0(sin 0 − cos0)]
lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑒−∞(sin∞ − cos∞) + 1
2
]
𝐴 = [
sin ∞−cos∞
𝑒∞ + 1
2
]
𝐴 =
1
2
Converge

10. 24. ∫ 𝒆−𝒂𝒙∞
𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙, 𝒂 > 𝟎
lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑎𝑥
𝑏
0
sin 𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑎𝑥(𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑎2+1
]b
0
lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑎𝑏( 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏+𝑐𝑜𝑠𝑏)
𝑎2+1
+
𝑒−𝑎0(𝑎𝑠𝑖𝑛0+𝑐𝑜𝑠0)
𝑎2+1
]
lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑎𝑏( 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏+𝑐𝑜𝑠𝑏)
𝑎2+1
+
1
𝑎2+1
]
𝐴 = [−
( 𝑎𝑠𝑖𝑛∞+𝑐𝑜𝑠∞)
(𝑎2+1)(𝑒 𝑎∞)
+
1
𝑎2+1
]
𝐴 =
1
𝑎2+1
25. ∫
𝟏
𝒙(𝑰𝒏𝒙) 𝟑
∞
𝟒
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥(𝐼𝑛𝑥)3
𝑏
4
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[−
1
2 𝑙𝑛2 𝑥
]b
4
lim
𝑏→∞
[−
1
2 𝑙𝑛2 𝑏
+
1
2 𝑙𝑛2(4)
]
𝐴 = [−
1
2 𝑙𝑛2∞
+
1
2 𝑙𝑛2(4)
]
𝐴 =
1
2 𝑙𝑛2(4)

11. 𝐴 =
1
2 𝑙𝑛2(4)
𝐴 = 7,68 𝑢2
Converge
26. ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
∞
𝟏
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
𝒃
𝟏
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
[
𝑙𝑛2 𝑥
2
]b
1

12. lim
𝑏→∞
[
𝑙𝑛2
𝑏
2
−
𝑙𝑛2
1
2
]
𝐴 = [
∞
2
]
𝐴 = ∞ Divergente

13. 27.∫
𝟐
𝟒+𝒙 𝟐
∞
−∞
𝒅𝒙
lim
𝑎→−∞
2∫
𝒅𝒙
𝟒+𝒙 𝟐
𝟎
𝒂 + lim
𝑏→∞
2∫
𝒅𝒙
𝟒+𝒙 𝟐
𝒃
𝟎
lim
𝑎→−∞
2∫
𝒅𝒗
𝒂 𝟐+𝒗 𝟐
𝟎
𝒂 + lim
𝑏→∞
2∫
𝒅𝒗
𝒂 𝟐+𝒗 𝟐
𝒃
𝟎
lim
𝑎→−∞
[
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑣
𝑎
]0
a +lim
𝑏→∞
[
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑣
𝑎
]b
0
lim
𝑎→−∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑥
𝑎
]0
a + lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑥
𝑎
]b
0
lim
𝑎→−∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
0
𝑎
−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑎
𝑎
] +lim
𝑏→∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑏
𝑎
−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
0
𝑎
]
𝐴 = [−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
−∞
𝑎
+
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔∞]
𝐴 =
𝜋
4
𝐴 =
𝜋
8
Converge

14. 28. ∫
𝒙 𝟑
(𝒙 𝟐+𝟏) 𝟐
∞
𝟎
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
𝑥3
(𝑥2 + 1)2
𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[
1
2
(
1
𝑥2+1
+ ln(𝑥2
+ 1))]b
0
lim
𝑏→∞
[
1
2
(
1
𝑏2 + 1
+ ln( 𝑏2
+ 1) −
1
2
(
1
02 + 1
+ ln(02
+ 1)))]
𝐴 = [
1
2∞2 + 1
+ ln(∞2
+ 1) −
1
2
]
𝐴 = ln ∞ −
1
2
𝐴 =
𝜋
2
−
1
2
𝐴 =
𝜋 − 1
2
𝐴 = 1.07𝑢2
Converge

15. 29. ∫
𝟏
𝒆 𝒙+𝒆−𝒙
∞
𝟎
𝒅𝒙
lim
𝑏→∞
∫
1
𝑒 𝑥+𝑒−𝑥
𝑏
0
𝑑𝑥
lim
𝑏→∞
[ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒 𝑥
)]b
0
lim
𝑏→∞
[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒 𝑏
) − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒0
)]
𝐴 = [ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 ( 𝑒∞) − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑒0
)]
𝐴 = ∞ − 1
𝐴 =
𝜋
2
− 1
𝐴 = 0,57 𝑢2
Converge

16. 30. ∫
𝒆 𝒙
𝟏+𝒆 𝒙 𝒅𝒙
∞
𝟎
lim
𝑏→∞
∫
𝑒 𝑥
1+𝑒 𝑥 𝑑𝑥∞
0
lim
𝑏→∞
[ln ( 𝑒 𝑥 +1)]b
0
lim
𝑏→∞
[ln ( 𝑒 𝑏 +1) − ln ( 𝑒0 +1)]
lim
𝑏→∞
[ln ( 𝑒∞
+1) − ln(2)]
𝐴 = ∞ −
𝜋
5
𝐴 =
𝜋
2
−
𝜋
5
𝐴 =
3𝜋
10
𝐴 = 0,94 𝑢2
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
31. ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝝅𝒙 𝒅𝒙
∞
𝟎
∫
𝑒 𝑥
1 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∞
0
lim
𝑏→∞
∫ cos 𝜋𝑥 𝑑𝑥
𝑏
0
lim
𝑏→∞
[
1
𝑒 𝑥
]b
0

17. lim
𝑏→∞
[
1
𝑒 𝑏
−
1
𝑒 𝑜
]
𝐴 = [−
1
∞
+ 1]
𝐴 =1