Unsteady aerodinamics

2. 𝜕𝒖
𝜕𝑡
+ 𝛻
𝒖 2
2
+
1
𝜌
𝛻𝑝 = 0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻 ⋅ 𝜌𝒖 = 0
𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜕𝜙
𝜕𝑡
+
𝛻𝜙 2
2
+
𝑎2
𝛾 − 1
= 𝐶
𝜕2𝜙
𝜕𝑡2
+ 2𝛻𝜙 ⋅
𝜕𝛻𝜙
𝜕𝑡
= 𝑎2𝛻2𝜙 − 𝛻𝜙 ⋅ 𝛻
𝛻𝜙 2
2

3. 𝐷𝐹
𝐷𝑡
= 0 →
𝜕𝐹
𝜕𝑡
+ 𝒖 ⋅ 𝛻𝐹 = 0
𝒖 → 𝑈∞𝒆𝒙 𝒙 → ∞
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑡
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑧 − 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 0
𝑑𝐹 = 0
(𝒙, 𝑡
(𝒙 + 𝒅𝒙, 𝑡 + 𝑑𝑡

4. 𝐹𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑧 − (𝑧+ 𝑥, 𝑦 + 𝛼 𝑐 − 𝑥 + ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑡 )
−
𝜕ℎ
𝜕𝑡
− 𝑢
𝜕𝑧+
𝜕𝑥
− 𝛼 +
𝜕ℎ
𝜕𝑥
− 𝑣
𝜕𝑧+
𝜕𝑦
+
𝜕ℎ
𝜕𝑦
+ 𝑤 = 0
𝐹𝑙 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑧 − (𝑧− 𝑥, 𝑦 + 𝛼 𝑐 − 𝑥 + ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑡 )
−
𝜕ℎ
𝜕𝑡
− 𝑢
𝜕𝑧−
𝜕𝑥
− 𝛼 +
𝜕ℎ
𝜕𝑥
− 𝑣
𝜕𝑧−
𝜕𝑦
+
𝜕ℎ
𝜕𝑦
+ 𝑤 = 0
𝑧+ 𝑥, 𝑦 + 𝛼(𝑐 − 𝑥)
𝑧− 𝑥, 𝑦 + 𝛼(𝑐 − 𝑥)
ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡)

5. 𝒖 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑈∞𝒆𝒙 + 𝒖′
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑈∞ 𝑥 + 𝜙′
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
1 − 𝑀∞
2
𝜕2
𝜙′
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜙′
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜙′
𝜕𝑧2
−
2𝑀∞
2
𝑈∞
𝜕2
𝜙′
𝜕𝑡𝜕𝑥
−
𝑀∞
2
𝑈∞
2
𝜕2
𝜙′
𝜕𝑡2
= 0
1
𝑈∞
ቇ
𝜕𝜙′
𝜕𝑧 ±
=
𝜕𝑧±
𝜕𝑥
− 𝛼 +
𝜕ℎ
𝜕𝑥
+
1
𝑈∞
𝜕ℎ
𝜕𝑡
, 𝛻𝜙′ → 0 𝒙 → ∞
𝑐𝑝 = −
2
𝑈∞
2
𝜕𝜙′
𝜕𝑡
+ 𝑈∞
𝜕𝜙′
𝜕𝑥
𝜙′

6. 1 − 𝑀∞
2
𝜕2
𝜙1
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜙1
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜙1
𝜕𝑧2
−
2𝑀∞
2
𝑈∞
𝜕2
𝜙
𝜕𝑡𝜕𝑥
−
𝑀∞
2
𝑈∞
2
𝜕2
𝜙
𝜕𝑡2
= 0
1
𝑈∞
ቇ
𝜕𝜙1
𝜕𝑧 ±
=
𝜕𝑧±
𝜕𝑥
− 𝛼 , 𝛻𝜙′
→ 0 𝒙 → ∞
1 − 𝑀∞
2
𝜕2𝜙2
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝜙2
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝜙2
𝜕𝑧2
−
2𝑀∞
2
𝑈∞
𝜕2𝜙2
𝜕𝑡𝜕𝑥
−
𝑀∞
2
𝑈∞
2
𝜕2𝜙2
𝜕𝑡2
= 0
1
𝑈∞
ቇ
𝜕𝜙2
𝜕𝑧 ±
=
𝜕ℎ
𝜕𝑥
+
1
𝑈∞
𝜕ℎ
𝜕𝑡
, 𝛻𝜙′
→ 0 𝒙 → ∞
0

7. 𝜕2
𝜙
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜙
𝜕𝑧2
= 0
1
𝑈∞
ቇ
𝜕𝜙′
𝜕𝑧 ±
=
𝜕ℎ
𝜕𝑥
+
1
𝑈∞
𝜕ℎ
𝜕𝑡
, 𝛻𝜙′ → 0 𝒙 → ∞, +Kutta
𝑢 𝑥, 0, 𝑡
𝑤′ 𝑥, 0, 𝑡 = −
1
2𝜋
න
0
∞
2𝑢′
𝜉, 0, 𝑡
𝑥 − 𝜉
𝑑𝜉
𝛾 = 2𝑢′
Γ 𝑥, 𝑡 = ‫׬‬
0
𝑥
2𝑢′
𝜉, 0, 𝑡 𝑑𝜉

8. 𝑢 𝑥, 0, 𝑡
𝑤′ 𝑥, 0, 𝑡 = −
1
2𝜋
න
0
𝑐
2𝑢′ 𝜉, 0, 𝑡
𝑥 − 𝜉
𝑑𝜉 −
1
2𝜋
න
𝑐
∞
2𝑢′ 𝜉, 0, 𝑡
𝑥 − 𝜉
𝑑𝜉
𝑪𝒑
𝜕𝜙′
𝜕𝑡
+ 𝑈∞
𝜕𝜙′
𝜕𝑥
= 0 → 𝜙′
𝑥, 0, 𝑡 = 𝜙′
𝑐, 0, 𝑡 −
𝑥 − 𝑐
𝑈∞
Γ 𝑥, 𝑡 = Γ 𝑐, 𝑡 −
𝑥 − 𝑐
𝑈∞
𝛾 𝑥, 𝑡 = −
1
𝑈∞
𝜕Γ
𝜕𝑡
𝑐, 𝑡 −
𝑥 − 𝑐
𝑈∞

9. ℎ, 𝑤, 𝑢, Γ, 𝑔 𝑥, 𝑡 = {෠
ℎ, ෝ
𝑤, ො
𝑢, ෠
Γ, ො
𝑔} 𝑥 𝑒−𝑖𝜔𝑡
ෝ
𝒖 𝝃
ෝ
𝑤 𝑥 = −
1
2𝜋
න
0
𝑐
2ො
𝑢 𝜉
𝑥 − 𝜉
𝑑𝜉 + ො
𝑔(𝑥)
ො
𝑔 𝑥 =
𝑖𝜔
2𝜋
෠
Γ 𝑐 න
𝑐
∞
𝑒−𝑖𝜔/𝑈∞ 𝜉−𝑐
𝑥 − 𝜉
𝑑𝜉
ො
𝑢 𝑥 =
1
𝜋
𝑐 − 𝑥
𝑥
න
0
𝑐
(ෝ
𝑤 𝜉 − ො
𝑔 𝜉 )
𝑥 − 𝜉
𝜉
𝑐 − 𝜉
𝑑𝜉

10. ො
𝑢 𝑥 =
1
𝜋
𝑐 − 𝑥
𝑥
න
0
𝑐
(ෝ
𝑤 𝜉 − ො
𝑔 𝜉 )
𝑥 − 𝜉
𝜉
𝑐 − 𝜉
𝑑𝜉
෠
Γ 𝑐 ෠
Γ 𝑐 = ‫׬‬
0
𝑐
2ො
𝑢 𝑥 𝑑𝑥
෠
Γ 𝑐
෠
Γ 𝑐 =
4 𝑒−𝑖𝑘
‫׬‬
0
𝑐 𝑥
𝑐 − 𝑥
ෝ
𝑤 𝑥 𝑑𝑥
𝜋𝑖𝑘 𝐻1
2
𝑘 + 𝑖𝐻0
2
𝑘
, 𝑘 =
𝜔𝑐
2𝑈∞
𝐻𝑛
(2)
𝐻0
2
𝑘 =
2𝑖
𝜋
න
1
∞
𝑒−𝑖𝑘𝑥
𝑥2 − 1
𝐻1
2
= −
2𝑖
𝜋𝑘
න
1
∞
𝑒−𝑖𝑘𝑥
𝑥2 − 1 3
𝑑𝑥

11. Ƹ
𝑐𝑝 𝑥 =
2
𝜋
𝑐 − 𝑥
𝑥
න
0
𝑐
𝜉
𝑐 − 𝜉
ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉
+
4𝑖𝑘
𝜋𝑐
𝑥 𝑐 − 𝑥 න
0
𝑐
න
0
𝜉
ෝ
𝑤 𝜂 𝑑𝜂
𝑑𝜉
(𝑥 − 𝜉) 𝜉 𝑐 − 𝜉
+
4
𝜋𝑐
1 − 𝐶 𝑘
𝑐 − 𝑥
𝑥
න
0
𝑐
𝜉
𝑐 − 𝜉
ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉
𝐶 𝑘 =
𝐻1
2
𝑘
𝐻1
2
𝑘 + 𝑖𝐻0
2
𝑘
𝑘 𝑘 =
𝜔𝑐
2𝑈∞

12. መ
𝐶𝑙 = −4𝐶 𝑘 න
0
1
𝜉
1 − 𝜉
ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉 − 8𝑖𝑘 න
0
1
𝜉 1 − 𝜉 ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉
መ
𝐶
𝑚
1
2
= න
0
1
𝜉
1 − 𝜉
− 4 𝜉 1 − 𝜉 ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉
+ 𝑖𝑘 න
0
1
න
0
𝜉
ෝ
𝑤 𝜂 𝑑𝜂
1
𝜉 1 − 𝜉
− 8 𝜉 1 − 𝜉 ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉
− 2𝐶 𝑘 න
0
1
𝜉
1 − 𝜉
ෝ
𝑤 𝜉 𝑑𝜉

13. 𝐶 𝑘 =
𝐻1
2
𝑘
𝐻1
2
𝑘 + 𝑖𝐻0
2
𝑘
= 𝐹 𝑘 + 𝑖𝐺 𝑘 ≈ 1 −
0.165
1 −
0.0455
𝑘
𝑖
−
0.335
1 −
0.3
𝑘
𝑖
k ≈ 0.4

14. ෝ
𝑤 𝑥 = 𝑈(−ℎ + 𝛼 𝑏𝑎 − 𝑥 )

15. 𝐿 = 𝜋𝜌𝑏2 ሷ
ℎ + 𝑈 ሶ
𝛼 − 𝑏𝑎 ሷ
𝛼 + 2𝜋𝜌𝑈𝑏𝐶 𝑘 ሶ
ℎ + 𝑈𝛼 + 𝑏
1
2
− 𝑎 ሶ
𝛼
𝑀
= 𝜋𝜌𝑏2 ቊ 𝑏𝑎 ሷ
ℎ − 𝑈𝑏
1
2
− 𝑎 ሶ
𝛼 − 𝑏2
1
8
+ 𝑎2 ሷ
𝛼

16. 𝐿 = 𝜋𝜌𝑏2 ሷ
ℎ + 2𝜋𝜌𝑈𝑏𝐶 𝑘 ሶ
ℎ
1 + 𝑎 𝑏
𝑀𝛼 = 𝜋𝜌𝑏2 ሷ
ℎ𝑏𝑎 + 2𝜋𝜌𝑈𝑏𝐶 𝑘 ሶ
ℎ𝑏 𝑎 +
1
2
ሶ
ℎ
𝜋𝜌𝑏2

17. 𝐿 = 𝜋𝜌𝑏2
𝑈 ሶ
𝛼 − 𝑏𝑎 ሷ
𝛼 + 2𝜋𝜌𝑈𝑏𝐶 𝑘 𝑈𝛼 + 𝑏
1
2
− 𝑎 ሶ
𝛼
1 + 𝑎 𝑏
𝑀
= −𝜋𝜌𝑏2𝑈 ሶ
𝛼𝑏
1
2
− 𝑎 − 𝜋𝜌𝑏4
1
8
+ 𝑎2 ሷ
𝛼
+ 2𝜋𝜌𝑏𝑈𝐶 𝑘 𝑈𝛼 + 𝑏
1
2
− 𝑎 ሶ
𝛼 𝑏 𝑎 +
1
2
𝑤3/4

18. −𝛽2
𝜕2
𝜙
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜙
𝜕𝑧2
−
2𝑀∞
2
𝑈∞
𝜕2
𝜙
𝜕𝑡𝜕𝑥
−
𝑀∞
2
𝑈∞
2
𝜕2
𝜙
𝜕𝑡2
= 0
1
𝑈∞
ቇ
𝜕𝜙′
𝜕𝑧 ±
=
𝜕ℎ
𝜕𝑥
+
1
𝑈∞
𝜕ℎ
𝜕𝑡
, 𝛻𝜙′
→ 0 𝒙 → ∞, +Kutta
ℎ 𝑥, 𝑡 = ෠
ℎ 𝑥 𝑒−𝑖𝜔𝑡
෠
𝜙∗
𝑠; 𝑧
෠
𝜙(𝑥, 𝑧) 𝑧 ≥ 0
𝜙 x, z = −
1
𝛽
න
0
𝑥−𝛽𝑧
ෝ
𝑤 𝜉 exp −𝑖
𝜔𝑀∞
2
𝑈∞𝛽2
𝑥 − 𝜉
× 𝐽0
𝜔𝑀∞
2
𝑈∞𝛽2
𝑥 − 𝜉 2 − 𝛽2𝑧2 𝑑𝜉