2. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
32
number of times the system reaches its capacity in time t under the effects of catastrophe and
restoration. Various other measures of performance have also been obtained explicitly.
2. MODEL DESCRIPTION
We consider an M/M/2/N queueing system having two heterogeneous servers with
FCFS discipline subject to catastrophes and restorations. The customers arrive at a counter in
accordance with a Poisson process with mean arrival rate λ>0. This model is based on the
following assumptions:-
1. There are two servers: server 1, the fast server and server 2, the slow server. The
service times are exponentially distributed with mean service rates µ1 and µ2
respectively and µ1>µ2.
2. If the system is empty, a customer joins the fastest server with probability p and the
slow with probability 1-p.
3. Each customer is served only at one server.
4. When the system is not empty, the catastrophes occur according to Poisson process
with mean rateξ .The occurrence of a catastrophe destroys all the customers in the
instants and affects the system as well. The system will require some sort of time to
restarts in a normal way, which is taken as restoration time. The restoration times are
independently, identically exponentially distributed with parameter β>0. The
customers arrive in the system during the restoration time as usual.
We define
m, nP (t) = Prob. [X(t) = m, Y(t) = n], 2 n N≤ ≤ (1)
Where
X (t) = the number of times the system reaches its capacity in time t.
Y (t) = the number of customers in the system at time t.
,0 ( )mP t = the prob. that the system is empty at time t.
,00 ( )mP t = The prob. that there are zero customers in the system at time t without the
occurrence of
Catastrophe.
,00 ( )mQ t = The prob. that there are zero customers in the system at time t with the occurrence
of
catastrophe destroying all the customers.
,1,0 ( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 1.
,0,1( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 2.
The marginal probabilities are
., ,
0
( ) ( )n m n
m
P t P t
∞
=
= ∑ And ,. ,
0
( ) ( )
N
m m n
n
P t P t
=
= ∑
3. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
33
3. DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS GOVERNING THE SYSTEM
,00 ,00 1 ,1,0 2 ,0,1 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0m m m m m
d
P t P t P t P t Q t n m
dt
λ µ µ β= − + + + = ≥ (2)
,00 ,00 ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0
N
m m m n
n
d
Q t Q t P t n m
dt
λ β ξ
=
= − + + = ≥∑ (3)
,1,0 1 ,1,0 ,0 2 ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m
d
P t P t pP t P t n m
dt
λ µ ξ λ µ= − + + + + = ≥ (4)
,0,1 2 ,0,1 ,0 1 ,2( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m
d
P t P t p P t P t n m
dt
λ µ ξ λ µ= − + + + − + = ≥ (5)
, 1 2 , , 1 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;2 1, 0m n m n m n m n
d
P t P t P t P t n N m
dt
λ µ µ ξ λ µ µ− += − + + + + + + ≤ ≤ − ≥
(6)
, 1 2 , 1, 1( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1m N m N m N
d
P t P t P t n N m
dt
µ µ ξ λ − −= − + + + = ≥ (7)
0, ( ) 0N
d
P t
dt
=
Taking Laplace transform of the equations (2)-(7) w.r.t. t we have
0,00 0,00 0,1,0 0,0,11 2 0,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0s P s P s P s P s Q s mλ µ µ β
− − − − −
= − + + + + = (8)
0,. 0,000,00 0,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 0sQ s Q s P s P s mλ β ξ
− − − −
= − + + − = (9)
,00 ,00 ,1,0 ,0,11 2 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m m ms P s P s P s P s Q s mλ µ µ β
− − − − −
= − + + + ≥ (10)
,. ,00,00 ,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1m mm msQ s Q s P s P s mλ β ξ
− − − −
= − + + − ≥ (11)
,1,0 ,1,0 ,0 ,21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m ms P s P s p P s P s nλ µ ξ λ µ
− − − −
= − + + + + = (12)
,0,1 ,0,1 ,0 ,22 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )m m m ms P s P s p P s P sλ µ ξ λ µ
− − − −
= − + + + − + (13)
, , 1 , 11 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2,3,..., 1m n m n m ns P s P s P s n Nλ µ µ ξ λ µ µ
− − −
− ++ + + + = + + = − (14)
, 1, 11 2( ) ( ) ( ) ; , 1m N m Ns P s P s n N mµ µ ξ λ
− −
− −+ + + = = ≥ (15)
0, ( ) 0Ns P s
−
=
Since 0,00P (0) = 1
Where
, ,
0
( ) ( )st
m n m nP s e P t dt
∞−
−
= ∫
Define the probability generating functions by
,
0
( , ) ( ) m
n m n
m
P x s P s x
∞− −
=
= ∑ (16)
4. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
34
0
2
0 0 1,0 0,1
( , ; ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
N
n
n
n
H x y s R x s P x s y
R x s P x s P x s P x s
− − −
=
− − − −
= +
= + +
∑
(17)
. ,.
0
( , ) ( ) m
m
m
P x s P s x
∞− −
=
= ∑
(18)
Multiplying equation (8) to (15) by xm
, summing over the ranges of m and using (16), we
have
0 1,0 0,1 .1 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1, 0s P x s P x s P x s P x s nλ ξ µ µ ξ
− − − −
+ + = + + + = (19)
1,0 0 21 2( ) ( , ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ
− − −
+ + + = + (20)
0,1 0 22 1( ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ
− − −
+ + + = − + (21)
1 11 2 1 2( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ),2 1n n ns P x s P x s P x s n Nλ µ µ ξ λ µ µ
− − −
− ++ + + + = + + ≤ ≤ − (22)
11 2( ) ( , ) ( , )N Ns P x s x P x sµ µ ξ λ −
− −
+ + + = (23)
Using (19) to (21), we get
01 1 2 21
1,0 2 1 2
1
11
[( )( ) { ( ) }] ( , )
( , ) [ {2( ) }]
( ){( ) ( 1) ( , )}N
s s p P x s
P x s s
s s s x P x s
λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ
µ λ ξ µ µ
µ λ ξ ξ λξ
−
−
−
−
−
−
+ + + + + − + − = + + + +
− + + + + + −
(24)
02 1 2 21
0,1 1 1 2
1
12
[( )( ) { ( ) }] ( , )
( , ) [ {2( ) }]
( ){( ) ( 1) ( , )}N
s s p P x s
P x s s
s s s x P x s
λ ξ µ λ ξ λ µ µ µ
µ λ ξ µ µ
µ λ ξ ξ λξ
−
−
−
−
−
−
+ + + + + + + − = + + + +
− + + + + + −
(25)
Multiplying equation (22) to (23) by yn
, summing over the ranges of n and using (17), we
have on simplification
1
2
( , ; )
D
H x y s
D
−
=
(26)
Where
1 2
0 1,0 0,11 1 2
1 1
2 1
1 2
[1 ] (1 )( ) ( , ) (1 )[ ( , ) ( , )]
(1 )
(1 ) ( , ) ( 1) ( 1) ( , )N
N
D y s y y R x s y y P x s P x s
x y
y y P x s s y x y x P x s
s
ξ λ µ µ λ
λ
λ ξ
µ µ ξ
− − −
−
− −
− +
−
= + + − − − − − + +
−
− + − + − +
+ + +
2 1 2[( ) (1 )( ( ))]D s y y yξ λ µ µ= + + − − +
1
1 2
(1 )
( , ) ( , )N N
x y
P x s P x s
s
λ
µ µ ξ
− −
−
−
=
+ + +
5. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
35
2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( )
( ) , 1,2.
2
i
s s
s i
λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µ
α
λ
+ + + + ± + + + + − × +
= =
The existence of ( , ; )H x y s
−
is only possible if numerator vanishes for α1 and α2 the two zeros
of the denominators. This will give rise two equations, solving them we have;
1
0
( , )
( , )
( , )
E x s
P x s
E x s
−
−
−
= (27)
2
1
(., )
( , )
( , )
N
E s
P x s
E x s
−
−
− −
=
(28)
Where
[ ]2 1
1 1 2 1 1 1
2 1 4
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
( ) [ ( )] { ( 1) ( )} ( ) ( ) ( 1)
[ ( )] [ { ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}]
( , ) [ ( 1)( ) [ ][ ( )]] (
s A x s s A s T N s T N
A A x s s T N T N T N T N
E x s s x s A A s A
λ ξ γ µ µ ξ λ µ ξ µ λ ξ
λ µ µ ξ λγ µ µ
λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ λγ
− −
− −
−
− − − −
+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − − − + + + − +
= − + + − − + + + + 2
1 2
2 2 2
1 2 1 1
2
1 2 1 2
1)[
( )( )] ( 1) ( 1) [ (2){ ( ) ( )}]
(2)( )
x s
s s T N x A s V A s s s
A A V
µ µ
ξ µ λ ξ λξ λγ ξ µ λ ξ
λγ µ µ
−
− − −
−
− + +
+ + + + − + − + + + + + +
+
1
1
1 1
2 2
1 1 2 1 2 2 2 1 2 2
1 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 2 2
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]
(., ) [( )( ) ][ (1){ ( )} (2) ( )]
( )[ (1){ ( )} (2){ } (3)
s A s A V B B B B V
E s s s s A V B B B V B A
V B B V B B V B
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λγ
ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ µ µ
µ µ µ µ λ λ
− −
−
− − −
+ − + + + − + + − + −
= + + + + + + − + + − + +
+ − + + − − − 2 ]
1
1 1
1
1 4 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 1 6
1 1 2 1 2 2
( 1) [{ ( )}{ (1) ( ) (2) (1){ ( )}}
{ ( ) ( )}{ ( ) (1) (2) { }}] [ ( 1)
( , ) ( ) ][( ) ( 1)
x s A s B V B V V B B
A A s B V B V B B x
E x s A A x s B V N B
λξ λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ
µ µ µ λ ξ µ µ λγ γ λ λ
λ µ µ ξ µ µ λγ
− − −
− −
−
− −
− + + + + + + − + +
+ − + − + + + + + − + + −
= + + + + + + − 1
1
1 1
2
2 2 1 2
4 2 1 6 2
2 1 1 2 1 2 2 2
4
2 1 2 2
( 2) ( ){ ( )}
( 1){ }] ( ) [( ) ( 2) ( 1)
( 1){ ( )} ( ){ }]
V N V N B B
V N B B A x s B V N B V N
V N B B V N B B
γ µ µ
γ λ λ µ µ ξ µ µ λγ γ
µ µ γ λ
−
− − − −
−
− − + +
+ − + − + + + + + − − −
+ + + + +
[ ]1
1
1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
( ) ( )
[( )( ) ]
[( ){( ) ( ) } ( )]
[( ) ( ){ ( )} ( )]
A s s
A s
B s s s p p s
B s A p
µ µ µ λ ξ µ λ ξ
µ µ λ ξ µ µ
µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ
λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ
= + + + + + + +
= + + + + +
= + + + + + + + + − + + +
= + + + + + − − −
21 2
1 2 ( )say
µ µ
α α γ
λ
−
+
= = ,
2
( ) ( 1) ( )T n V n V nγ −
= + −
and
1 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3,...r r
V r s s rα α= − =
If we write
2 1 2[( )( )]D y yλ α α= − − −
(26) yields
6. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
36
1 11
1 2
0 01 2(1)
n n
n n
D y y
V
α α
λ α α
∞ ∞
− −
= =
−
∑ ∑
, 2
1
y
α
<
(29)
Now ( , )nP x s
−
is the coefficient of yn
in (17). Comparing the coefficients of yn
on both sides
of (29), we have:
2
1
0 11 2 3( , ) ( , ) ( , )
(1)
n
n NP x s s F F P x s F P x s
V
γ
λ
− − −
−
−
= + +
(30)
Where
2 2
1 1 1 2 1 2[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}]F s T n s AV n A T n T nξ λ µ ξ γ µ µ λγ −
= + − + + + − − + + −
2
1 2 1 2
2 2
2 1 2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 1
( 1)[( ){( ) ( ) } ( )]
[ ( )( ) ( 2)][( ) ( ){ ( ) }
( )]
T n s s s p p s
F T n T n s A p
λ µ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ
γ µ µ λγ λ ξ µ µ λ µ µ µ µ
λµ µ µ
−
− + + + + + + + + − + + +
= + + + − + + + + − +
− −
1 2 2
3 1 1 2 2( 1)[ ( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )} ]F s x T n s T n T n V n Aλξ λ µ ξ γ µ µ λγ− −
= − − + + + − + + − +
Since 0 ( , )P x s
−
and 1( , )NP x s
−
− are given by (27) and (28), so ( , )nP x s
−
are explicitly known.
For setting x=0 in (30) gives
[ ]
2
0, 1 6 2 3 7 4 52
6
( ) { }
(1)
n
nP s sZ Z Z Z Z Z Z
s Z V
γ
λξ
λ
−
= + − −
(31)
Where
2 2
1 1 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}
( 1)[( ){( ) ( ) } ( )] [ ( )( )
( 2)][( ) ( ){ ( )} ( )]
Z s T n s AV n A T n T n
T n s s s p p s T n
Z
T n s A p
ξ µ λ ξ γ µ µ λγ
µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ γ µ µ
λγ λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ
−
−
= + − + + + − − + + −
− + + + + + + + + − + + + + + +
=
− + + + + + − − −
2 2
3 1 2 1 1
2 2
4 1 1 2 2
2 2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
5 2 1
( )[ ][ ( )]
( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )}
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]
[ ( )(
Z s A s
Z T n s T n T n V n A
s A s A V B B B B V
Z A s s
λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ
µ λ ξ γ µ µ λγ
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λ γ
λ ξ µ λ
− −
−
− −
= − + + − − + + +
= − + + + − + + − +
+ − + + + − + + − + − +
= + + + + + 2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2
4 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
1
6 1 2
)][ (1) {( ( )} ( ) (2)] ( )
[ (1){ ( )} (2){ } (3)]
[ ( )][ (1) ( ) (2) (1){ ( )}] [
[ ] ( )
V B B B B V A
V B B V B B B V
A s B V B V V B B A A
Z s
ξ γ λγ µ µ µ µ µ µ
µ µ λ λ
λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ
λξ µ µ
− −
− −
−
− + + − + + +
− + + − + −
+ + + + + + − + + + −
= − + −
1
2 2 4
1 1 2 2 2 1 2
6 2
1 2 1 1 2 2 2 2 1 2
2 2 2
7 1 1 1 2 1 2 1 2
( )][( ) (1) (2) { } ( 1)
{ } [ {( ) ( 1) ( 2)} ( ){ ( )}]
[( )( ) ( )] ( 1) ( ) (2)
s B V B V B B V N
B B A B V N B V N V N B B
Z A s s s T N A A V
µ λ ξ µ µ λγ γ λ γ
λ λ µ µ λγ γ µ µ
λγ ξ µ λ ξ µ µ λγ µ µ
− − −
− −
− −
+ + + + + − + + −
+ + − + + − − − + +
= − + + + + + + − + +
Applying the Leibniz differentiation theorem to (24) to (25) and (27), setting x=0 and
dividing both sides by m! We have
8
,1,0
9
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (32)
7. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
37
10
,0,1
11
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (33)
12
,0
13
( ) , 1m
Z
P s m
Z
−
= ≥ (34)
Where
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2
2 2 6 2
2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1
8
[ {( ) } (2) [ ( ) ( )( )( )] ( 1) ( )
( ) [2 2 {( ) } ( 1) ( 2) ( )
{ ( ) }]][ ( ) { ( 2) ( 1)}
s p A A V s s s T N s s
s A A A A A p B V N V N B V N
B B A B V N V N A A
Z
λ µ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ
λ µ ξ λµ λ µ µ µ λγ γ
µ µ λ µ µ
− −
+ − − + + + + + + + + + − + +
+ + + + + + − + − − −
+ + + + − + +
=
2 4
2 1 1 2
1 4 4
2 1 1 2 1 2 2 1
4 2 6
2 1 2 1 2 1 1 2 2
2
{ ( 1) ( )} { }
{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {{( ) }
}{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)
B V N V N B B
T N T N s s T N A T N A A p B
B T N T N B B V N p T N T N A B V N
B
γ γ λ
λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ µ
γ λ µ µ λ µ µ λγ
−
− − −
− −
+ − + +
− − − + + + + + − − − + −
+ − − − + + + + − − − + + −
2 2 ( 1)
1 2 2 1 1 2 2( 1) ( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m
V N V N B A A V A s pγ λξ ξ λ µ µ µ− −
− − + + + + + −
2
2 2 2 ( 1) 1 6
1 2 1 1 2 1 1 2 2
2 4
9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
2 2
1 2
[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)
(2) { }}] [
m m m m
s s s s A B V N V N B
Z V N B B V N B B A A s B V B
V B B
γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ
γ γ λ λ
+ − + + −
− −
− −
+ + + + + + + + + − −
= − + + − − + − − + − + + + + +
− + − 4 2 1
2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
A s B V B V V B Bλ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +
+ + + + + + − + +
2
1 2 1 2 1 1 2 1
2 2 6 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
10
[ ( ) (2) { ( ) ( )( )( )}] ( 1) ( )
( ) [2 2 {( ) ( 1) ( 2) ( ){
( ) }}][ ( ) { ( 2) ( 1)} {
s pA A V s s s T N s s
s A A A A A pB V N V N B V N B
B A B V N V N A A B
Z
λ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ
λ µ ξ λ µ λ µ µ λγ γ
µ µ λ µ µ γ
− −
−
+ − + + + + + + + + + − + +
+ + + + + + + − − − +
+ + + − + +
=
4
1 2
1 4 4
2 1 1 2 1 2 1 2
4 2
1 2 1 2 1 1 2 2
6 2
2
( 1) ( )} { }
{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {( ) }
{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)
( 1)
V N V N B B
T N T N s s T N A T N A A pB B
T N T N B B V N p T N T N A B V N
B V N V
γ λ
λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ
γ λ µ µ λ µ µ
λγ γ
−
− − −
−
− −
+ − + +
− − − + + + + + − − − + +
− − − + + + + − − − + +
− − − 2 ( 1)
1 2 2 1 1 2 2( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] m
N B A A V A s pλξ ξ λ µ µ µ −
+ + + + + −
2
2 2 2 ( 1) 1 6
1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 4
11 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
2 2
1 2
[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)
(2) { }}] [
m m m m
s s s s A B V N V N B
Z V N B B V N B B A A s B V B
V B B
γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ
γ γ λ
+ − + + −
− −
− −
+ + + + + + + + + − −
= − + + − − + − − + − + + + + +
− + − 4 2 1
2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
A s B V B V V B Bλ λ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +
+ + + + + + − + +
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
6 2 2 2
2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 4
12 1 2 1 1 2 2
(2)( ) [( )( ) ( )] ( 1) [2 2 {( ) ( 1)
( 2) ( ){ ( ) }}][2 (1) ( ) ( ) {2( )( )}
( 1) ( 2)][2 { ( )
A AV A s s T N A A B V N
B V N V N B B V T N s
Z T N V N A A B B
µ µ ξ λ µ ξ µ µ λ λ µ µ
λγ γ µ µ λγ µ µ γ µ µ λ ξ
λ γ λ γ µ µ
− −
−
+ − + + + + + + − + + + +
− − − + + + + + + + +
= − − + + + 1 2
4 2 6 2
1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2 ( 1)
1 2
}{ ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}
( ){ } 2 {( ) ( 2) ( 1) ( 1)} (2){ ( )
( )}] m
T N T N T N T N
V N B B A B V N B V N V N B A A V A s
µ µ
γ λ λ µ µ λγ γ λξ ξ
λ µ µ
− − −
−
− − − + + − −
+ + − + + − − − + + +
+ +
2
2 2 ( 1) 1 6 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4 2 2
13 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2
4
2 1
[ ( ) ][ ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) }
( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}]
[ ( )][
m m m m
s s s A B V N V N B V N B B
Z V N B B A A s B V B V B B
A s
γ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ γ µ µ
γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ
λ λ µ ξ γ
+ − + + − −
− − −
−
+ + + + + − − − + +
= − − + − − + − + + + + + − + −
+ + + + 2 1
2 2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
B V B V V B Bλ µ µ γ µ µ− +
+ + − + +
Now
2
, ,014( ) ( )
(1)
n
m n mP s Z P s
V
γ
λ
− −
=
(35)
Where
1 2 2
1 1 2 1 2 1
2 2 2
14 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 2 2 1
[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}] [ ( 1){( )
{( ) ( ) } ( )} [ ( )( ) ( 2)][( ) ( )
{ ( ) } ( )]]
s s T n s AV n A T n T n T n s
Z s s p p s T n T n s
p
ξ λ µ ξ γ µ µ λγ λ µ ξ
λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ
λ µ µ µ µ λµ µ µ
− −
−
+ − + + + − − + + − + − + + +
= + + + + + − + + + + + + − + + + +
− + − −
Using (10) and (11), we have
,
,0 0
,00
[ ( )]
( ) ( )
( )
( ) ( )
N
m n
m n
m
P s
s P s
P s
s s
ξ
λ β
λ β ξ λ β ξ
−
−
−
=+ +
= −
+ + − + + −
∑ (36)
8. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
38
,
,00
,00
[ ( )]
( )
( )
( ) ( )
N
m n
mn
m
P s
P s
Q s
s s
ξ
ξ
λ β ξ λ β ξ
−
−
−
=
= −
+ + − + + −
∑
(37)
We know that
( ) ( )
( )
0 0
0
( 1) 1
-j 1
(1 / ) ,( ) ( ) ( ) ,( ) ( 1)
and (1-a)
j
i i
k
i
j j i j j j j i j j i i
i ii
j k k
k
a b
a
a
C a b a a b b a b a b C a b
b
C
∞
= =
∞
=
− + + + −
+ −
− = + = + + + − = −
=
∑ ∑
∑
Using these Identities in (31) to (37), we have
[
1
1 ( 1 2) 2( 1)
0 0 0 0 0 1 0 0
1 ( 1) ( 1
1 2 2 1 1 2
0,
1
( 1)
1
{2( ) ( ) }[ {
( )
j j ll h
l h p q j l h p q j k h l
j l k h r p q
g j h l n g j h l n
n
j l j l r h j l
l h r p q
p R R
P s
λ γ
µ µ λ µ µ µ µ γ
+ −∞ ∞ ∞
+ + + − + − + + + − + + − +
= = = = = = =
− − + + − − − − + + − + +
−
+ + + −
−
+ + − + −
=
∑∑∑∑∑ ∑ ∑
) 2 ( 1)
( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) ( )
1 2
( 2) 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2
2
1
} {
}] ( ) ( ) [ {
}] [ { ( ) ( )( )( ) (1 )
(
}]
g j h l n
g j h l n l h k h l j k l h p g j h l k g j h l k
g j h l k
R
R s p R R
R p p
p
γ
µ µ γ λ ξ γ
λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ
λµ
− − + + − − +
− + + − + + + − + + + − + − + − − + + + + + − + + + +
− + + + + +
−
− + + + + −
− + − + + + + + + − − +
−
−
1
( 1) ( 2) 2( ) ( 1)
0 0 0 0 0
( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
(
1) 2 [{
} { }] ( ) [{
j l
l h j j k h l j k h l g j h l n
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n k l g j h l n
g j h
j l l j l r
R
l h r
R R R s R
R
λ γ
γ λ ξ
+∞ ∞ ∞
+ − + − + + − + − + + − − + + − − −
= = = = =
− + + − + + − − + + − − − + + − + − − − + + − −
− + +
+ + +
− − − + + + −
∑∑∑∑∑
) 1 ( 1) ( 1)
2
3 2( 1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1
0
2 2 (2 2) 2 2 1
1 2
} { }]
( )[( )( ) {2( ) ( )}]( ) {
(2 ) [( ) ] } (2 ) [(
l n g j h l n g j h l n
N
i
i
i N i N i i N
R R
s
s s
γ
ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ λ µ ξ γ
λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ
− + − − + + − − + − + + − + −
−
− − +
=
− + − − + − − +
− −
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + + − + +
∑
1
(2 1)
1 2
0
2 1 2
1 2 1 2 2 1
2 1
2( 1) 2 2 (2 2) 2( ) 2 1
1 2
0 0
(2
1 2
) ]
[ {( )( )( )} ( ) (1 ) ( )]
{ (2 ) [( ) ] } 3{ (2 )
[( ) ]
N
i N
i
n n
n i i n i n n i i n
i i
i
p p
s
s
µ ξ ν
γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ λ ξ µ µ λ λ ξ µ
γ λ λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ µ ξ ν
−
− − +
=
− −
− −
− − − + − − + − − +
= =
− −
+ + +
+ − + + + + + − + + − − + +
+ + + + + −
+ + + + +
∑
∑ ∑
2
1) 2( 1) 2 2 (2 2)
1 2
0
1 22
2( 1) ( 2) ( 2)
0 0 0 0 0 0 0
} { (2 ) [( ) ] }
2
( 1) [{ }] ( 1)
2 1
N
n i i N i N
i
j jN
l i j k i g j l i N g j l i N l
j l k i j l k
s
j l N
R R
l i
j j k
l k
γ λ λ µ µ ξ ν
γ
−
+ − + − + − − +
=
+ +∞ ∞ + ∞ ∞
+ − + + + − + + + − + − + + + − −
= = = = = = =
+ + + + + + +
+ +
− − + −
+ + +
∑
∑∑∑∑ ∑∑∑
1
(2 1) ( ) ( 3) 2 2 1 (2 1)
1 2
0
[{ }] (2 ) [( ) ]
N
j l g j i g j i i N i N
i
R R sγ γ λ λ µ µ ξ ν
−
− − − − + + − + + − − + − − +
=
− − + + + + +
∑
(38)
9. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
39
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
2 2( 1) ( 1 2) ( 1) (
1 2 1 2 1 2
,1,0
1 1 1
( 1)
1
[ ( ) ] 2 ( ) {
()
j l h m
i l h p
j l k h r p i
j k l m j k l j k p mi l k p
m
j m j l j l r h m
j l h r p i
p s R
P s
λ µ µ µµ γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
++ +
= = = = = = =
+ + − + + −+ − + + + − −++ + −
−
+ + + + + −
−
+ + + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
11)
( 1 2) 2 ( 1) ( 1) 2 6
1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
2 2 1 2
2
1 2
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] [ ( )
{( )
g j h i p
g j h i p g j h i l n g j h i l n j i k
g j h i p l n g j h i p l n
R R R p
p R R p
p
γ λ γ λµ µ λ µµ
µ λ ξ λ ξ µ λ µ λξ λ ξ µ
λ µ µ
+ + ++ +
− + + ++ + − − + + +−− + − + + +−− − ++ + −
− + + ++ −− − + + ++ −+
−
+ − − + + −
+ + + + − − + + + +
+ −
1 1
2 1 2 2 2 1 2
0 0 0 0
1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)
1 1 2
2
1 2 2
} (1 ) {( )( ) }] ( 1)
1
( ) [ ]
[( ) ](
j i m
i l
j l k i
mi l k m j i mi l g j l n g j l n
p p
j i l m j k
s R R
l i k
p
µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µµ
λ µ γ µ µ ξ
λξ µ µ µ
++∞ ∞ −
+
= = = =
−+ − + − + −− − −+ − + ++ − − + +− +
+ − + + + + − −
+ + − +
+ + + −
+ + −
∑∑∑∑
1 2
3 ( 1) ( 1)
2
0 0 0 0
2 2( ) 2 [2( ) 2] ( )
1 2 2 1 2 1
( 1) (
) [ ] ( 1)
[ [( ) ] (2 ) [( ) ] ( )
[
j N
g j l k n g j l k n l
j l k i
l i j k i N j k i N j l i
g j k l n g j k
j l
s R R
l
p s s
R R
λ µ ξ
λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ
+∞ ∞ +
− − + ++ − − − + ++ − +
= = = =
+ + + − − − + + − − − −+
− + + −− − − + + −
+
+ + + − − −
+ − + + + + + + + + +
−
∑∑∑∑
1
1) 3 2( ) 2 1
1 2 2 1
0
(2 1) 3
1 2 1 2 1 2 2
2( ) (
1 2 2
] [ [( ) ]( ) [ (2 )
[( ) ] ] [2( )( ) ( )
1
[( ) ]] ( 1) ( )
n
l n n i i n
i
i n
l h j k r k h
p s
s p
j l m j l
p s
l j h
λξ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ
µ µ µ γ λ ξ
−
+ − − − + +
=
− + +
+ − + + − +
+ + − + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + +
+ − − + +
∑
[
1
)
0 0 0 0 0
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3
1 2 2
2( 2) 2 1 (2 1) 2( 1) 2 2
1 2 1 2
[{ } { }] ( ) [ [( ) ]]
(2 ) [( ) ] (2 ) [(
j l
l
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N i N i i N
R R R R s p
s s
γ λξ ξ λ µ µ µ
γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞
−
= = = = =
− + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + −
− + − − − − − − + − +
− − − + + + −
+ + + + + + + + + +
∑∑∑∑∑
1 2
(2 2)
0 0
) ] ]
N N
i N
i i
ν
+ −
− − +
= =
+
∑ ∑
(39)
10. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
40
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
2( 1) ( 1 1) ( 1)
1 2 1 2 1 2
(
,0,1
1 1 1
( 1)
1
[ ( ) ] 2 ( )
{
( )
j l h m
i l h p
j l k h r p i
j k l m j k r l j k p m i l k p
m
j m j l j l r h m
j l h r p i
s
R
P s
λ µ µ µ µ γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ + +
= = = = = = =
+ + − + + + − + − + + + − − + + +
−
−
+ + + + + −
−
+ + + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 1) 2 ( 1 2) ( 1) ( 1)
2 4
1 2 1 2 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
2 1 2
2
} { }
(2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }]
[ ] [ ( ) (1 )
{
g j h i p g j h i p g j h i l n g j h i l n
i k
g j h i p l n g j h i p l n
R R R
p p
R R p p
γ
λ γ λ µ µ µ µ µ λ λ ξ λ ξ µ λ µ
λξ λ ξ µ µ µ λ
µ
+ + + + + − − + + + + + − + + + − − − − + + + − − +
+ + −
− + + + + − − − + + + + − +
− + −
− + + − + + + + −
− + + + + − +
1 1
2 2
0 0 0 0
1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)
2 1 2
3 ( 1)
1
1 1
( )( ) (1 ) }] ( 1)
( ) [ ]
( ) [
j i m
i l
j l k i
m i l k m j i m i l g j l n g j l n
g j l k n
j i m
p
l i
j i k
s R R
k
s R R
λ ξ λ ξ µ λ µ
λ µ γ µ µ ξ
ξ λ µ ξ
+ +∞ ∞ −
+
= = = =
− + − + − + − − − − + − + + + − − + + − +
− − + + + − −
+ + −
+ + + − − −
+ +
+ + + −
+ + + + −
∑ ∑ ∑∑
1 1
( 1)
0 0 0 0
( 1) 2
1 2
2( ) 1 [2( ) 1] ( )
1 2 1
( 1) (
1
] ( 1)
1
[ [( ) ]
(2 ) [( ) ] ( )
[
j N
g j l k n i l
j l k i
j k i l i
j k i N j k i N j l k
g j k l n g j k
j
l
N N j
p
i j
s s
R R
γ λ µ µ
λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ
+∞ ∞ −
− + + + + − +
= = = =
− + + + +
+ + − + − + + − + − − +
− + + − − − − + +
+
− −
− +
+
+ + + + + + + + +
−
∑∑∑∑
1
1) 1 2( ) 2 1
1 2
0
(2 1)
1 2 1 2 1 2
1
2( )
2 1 2
0 0 0 0 0
( )
] [ [( ) ] (2 )
[( ) ] ] [2( )( )
{(1 )( ) }] ( 1)
( )
n
l n n i i i n
i
i n
j l
l h j k
j l k h r
k h l
p
s p
j l l
p
l h
s
λ ξ γ µ µ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µ µ
λ ξ µ µ µ γ
λ ξ
−
− + + − − + +
=
− + +
+∞ ∞ ∞
+ − +
= = = = =
− + −
+ +
+ + + + + + + + + + +
+
− + + + −
+ +
∑
∑∑∑∑∑
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
2
2 2 1 2
2
2( 1) 2 2 (2 2)
1 1 2
0
2( 3) 2 3
[{ } { }]
( ) [ (1 )( ) ( )
( )] [ (2 ) [( ) ] ]
(2 ) [(
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
N
i i N i N
i
i i N
R R R R
s p
p s
s
γ
λξ λ µ ξ ξλ λ ξ µ µ µ
λ λ ξ µ γ λ λ µ µ ξ ν
γ λ λ µ
− + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + +
−
−
− + − + − − +
=
− + − +
− − −
+ + + + − + + + +
+ + + + + + + −
+ +
∑
3
(2 3)
1 2 2 1 1 2
0
1
1 2 1 2 1
2
2 (2 3) 2 2 (2 2)
2 1 2
0
) ] [( )
{ (1 ) [( )( ) ]}][( )
4( ) ][ (2 ) [( ) ]
N
i N
i
n
n i i n i n
i
p p s
s s
µ ξ ν µ µ µ µ
λ µ µ µ λ ξ λ ξ µ λ λ µ ξ
λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν
−
− − +
=
−
−
− − + − + − − +
=
+ + + + − +
− + + + + − + + + +
+ + + + + + + +
∑
∑
(40)
11. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
41
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1)
1 2
,0
1
[2( ) ] ( 1)
1
2 ( ) { }
( )
j l m
i l h
j l k h r i
j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n
m
m j j l j l r
j l h r
m
s R R
i
P s
µ µ µµ
γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− + − + + − − − − + + − + + + − − − − + + + − + +
−
+ + + +
+ + −
−
+ + + −
=
∑∑∑∑∑∑
4 ( ) ( )
1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2
1 1
0 0 0 0 0 0
2 ( ) { } [( )( ) ( )]
( ) { } [( )( ) ]
( 1)
g j h i l n g j h i l n
k r l g j h i l n g j h i l n
j l m
i l h
j l k h r i
R R
s R R
m j
j
λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ
λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
− − + + + − − − + + + − +
− + − − + + + − − − + + + − +
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +
+
−
∑∑∑∑∑∑ ( 6)
1 2
( ) ( 1) ( 1)
1 2 1
1 1
2 1 2
0 0 0 0
1
( )
2 ( ) [{ }] [ ( )
( ) ] ( 1)
i k l l h
m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n
j N
l
j l k i
j l l j l r m
l h r i
s R R
j
γ µ µ
λ µ µ ξ ξ λ ξ µ
λ ξ µ µµ
− + + + +
− − + − − + + − − − + − + + + − − + − + + + − + +
+∞ ∞ −
= = = =
+ + + −
+
+ + + − − + +
+ + + −∑∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1
1 2
[2( ) 1]
1 2 1 2 1 2 2
2( )
1 1 2
0 0 0
1
( ) (2 )
[( ) ] [3{( )( )} ( )
1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
j k i l i j k i N
j k i N
l
l h j k
k h r
j k
l k
s
j j k
p p
l k
γ µ µ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ
ξλ µ λ ξ µµ γ
− + + + + + + − +
− + + − +
∞ ∞
+ − +
= = =
+ +
+
+ + + + + + + + + + + + +
+ +
+ − + − + −
∑∑∑
1
0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
3
1 1 2 1 2 2 1 1
2( 1) 2 2 (2
1 2
( ) [{ } { }]
[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
[{ (2 ) [( ) ]
j
j l
k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N i N
s R R R R
p p s
s
λ ξ γ
ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ
γ λ λ µ µ ξ ν
+∞
= =
− + − − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + +
−
− + − + − −
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
+ + + + +
∑∑
2 1
2) 2 2 1
0 0
(2 1)
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 3
1 1 2 2 1 2
2
2( 1) (2 2) (
1 2
0
{ (2 )
[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
[ (2 ) [( ) ]
N N
i i N
i i
i N
n
n i i n
i
s p p
s s
s
γ λ
λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ
µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ
γ λ λ µ µ ξ ν
− −
+ − − +
= =
− − +
− −
−
− − − − + −
=
−
+ + + + + + − + − + − −
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + +
∑ ∑
∑ 2 2)
]i n− +
(41)
12. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
42
1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0
2
1
, 1 2 2 1 1 2
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( ) }]( )
1
j i j ll m h
i l p q
j l k h r i q p
n
m i l p m
m n
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
pP s
h k p q
µ µ γ
γ
λ µ µ λ µ µ µµ
λ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = =
−
− − + −
− + + +
+ −
+ + + + +
+ − +=
∑∑∑∑∑∑∑∑
1
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2
( ) [{ }
{ } { }]]
i l q p
m j i q m i l p q g j h i p g j h i p
g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r
s R R
R R R R
γ µ µ ξ γ
γ
− − +
− + − − + − − − + + − + + + + + − + + + + + −
− + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + +
+ + + − −
− + −
+
2
1 ( 1) ( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1 (2 1 1)
1 0 0
(
1 2
{ } [2( ){ ( ) }]{ }[
1 2 1
( 1)
( )
j i l
n n n n
j l k h
h m
i l h m i l p m j i l p
p i
m i
n
R R p R R
m m j j i l j i k
i j l h k
s
ν γ µ µ λ µ µ µµ
λ γ
µ µ ξ
+ +∞ ∞
− + − + −
= = = =
−
+ + − − + − + − − − −
= =
− − −
− − + − + −
− + + + + + +
−
+ + +
∑∑∑∑
∑ ∑
1) ( ) ( 1 1) 1 ( 1 2)
1 2
2( 1) 2 2( ) 2
2 1 2
0 0 0 0
[2( ) 2] 2
1 2 1
( ) [ ]]
( 1) [ { ( ) }] {(2 )
[( ) ] } [ {( )
l p m i k l g j h i p g j h i p
j N
l i j k i l i j k i N
j l k i
j k i N
s R R
j l
p
l
s
λ ξ γ
γ λ µ µ µ λ
λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ
+ − − + − − + + + + + − − + + + + +
+∞ ∞ +
+ − + + + + + + − −
= = = =
− + + − −
+ + −
+
− − + −
+ + + + + − + + +
∑∑∑∑
1 2 2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2
0
( )
{ ( ) }}]( ) [{ (2 )
[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 )
[(
N
i i N
i
n
i N n i i n
i
n
i n n i i n
i
p s
s s
s
s
λµµ λ ξ µ
λ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν γ λ
−
− − + − +
=
−
− − + − − − − − +
=
−
− − + − − − − +
=
+ + +
+ − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + −
+
∑
∑
∑
(2 2)
1 2
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 2( ) (
2 1 1
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
i n
l h j k r
p
m j j l l
p s
j l h
λ µ µ ξ ν
ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ
µ µ µ γ λ ξ
− − +
+ − + + −
+ + + +
+ + + + + − + − + +
+ +
− + − + +
+
1
)
0 0 0 0 0
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
0
1 2(
1
[{ } { }]
( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [
j l
k l h
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
N
i i N i N
i
n i
R R R R
s s p
s
γ ξλ
λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν µ µ λ
λ µ ξ γ
+∞ ∞ ∞
− +
= = = = =
− + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + + −
−
− − + − + − − +
=
− − −
− − − +
+ + + + + + + + + +
+ + +
∑∑∑∑∑
∑
1
) (2 1) (2 1)
1 2
0
(2 ) [( ) ] ]]
n
i n i n
i
sλ λ µ µ ξ ν
−
− + − − +
=
+ + + + +
∑
(42)
13. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
43
1 1
1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1) 2( ) ( ) (
1 2
,00
1
[( )( )] [[2( ) ] ( 1)
1
2 ( ) {
( )
j l m
i l h
j l k h r i
j j k r l m i l k h g j h i l n
m
m j j l j l r
s s
j l h r
m
s R
i
P s
ξ λ β λ β ξ µ µ µµ
γ µ µ ξ
+∞ ∞ ∞ −
− ++
= = = = = =
− + − + + − − −−+ + − + + +−− −
−
+ + + +
+ + + + − + + −
−
+ + +
=
∑∑∑∑∑∑
1) ( 1)
4 ( ) ( )
1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2
1
0 0 0
}
2 ( ) { } [( )( ) ( )]
( ) { } [( )( ) ]
( 1)
g j h i l n
g j h i l n g j h i l n
k r l g j h i l n g j h i l n
l m
i l h
k h r i
R
R R
s R R
λµ µ γ λ ξ λ ξ µ λµ µ
λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
− + + +−+ +
− − + + +−− − + + +−+
− + − − + + +−− − + + +−+
∞ −
++
= = =
−
− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +
−∑∑∑
1
( 6)
1 2
0 0 0
( ) ( 1) ( 1)
1 2 1
2 1 2
1
( )
2 ( ) [{ }] [ ( )
( ) ] ( 1)
j
i k l l h
j l
m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n
l
i
m j j l l j l r m
j l h r i
s R R
γ µ µ
λ µ µ ξ ξλ ξ µ
λ ξ µ µµ
+∞ ∞
− + ++ +
= = =
−−+ −−+ + − −−+ − + + +−− + − + + +−+ +
=
+ + + + −
+
+ + + − − + +
+ + + −
∑∑∑
1 1
2( 1) 2( ) 1
1 2
0 0 0 0
[2( ) 1]
1 2 1 2 1 2 2
1 1 2
1
( ) (2 )
[( ) ] [3{( )( )} ( )
1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
j N
j k i l i j k i N
j l k
j k i N
l h
j j k
l k
s
j j k
p p
l k
γ µ µ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ
ξλ µ λ ξ µµ
+∞ ∞ −
− + ++ + + + − +
= = =
− + + − +
+
+ +
+
+ + + + + + + + + + + + +
+ +
+ − + − + −
∑∑∑∑
1
2( )
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
3
1 1 2 1 2 2 1 1
2( 1) 2 2
( ) [{ } { }]
[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
[{ (2 )
j l
j k
j l k h r
k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N
s R R R R
p p s
γ
λ ξ γ
ξλξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ
γ λ
+∞ ∞ ∞
− +
= = = = =
− + − − + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ +
−
− + − +
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
∑∑∑∑∑
2 1
(2 2) 2 2 1
1 2
0 0
(2 1)
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 3
1 1 2 2 1 2
2( 1) (2 2)
0
[( ) ] { (2 )
[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
[ (2 )
N N
i N i i N
i i
i N
n i i n
i
s
s p p
s s
λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ
µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ
γ λ
− −
− − + − − +
= =
− − +
− −
− −− − +
=
+ + + + + −
+ + + + + + − + − + − −
+ + + + + + + + + + + + +
∑ ∑
2
(2 2)
1 2[( ) ] ]]
n
i n
s λ µ µ ξ ν
−
− − +
+ + + + +
∑
14. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
44
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2 2 1
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( )
1
( )
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
s
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ µ µ µ
ξ
λ β ξ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
− − +
− + + +
+ −
+ + + + +
+ − +
−
+ + −
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
1 2
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1 ( 1)
}]
( ) [{ }
{ } { }]]
{
m i l q p
m j i q m i l p q g j h i p g j h i p
g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r
n n
s R R
R R R R
R
µ
γ µ µ ξ γ
γ ν γ
−− − +
− + − − + − − − + + − + + + + + − + + + + + −
− + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + + + + − + + + + + + + +
− +
+ + + − −
− + −
+ −
2
( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1 (2 1 1)
1 0 0 0
( 1)
1 2
} [2( ){ ( ) }]{ }[
1 2 1
( 1)
( ) (
j i N
n n n
j l k n
h l m
i l h m i l p m j i l p
p h i
m i l p
R p R R
m m j j i l j i k
i j l h k
s s
µ µ λ µ µ µµ
λ γ
µ µ ξ
+ +∞ ∞
− + −
= = = =
−
+ + −− + − + −− − −
= = =
− − − +
− + − + −
− + + + + + +
−
+ + + +
∑∑∑∑
∑∑∑
( ) ( 1 1) 1 ( 1 2)
1 2
2( 1) 2 2( ) 2
2 1 2
0 0 0 0
[2( ) 2] 2
1 2 1 1 2
) [ ]]
( 1) [ { ( ) }] {(2 )
[( ) ] } [ {( ) (
m i k l g j h i p g j h i p
j N
l i j k i l i j k i N
j l k i
j k i N
R R
j l
p
l
s
λ ξ γ
γ λ µ µ µ λ
λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ λµµ λ
− − + − − + + + + + − − + + + + +
+∞ ∞ +
+ − + + + + + + − −
= = = =
− + + − −
+ −
+
− − + −
+ + + + + − + + + +
∑∑∑∑
2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2 1 2
0
)
{ ( ) }}]( ) [{ (2 )
[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 ) [(
N
i i N
i
n
i N n i i n
i
n
i n n i i n
i
p s
s s
s s
ξ µ
λ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ
−
− − + − +
=
−
− − + − − − − − +
=
−
− − + − −− − +
=
+ +
+ − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + − + + + +
∑
∑
∑ (2 2)
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 2( ) ( )
2 1 1
0 0 0 0 0 0
( ) (
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
[{
i n
j l N
l h j k r k l h
j l k h r n
g j h l n g
p
m j j l l
p s
j l h
R R
ξ ν
ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µµ
µ µ µ γ λ ξ
− − +
+∞ ∞ ∞
+ − + + − − +
= = = = = =
− + + − − −
+
+ + + + + + − + − + +
+ +
− + − + +
−
∑∑∑∑∑∑
) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
0
1
1 2( ) (2 1) (2 1)
1 1 2
0
} { }]
( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [ (2 ) [( ) ] ]]
j h l n g j h l n g j h l n
N
i i N i N
i
n
n i i n i n
i
R R
s s p
s s
γ ξλ
λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν µ µ λ
λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν
+ + − + − − + + − − + − + + − + + −
−
− − + − + − − +
=
−
− − − − + − − +
=
− − +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + +
∑
∑
(43)
15. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
45
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2
,00
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){
1
( )
( )
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p
m
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
Q s
s
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ
ξ
λ β ξ
++ −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
−−+
−
− + + +
+ −
+ + + + +
+
=
+ + −
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
2 1 1 2
(2 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) 4
1 2
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1
( ) }]
( ) [{ }
{ } { }]]
m i l q p
m j i q m i l p q g j h i p g j h i p
g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r
n
s R R
R R R R
µ µ µµ
γ µ µ ξ γ
γ ν
−− − +
− + −− + − −−+ + − + + ++ + − + + ++ + −
− + + ++ + + − + + ++ + + + − + + ++ + + + + − + + ++ + + + +
−
− +
+ + + − −
− + −
+
2
( 1) ( 1)
1 2 2 1 1 2
0 0 0 0
1
1
1 0 0 0
(2 1 1) (
1 2
{ } [2( ){ ( ) }]{ }[
1 2 1
( 1)
( )
j i N
n n n n
j l k n
h l m
i l h m i l p
p h i
m j i l p m i
R R p R R
m m j j i l j i k
i j l h k
s
γ µ µ λ µ µ µµ
λ
γ µ µ ξ
++∞ ∞
+ − + −
= = = =
−
+ + −−+
= = =
− + −−− − − −
− − + − + −
− + + + + + +
−
+ + +
∑∑∑∑
∑∑∑
1) ( ) ( 1 1)
1 2
1 ( 1 2) 2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
2( ) 2 [2( ) 2] 2
1 2 1
( ) [
]] ( 1) [ { ( ) }]
{(2 ) [( ) ] } [ {( )
l p m i k l g j h i p
j N
g j h i p l i j k i l i
j l k i
j k i N j k i N
s R
j l
R p
l
s
λ ξ
γ γ λ µ µ µ
λ λ µ µ ξ ν ξλ λ ξ µ
−+ − −+ − − + + ++ +
+∞ ∞ +
− − + + ++ + + − + ++ +
= = = =
+ + − − − + + − −
+ +
+
− − − + −
+ + + + + − + +
∑∑∑∑
1 2
2
2 2 2( 1) 2 3
2 2 1 2 1
0
1
(2 3) 1 2 2( ) (2 1)
1 2 2
0
2
(2 1) 2( 1) (2 2)
1 2
0
( ) { ( ) }}]( ) [{ (2 )
[( ) ] ( ) [ (2 )
[( ) ] (2 ) [(
N
i i N
i
n
i N n i i n
i
n
i n n i i n
i
p s
s s
s s
λµµ
λ ξ µ λ µ µ µ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν λ λ µ ξ γ λ
λ µ µ ξ ν γ λ
−
− − + − +
=
−
− − + − − − − − +
=
−
− − + − −− − +
=
+
+ + + + − + + +
+ + + + + − + + +
+ + + + + −
∑
∑
∑ (2 2)
1 2
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 2( ) ( )
2 1 1
0 0 0 0 0 0
(
) ] ]
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( ) }] ( 1) ( )
[{
i n
j l N
l h j k r k l h
j l k h r n
g j h
p
m j j l l
p s
j l h
R
λ µ µ ξ ν
ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µµ
µ µ µ γ λ ξ
− − +
+∞ ∞ ∞
+ − + + − −+
= = = = = =
− + + −
+ + + + +
+ + + + + + − + − + +
+ +
− + − + +
∑∑∑∑∑∑
) ( ) 1 ( 1) ( 1) 1
1
1 2 1 2 2 (2 2)
2 1 2 2 1
0
1
1 2( ) (2 1) (2
1 1 2
0
} { }]
( ) [ (2 ) [( ) ] [( ) ]
( ) [ (2 ) [( ) ]
l n g j h l n g j h l n g j h l n
N
i i N i N
i
n
n i i n i n
i
R R R
s s p
s s
γ ξλ
λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν µ µ λ
λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν
− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + −
−
− − + − + − − +
=
−
− − − − + − − +
=
− − − +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + +
∑
∑ 1)
]]
16. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
46
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1
1 2
1
1 1
[2( ) ] ( 1)
2 ( ) {
( )
j l m
i l h
j l k h r i
j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n
m j j l j l r m
j l h r i
s R R
s
µ µ µµ
γ µ µ ξ
ξ λ β ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− + − + + − − − − + + − + + + − − − − + + + − + +
−
+ + + + −
+ + −
+ + + −
− + + −
∑∑∑∑∑∑
)
4 ( ) ( )
1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2
1 1
0 0 0 0 0 0
}
2 ( ) { } [( )( ) ( )]
( ) { } [( )( ) ]
( 1)
g j h i l n g j h i l n
k r l g j h i l n g j h i l n
j l m
i l h
j l k h r i
R R
s R R
λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ
λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
− − + + + − − − + + + − +
− + − − + + + − − − + + + − +
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− + − + + + + + +
+ + + − − + + + + +
−
∑∑∑∑∑∑ ( 6)
1 2
( ) ( 1) ( 1)
1 2 1
1 1
2 1 2
0 0 0
1
( )
2 ( ) [{ }] [ ( )
( ) ] ( 1)
i k l l h
m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n
j N
l
j l k i
m j j l l j l r m
j l h r i
s R R
γ µ µ
λ µ µ ξ ξ λ ξ µ
λ ξ µ µµ
− + + + +
− − + − − + + − − − + − + + + − − + − + + + − + +
+ ∞ −
= = = =
+ + + + −
+
+ + + − − + +
+ + + −∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1
1 2
0
[2( ) 1]
1 2 1 2 1 2 2
2( )
1 1 2
0 0
1
( ) (2 )
[( ) ] [3{( )( )} ( )
1
(1 ) (1 )( ) ] ( 1)
j k i l i j k i N
j k i N
l
l h j k
k h r
j j k
l k
s
j j k
p p
l k
γ µ µ λ
λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λµµ λ ξ µ
ξλ µ λ ξ µµ γ
∞
− + + + + + + − +
− + + − +
∞
+ − +
= =
+ +
+
+ + + + + + + + + + + + +
+ +
+ − + − + −
∑
∑∑
1
0 0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
3
1 1 2 1 2 2 1 1
2( 1) 2 2 (
1 2
( ) [{ } { }]
[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )
[{ (2 ) [( ) ]
j
j l
k h l g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
i i N
s R R R R
p p s
s
λ ξ γ
ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ
γ λ λ µ µ ξ ν
+∞ ∞
= = =
− + − − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + +
−
− + − + −
+ + − − − +
− + + + + − + + + + +
+ + + + +
∑∑∑
2 1
2 2) 2 2 1
0 0
(2 1)
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 3
1 1 2 2 1 2
2
2( 1) (2 2)
1 2
0
{ (2 )
[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )
( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }
[ (2 ) [( )
N N
i N i i N
i i
i N
n
n i i n
i
s p p
s s
s
γ λ
λ µ µ ξ ν λ µ µ µ µ µ µ
µ λ µ ξ µ λ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ
γ λ λ µ µ ξ
− −
− + − − +
= =
− − +
− −
−
− − − − +
=
−
+ + + + + + − + − + − −
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + +
∑ ∑
∑ (2 2)
] ]i n
ν − − +
(44)
Where
2
2 2
12 2
1 1 1
( )
, ( ) 4 ( ) , 2[ ( 1) ]R s g l N Nk and
µ µ
α γ ν µ µ λ ξ λ µ µ γ
λ
−
+
= = + + + + − + = + + =
We are now in a position to complete the solution for the joint distribution of X (t) and Y (t).
Taking the Inverse Laplace transform of (38) to (44), using the tables [2, 4, 6], we obtain
17. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
47
[
1
1 ( 1 2)
0 0 0 0 0 1 0 0
2( 1) 1
1 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1)
0,
1
( 1)
1
{2( ) ( ) }[[ { }
( )
j j ll h
l h p q j l h p q
j l k h r p q
j k h l
g j h l n g j h l n
n
j l j l r h j l
l h r p q
p I I
P t
λ
γ µ µ λ µ µ µ µ γ
+ −∞ ∞ ∞
+ + + − + − + + +
= = = = = = =
− + + − + −
+ + − − − + + − + +
+ + + −
−
+ + − + −
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
1 2
( 1 1)
( )2 2( 1)
( 1) ( 1) 1 2
0
( )( )( )
( 1) ( ) ( 2) 1 2
( )
{ }] ( )
( 1 1)!
[ { }](2 ( ) ).
t j k l h p
t l h k h l
g j h l n g j h l n
t wp w
g j h l k g j h l k g j h l k
t w
I I e
j k l h p
I I I w e e d
λ µ µ ξ
λ µ µ ξλ ξ
γ µ µ γ
γ λ µ µ
+ − + − −
− + + +− + − + + +
+ + − − + + + − + +
− + + + −− +
+ + + + + + + + + + + + + +
−
− − + +
+ − + − −
− − +
∫
2 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
1
( 1) ( 2) 2( )
( 1)
0 0 0 0 0
1
( 1) (
[ { ( ) ( )( )( ) (1 ) }]
( 1) 2 [[{
} {
j l
l h j j k h l j k h l
g j h l n
j l k h r
g j h l n g
w
p p p
j l l j l r
I
l h r
I I
λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ λµ
λ γ
γ
+∞ ∞ ∞
+ − + − + + − + − + + −
+ + − − −
= = = = =
−
+ + − + +
+
− + + + + + + − − + −
+ + +
−
− −
∑∑∑∑∑
1 2
1 2
1
( )
) ( ) ( )
0
( )( )1 ( )
( ) ( 1) ( 1) 1 2
1 2
( )
}] [{
( 1)!
} { }](2 ( ) ). ]
( )[(
t k l
t
j h l n g j h l n g j h l n
t ww
g j h l n g j h l n g j h l n
t w
I e I
k l
I I I w e e dw
λ µ µ ξ
λ µ µ ξλ ξ
γ λ µ µ
ξ µ µ λ ξ
− −
− + + +
+ + − − + + − + + + − −
− + + + −− − +
+ + − + + + − − + + + − + −
−
− + −
− −
− − +
+ + +
∫
1
1 2
2 2
2( 1)
1 2 1 2 1 2
00
1
( )2 1
(2 2) (2 1) 1 2
0
( )( ) 2 1
1 2
( )
)( ) {2( ) ( )}] [{
2!
(2 2) } { (2 1) }](2 ( ) ) . ]
] [ {( )( )( )}
t N
i
i
N
wi
i N i N
i
t w
t w
i N I i N I w w e
e dw
λ µ ξ
λ µ µ ξ
µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ γ
γ λ µ µ
γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ
−
− +
=
−
− + +− −
− + − +
=
− + + + − − −
−
+ + + + + + +
− + − − + +
+ − + + + + +
∑∫
∑
1 2
2
1 2
2 1
2( 1) 2( )
2 1 (2 2)
0 0
12 2
( )2( 1) 1 2( 1)
(2 1) (2 2)
0 0 0 0
( )
(1 ) ( )][{ (2 2) } 3{ (2 1)
} { (2 2) } [ ( 1)
n n
n i n i
i n
i i
jN N
ti l i j k i
i n i N
i j l k i
p
p i n I i n
I i N I t e λ µ µ ξ
λ µ λ ξ µ
µ λ λ ξ µ γ γ
γ γ
− −
− − −
− +
= =
+− ∞ +
− + + +− + − + − + + +
− + − +
= = = = =
− + +
− − + + − + − − +
+ − + + −
∑ ∑
∑ ∑∑∑
1 2
0
2
( 2) ( 2)
0 0 0
1
( )(2 1) 2 1
( ) ( 3) (2 1)
0
2 2 1
[{ }] ( 1)
[{ }] (2 1) ]
j
l
g j l i N g j l i N
j l k
N
tj l i
g j i g j i N
i
j l N j j k
I I
l i l k
I I i N I t e λ µ µ ξ
γ γ
∞
+∞ ∞
+ + + − + + + + − −
= = =
−
− + + +− + − − −
+ + + + − +
=
+ + + + +
− + −
− − − +
∑
∑∑∑
∑
(45)
18. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
48
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
( 1 1)
2 2( 1) ( 1 2)
1 2 1 2
,1,0
1 1 1
( 1)
1
( )
[ ( ) ] 2
(
( )
j l h m
i l h p
j l k h r p i
m i l k p
j k l m j k l j k p
m
m m j j l j l r h
i j l h r p
t w
p
m i l k p
P t
λ µ µ µµ γ
+∞ ∞ ∞ −
+ + +
= = = = = = =
− + + + −
+ + − + + − + − + + +
− + + + + +
−
−
+ +
− + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
( 1 1)
0
2 2 6
( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2
1 2 2 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2
(
{
1 1)!
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] (2 ( ) )
t
g j h i p
j i k
g j h i p g j h i l n g j h i l n
g j h i p l n g j h i p l n
I
I I I p
p I I w
e µ µ
γ λ γ λ µ µ λ
µµ µ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ µ
+ + + + +
− + + + −
+ + + + + + + + − − + + + + − − −
+ + + + − − + + + + − +
− +
−
− + − − + + −
+ + + + − − +
∫
)( ) 2
2 1 2 2 1 2 2
1 1
1 ( ) (2 1)
2 1 2 1
0 0 0 0
( 1)
0
[ ( ) {( ) } (1 ) {( )
1
( ) }] ( 1)
( )
[{
( 1)!
t w
j i m
i l m i l k m j i
j l k i
t m i l
dw p p p
j i l m j k
p
l i k
t w
I
m i l
ξ
λξ λ ξ µ λ µ µ µ µµ λ µ λ ξ
λ ξ µ λ µµ λ µ γ
+ −
+ +∞ ∞ −
+ − + − + − + − −
= = = =
− + −
+ + + + + − + − + +
+ + − +
+ + − −
−
− + −
∑∑∑∑
∫
2 1 2
2
2
( 1) ( 1) 1 2 1 2 2
0
1 2
( ) ( )( )
( 1) ( 1) 1 2
0 0 0 0
2
1 2 2
( )
}(2 ( ) ) [ {( ) }]
2!
[ ](2 ( ) ) ( 1)
[ [( ) ]
w
g j l n g j l n
j N
u t w l
g j l k n g j l k n
j l k i
l
w u
I w p
I I u e du e dw
j l
p
l
λ ξ µ µ µ ξ
λ µ µ λ ξ µ µ µ
λ µ µ
λ µ µ µ
+ + + − + + − +
+∞ ∞ +
− + + − + + −
+ + + − − + + + − +
= = = =
−
− + + + −
− + − −
+
+ −
∫
∑∑∑∑
1 2
1
1
( )1
[2( ) 2]
0
2
( )( )
( 1) ( 1) 1 2 1 2 2
0
1
2( )
(2
0
( )
(2( ) 2)
( 1)!
( )
[ ](2 ( ) ) [ [( ) ]
2!
[ (2 1)
t j l i
ti
j k i N
t
t w
g j k l n g j k l n
n
n i
i n
i
t w
j k i N I t e
j l i
t w
I I w e dw p
i n I
λ µ µ ξ
λ µ ξ
λ µ µ λξ µ µ µ
γ
− + −
− + + ++ −
+ + − −
− + + −
+ + − − − + + − + −
−
−
+
=
−
+ + − − +
− + −
−− + + + −
+ +
∫
∫
∑ 1 1 2( ) ( )( )1
1) 1 2 1
1
3
2 1 2 2 1 2 2
0 0 0 0 0
( 1)
2( )
(2 ( ) ). ] [2( )
1
( ) ( ) [( ) ]] ( 1)
( )
( 1)!
w t w
j l
l h
j l k h r
k h l
j k r
w w e e dw
j l
p p
l
m j l t w
j h k h l
λ ξ µ λ ξ µ µ
λ µ µ λ ξ µ
λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ µ µ µ
γ
− + + − + + + −−
+
+∞ ∞ ∞
+
= = = = =
+ − −
− + +
+ + + +
+ +
+ + + + + + + − −
+ −
+ − −
∑∑∑∑∑
1
( ) ( ) ( 1) ( 1)
0
2 1 2
( )( ) 2( 2) 2( 1)
1 2 (2 1)
0 00
1
(2 2) 1 2
[{ } { }]
( )
(2 ( ) ). [ [{ (2 1) } {
2!
(2 2) }](2 ( ) ).
t
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
t N N
t w i i
i N
i i
w
i N
I I I I
t w
w e dw i N I
i N I w w e
λ ξ
ξ
γ
λ µ µ λξ γ γ
λ µ µ
−
+ + − − + + − + + + − − + + + − + +
+ −
− + − − + − +
− −
= =
− −
− +
− − −
−
+ + − − +
− + +
∫
∑ ∑∫
1 2( )( )
] t w
e dwλ ξ µ µ− + + + −
(46)
19. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
49
1 1
1
0 0 0 0 0 1 0 0
( 1 1)
2( 1) ( 1 1)
1 2 1 2
,0,1
1 1 1
( 1)
1
( )
[ ( ) ] 2
(
( )
j l h m
i l h p
j l k h r p i
m i l k p
j k l m j k r l j k p
m
j m j l j l r h m
j l h r p i
t w
m i l k p
P t
λ µ µ µµ γ
+∞ ∞ ∞ −
+ + +
= = = = = = =
− + + + −
+ + − + + + − + − + + +
+ + + + + −
−
−
+ +
− + + +
=
∑∑∑∑∑∑∑
1 2
( 1 1)
0
2 2 4
( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2 1 2
1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2
(
{
1 1)!
} { } (2 ) [ ( ) (1 )
{( )( ) }][ ] (2 ( ) )
t
g j h i p
i k
g j h i p g j h i l n g j h i l n
g j h i p l n g j h i p l n
I
I I I p
p I I w
e µ µ ξ
γ λ γ λ µ µ µµ
µλ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ µ
+ + + + +
− + + −
+ + + + + + + + − − − + + + − − +
+ + + + − − + + + + − +
− + +
−−
+ − − + + −
+ + + + − − +
∫
)( )
2 1 2 2 2 2
( 1)1 1
1 ( ) (2 1)
2 0
0 0 0 0
( 1) (
[ ( ) (1 ) {( )( ) (1 ) }]
1 1 ( )
( 1)
( 1)!
[{
t w
m i lj i m t
i l m i l k m j i
j l k i
g j l n
dw p p p
j i m j i k t w
l i k m i l
I I
λξ λ ξ µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µ
λ µ γ
−
− + −+ +∞ ∞ −
+ − + − + − + − −
= = = =
+ + + −
+ + + + − + + + + − −
+ + − + + −
−
− + −
−
∑∑∑∑ ∫
1 1 2
2
1) 1 2 ( 1) ( 1)
0
1 1
( ) ( )( )
1 2
0 0 0 0
2( 1)
1 2
( )
}(2 ( ) ) [{ }
2!
1 1
(2 ( ) )] ( 1)
[ [( ) ]
w
g j l n g j l k n g j l k n
j N
u t w i l
j l k i
j k i
w u
w I I
j N N j
u e du e dw
l i j
p
λ ξ µ µ µ ξ
λ µ µ ξ
λ µ µ
γ λ µ µ
+ + − + + + + − − + + + + −
+∞ ∞ −
− + + − + + − +
= = = =
− + + +
−
+ + −
+ − +
+ − −
+
∫
∑∑∑∑
1 2
1
( 1)
( )1
[2( ) 1]
0
1
( )( ) 1 2( )
( 1) ( 1) 1 2 1 2
0
(1
(2 1)
( )
{(2( ) 1) }
( 1)!
[{ }(2 ( ) )] [ [( ) ]
(2 1)
j l k
t
tl i
j k i N
n
t w n i i
g j k l n g j k l n
i
i n
t w
j k i N I t e
j l k
I I w e dw p
i n I t e
λ µ µ ξ
λ ξ µ
λ µ µ λ ξ γ µ µ
− + −
− + + ++ −
+ + − +
−
− + + − − −
+ + − − − + + − + +
=
−−
+ +
−
+ + − + +
− + −
− + + +
+ +
∫
∑
1 2 )
1 2 1 2 2
( 1)1
2( )
1 2 ( ) ( )0
0 0 0 0 0
1
( 1) (
] [2( )( ) {(1 )( )
( )
}] ( 1) [{ }
( 1)!
{
t
k h lj l t
l h j k
g j h l n g j h l n
j l k h r
g j h l n g j
p p
j l l t w
I I
l h k h l
I I
λ µ µ ξ
λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ
µµ γ
γ
+ + +
+ − −+∞ ∞ ∞
+ − +
+ + − − + + − +
= = = = =
−
+ + − − + + +
+ + + + + + − + +
+ −
+ − −
+ − −
− −
∑∑∑∑∑ ∫
1 2 2
( )( )
1) 1 2 2
2 2 3
2( 1) 2( 3)
1 2 1 (2 2)0
0 0
( ) ( )(1
(2 3) 1 2
}](2 ( ) )] [ (1 )( )
( )
( ) ( )] [ (2 2) (2 3)
2!
](2 ( ) )]
t w
h l n
N Nt
i i
i N
i i
w t
i N
w e dw p
t w
p i N I i N
I w w e e
λ ξ
λ µ µ ξ λ ξ µ
λ µ µ λξ ξλ λ ξ µ
µ µ λ λ ξ µ γ γ
λ µ µ
− + −
− + +
− −
− + − +
− +
= =
− + + + − + +−
− +
+ + − + +
−
+ + + + − + − − +
+
∑ ∑∫
1 2
1 2
)
2 1 1 2 1 2
( )( ) ( )( )
1 2
0 0
2
( )(2 3) 1
(2 2) 1 2
0
[( ) { (1 )
( )
[( )( ) ]}][ 4 ]
1!
[{ (2 2) }(2 ( ) ) ]
w
t t
t w t w
n
wn i
i n
i
dw p
t w
p e e
i n I w w e dw
λ ξ µ λ ξ µ
λ µ µ ξ
µ µ µµ λ µµ
µ λ ξ λ ξ µ λ
γ λ µ µ
−
− + + − − + + −
−
− + + +− − + −
− +
=
+ − + −
−
+ + + + − +
− + +
∫ ∫
∑
(47)
20. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
50
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
( 1) 2( )
( 1) (
0
,0
1
[2( ) ] ( 1)
1 ( )
2 [{
( 1)!
( )
j l m
i l h
j l k h r i
t m i l k h
j j k r l
g j h i l n g j h i
m
m j j l j l r
j l h r
m t w
I I
i m i l k h
P t
µ µ µµ
γ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− − + + −
− + − + + −
+ + + − − − + + +
+ + + +
+ + −
− −
− − − + + −
=
∑∑∑∑∑∑
∫
1 1 2
1)
4
1 2 ( ) ( ) 1 2
( 1)
1 1 2 ( ) ( ) 1 2
0
( ) ( )( )
}
2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )(
( )
) ( )][ { }(2 ( ) )]
( 1)!
[(
l n
g j h i l n g j h i l n
w k r l
g j h i l n g j h i l n
u t w
I I w
w u
I I u
k r l
e e dwλ ξ µ µ µ ξ
λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ
µ λ µ µ λ µ µ
− + +
−
+ + + − − + + + − +
+ − −
+ + + − − + + + − +
− + + − + + −
− + − + + + + +
−
+ + − +
+ − −
−
∫
1 2 1 2
1 1
( 6)
1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
(
0
)( ) ]
1
( 1) ( )
( )
2 [{
( 1)!
j l m
i l h i k l l h
j l k h r i
t m i l k
m i l h m i l h r
g j h i l
m j j l l j l r m
j l h r i
t w
I
m i l k
λ ξ µ λ ξ µ µµ
γ µ µ
λ
+∞ ∞ ∞ −
+ + − + + + +
= = = = = =
− − + −
− − + − − + +
+ + + −
+ + + + +
+ + + + −
− +
−
− − + −
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1 2
1) ( 1) 1 2
1 1
( )( )
1 2 1 2
0 0 0 0
( )2( 1) 1
1 2 [2( ) 1]
}(2 ( ) )]
1
[ ( )( ) ] ( 1)
( ) (2( ) 1) [3{
n g j h i l n
j N
t w l
j l k i
tj k i l i
j k i N
I w
j j k
e dw
l k
j k i N I t e
µ µ ξ
λ µ µ ξ
λ µ µ
ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
γ µ µ
− + + + + − + +
+∞ ∞ −
− + + −
= = = =
− + + +− + + + + −
+ + − +
− +
+ +
− + + + + + −
+ + + − + +
∑∑∑∑
1
2 1 2 2 1 1 2
( 1)1
2( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0
1
( 1) (
( )
( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]
1 ( )
( 1) [{ }
( 1)!
{
t k h lj l
l h j k
g j h l n g j h l n
j l k h r
g j h l n g j
p p
j j k t w
I I
l k k h l
I I
λ ξ µ
λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ
γ
γ
+ − −+∞ ∞ ∞
+ − +
+ + − − + + − +
= = = = =
−
+ + − − + + +
+ +
+ + + + + + − + − +
+ + −
− −
+ − −
− −
∑∑∑∑∑ ∫
1 1 2
( )
1) 1 2 1
2 2
2( 1)
1 2 1 2 2 1 (2 2)
00
( ) ( )( )2 1
(2 1) 1 2
}](2 ( ) ) [ (1 )( )
( )
( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }
2!
{ (2 1) }](2 ( ) )
w
h l n
t N
i
i N
i
w t wi
i N
we dw p
t w
p i N I
i N I w w e e
λ ξ
λ µ ξ λ µ µ ξ
λ µ µ ξ λξ λ ξ µ
µ µ µµ λ µ λ ξ µ γ
γ λ µ µ
− +
− + +
−
− +
− +
=
− + + − + + + −− −
− +
+ + − + +
−
+ + − + + − +
− − + +
∑∫
1 2
1
0
2 2
2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
( )( ) ( )( ) 2( 1)
(2 2)
00 0
[ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
[{3 4 } ][ (2 2) ]
1! 2!
N
i
t t n
t w t w n i
i n
i
dw
p p
t w t w
e e dw i n Iλ ξ µ λ ξ µ
λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ
γ
−
=
−
− + + − − + + − − − −
− +
=
+
− + − + − − + + + + + +
− −
+ − +
∑
∑∫ ∫
(48)
21. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
51
1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0
1
1 2 2 1 1 2
2
,
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( ) }]
1
( )
j i j ll m h
i l p q
j l k h r i q p
m i l p m i
n
m n
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
P t
µ µ γ
λ µ µ λ µ µ µ µ
γ
λ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = =
− − + −
− + + +
+ −
+ + + + +
+ − +
=
∑ ∑ ∑∑∑∑∑ ∑
1
1
( 1 1)
(2 1) 4
( 1 1) ( 1 2)
0
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
(
2 1
( )
[{ }
( 1 1)!
{ } { }
](2 ( ) )]
l q p
t m i l p q
m j i q
g j h i p g j h i p
g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r
t w
I I
m i l p q
I I I I
w e µ
γ γ
λ µ µ
− − +
− − + + −
− + − − + −
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
−
−
− −
− − + + −
− + −
+
∫
2 )( )
2 1
1
0 0 0 0 1 0 0
( 1 1)
(2 2 1)
1 2 1
[ ( 1)
( )
(
t w
j i l h m
i l h m i l p
j l k h p i
m i l p
m j i l n
dw
m m j j i l j i k
i j l h k
t w
m i l p
µ ξ
λ
γ
+ + −
+ +∞ ∞ −
+ + − − +
= = = = = =
− − + −
− + − − − −
− + + + + + +
−
−
− − +
+
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
( 1)
0 0
1
( 1 ) ( 1 2)
( 1 1) ( 1 3) 1 2 2
( )
[ {( 1 )
1 1)! ( 1)!
( 1 2) } {( 1 1)
( 1 3) }] [2( ){ (
t w m i l k
g j h i p n g j h i p n
g j h i p n g j h i p n
w u
g j h i p n
m i l k
I g j h i p n I g j h i p n
I g j h i p n I p
γ
γ
µ µ λ µ
− − + −
−
+ + + + − + + + + + +
+ + + + − + + + + + + +
−
+ + + + −
− − − + −
− + + + + + + − + + + + − +
− + + + + + + − + −
∫ ∫
1 2
1
1 2 ( 1 1)
1
( 1 1) ( 1 2)
( )( )1 ( )( )
( 1 2) 2 1
)
}][{( 1 1) ( 1 1)
} {( 1 2)
( 1 2) }](2 ( ) ) ]
g j h i p n
g j h i p n g j h i p n
t ww u
g j h i p n
g j h i p n I g j h i p n
I g j h i p n I
g j h i p n I u e du e dµ µ ξλ ξ
µ
µ µ
γ
λ µ µ
+ + + + − +
−
+ + + + + + + + + + + +
− + + −− − + −
+ + + + − +
+ + + + + − + − + + + + + +
− + + + + + + −
+ + + + − + +
1 2
1 2
2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2 2
[2( ) 2] 1 1 2 2 2 1
2( 1)
2
0
( 1) [ { ( ) }] {(2( ) 2)
} [ {( ) ( ) { ( )
( )
}}] [{ (2 3)
1!
j N
l i j k i l i
j l k i
t
j k i N
t
i
i
w
j l
p j k i N
l
I t e p
t w
i N
λ µ µ ξ
γ λ µ µ µ
ξλ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ λ µ µ
µ γ
+∞ ∞ +
+ − + + + +
= = = =
− + + +−
+ + − −
− +
=
+
− − + − + + − −
− + + + + + + +
−
− − +
∑∑∑∑
∫ 1 2
1 2 2 1
2
( )1
(2 3) 2 1
0
1 2
1 2( ) 2( 1)
(2 1) (2 2) 2 1
0 00
( ) ( )( ) ( )( )1
}(2 ( ) ). ]
( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
1!
. . ] ]
N
w
i N
w n n
n i n i
i n i n
i i
u w u t w
I w w e
w u
i n I i n I u
u e e du e dw
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ
λ µ µ
λ γ γ λ µ µ
−
− + + +−
− +
− −
− − − − − −
− + − +
= =
− + + + − + + − − + + −−
+
−
− − + − − + +
∑
∑ ∑∫
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
( 1)
2 2( )
2 1 1
0
[ {(2 )( 2 )( ) ( ) (1 ) ( )
( )
( ) }] ( 1)
( 1)!
t k l h
l h j k r
p
m j j l l t w
p
j l h k l h
ξ µ µ ξ µ µ ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ
µ µ µ γ
− + −
+ − + +
+ + + + + − + − + +
+ + −
− + −
− + −
+
∫
1 2 1 2
1
0 0 0 0 0
1
( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 1
1
( )( ) ( )1 2 1 1
(2 2) 2 1
00
2 1
[{ } { }](2 ( ) )
[{ (2 2) }(2 ( ) )
[( )
j l
j l k h r
g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n
t N
t w wi
i N
i
I I I I w
e i N I w w eλ µ µ ξ λ µ µ ξ
γ λ µ µ
ξλ γ λ µ µ
µ µ
+∞ ∞ ∞
= = = = =
−
+ + − − + + − + + + − − + + + − + +
−
− + + + − − + + +− − + −
− +
=
− − − +
+ − + +
+ +
∑∑∑∑∑
∑∫
1 2
1 2
1
( )2( ) 1
(2 1) 2 1
00
( )( ) ( )( )
] [ (2 1) ](2 ( ) ) . ]
] ]
w n
un i
i n
i
w u t w
p i n I u u e
e du e dw
λ µ µ ξ
λ µ ξ λ µ ξ
λ γ λ µ µ
−
− + + +− − −
− +
=
− + + − − + + −
− + +
∑∫
(49)
22. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
52
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
( 1) 2( ) ( )
0
,00
1
[2( ) ] ( 1)
1 ( )
2 {( ) ( )
( 1)!
( )
j l m
i l h
j l k h r i
t m i l k h
j j k r l w
m
m j j l j l r
j l h r
m t w
e
i m i l k h
e
P t
λ β ξ
µ µ µ µ
γ λ β λ β ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− − + + −
− + − + + − − + −
+ + + +
+ + −
− −
+ − + − − − + + −
=
∑∑∑∑∑∑
∫
( )
( 1) ( 1)
4
1 2 ( ) ( ) 1 2
( 1)
1 1 2 ( ) ( ) 1 2
0
} [{ }
2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )(
( )
) ( )][ { }(2 ( )
( 1)!
w
g j h i l n g j h i l n
g j h i l n g j h i l n
w k r l
g j h i l n g j h i l n
I I
I I w
w u
I I u
k r l
λ β ξ
λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ
µ λ µ µ λ µ µ
− + −
+ + + − − − + + + − + +
−
+ + + − − + + + − +
+ − −
+ + + − − + + + − +
−
− + − + + + + +
−
+ + − +
+ − −∫
1 1 2( ) ( )( )
1 2 1 2
1 1
( 6)
1 2
0 0 0 0 0 0
(
)]
[( )( ) ]
1
( 1) ( )
( )
2
u t w
j l m
i l h i k l l h
j l k h r i
m i l h m i l h r
e e dw
m j j l l j l r m
j l h r i
t w
λ ξ µ µ µ ξ
λ ξ µ λ ξ µ µ µ
γ µ µ
λ
− + + − + + −
+∞ ∞ ∞ −
+ + − + + + +
= = = = = =
− − + − − + +
− + + + + +
+ + + + −
− +
−
∑∑∑∑∑∑
1 2
1)
( 1) ( 1) 1 2
0
1 1
( )( )
1 2 1 2
0 0 0 0
2( 1)
1 2
[{ }(2 ( ) )]
( 1)!
1
[ ( )( ) ] ( 1)
( ) (2( )
t m i l k
g j h i l n g j h i l n
j N
t w l
j l k i
j k i l i
I I w
m i l k
j j k
e dw
l k
j k i N
µ µ ξ
λ µ µ
ξ λ ξ µ λ ξ µ µ µ
γ µ µ
− − + −
+ + + − − + + + + − + +
+∞ ∞ −
− + + −
= = = =
− + + + +
− +
− − + −
+ +
− + + + + + −
+ + + − +
∫
∑∑∑∑
1 2( )1
[2( ) 1] 1
2 1 2 2 1 1 2
( 1)
2( )
( ) ( )
0 0 0 0
1) [3{( )
( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]
1 ( )
( 1) [{ }
( 1)!
t
j k i N
t k h ll
l h j k
g j h l n g j h l n
k h r
I t e
p p
j j k t w
I I
l k k h l
λ µ µ ξ
λ ξ µ
λ ξ µ λµ µ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µ µ
γ
− + + +−
+ + − +
+ − −∞ ∞
+ − +
+ + − − + + − +
= = =
+ + +
+ + + + + + − + − +
+ + −
− −
+ − −
∑∑∑ ∫
1
0 0
1 ( )
( 1) ( 1) 1 2 1
2 2
2( 1)
1 2 1 2 2 1 (2 2)
00
2
(2 1) 1
{ }](2 ( ) ) [ (1 )( )
( )
( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }
2!
{ (2 1) }](2 (
j
j l
w
g j h l n g j h l n
t N
i
i N
i
i
i N
I I w e dw p
t w
p i N I
i N I
λ ξ
γ λ µ µ ξ λξ λ ξ µ
µ µ µ µ λ µ λ ξ µ γ
γ λ µ µ
+∞
= =
− − +
+ + − − + + + − + +
−
− +
− +
=
−
− +
− − + + − + +
−
+ + − + + − +
− − + +
∑∑
∑∫
1 1 2
1 2
1
( ) ( )( )1
2
0
2 2
2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
( )( ) ( )( ) 2( 1)
(2 2
00 0
) )
[ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
[{3 4 } ][ (2 2)
1! 2!
N
w t w
i
t t n
t w t w n i
i n
i
w w e e dw
p p
t w t w
e e dw i n I
λ µ ξ λ µ µ ξ
λ ξ µ λ ξ µ
λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ
γ
−
− + + − + + + −−
=
−
− + + − − + + − − − −
− +
=
+
− + − + − − + + + + + +
− −
+ − +
∑
∑∫ ∫ )]
23. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
53
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2 2 1 1 2
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( ) }]
1
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p m i
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ µ µ µ µ
ξ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
− − + − −
− + + +
+ −
+ + + + +
+ − +
−
∑ ∑ ∑∑∑∑∑∑ ∑
1
( 1 1)
(2 1) 4
( 1 1) ( 1 2)
0
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
(
2 1
( )
[{ }
( 1 1)!
{ } { }
](2 ( ) )
l q p
t m i l p q
m j i q
g j h i p g j h i p
g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r
t w
I I
m i l p q
I I I I
w e λ β
γ γ
λ µ µ
− +
− − + + −
− + − − + −
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
− + −
−
− −
− − + + −
− + −
+
∫
1 2
2 1
( )( ))
0 0 0 0 1 0 0 0
( 1 1) ( 1
1 (2 2 1)
1
] [ ( 1)
2 1 ( ) ( )
( 1 1)!
j i l h m N
t ww i l h
j l k h p i n
m i l p m i l k
m i l p m j i l n
m m j
e dw
i j
j i l j i k t w w u
l h k m i l p
µ µ ξξ
λ γ
+ +∞ ∞ −
− + + − + +
= = = = = = =
− − + − − − + −
− − + − + − − − −
− +
+ −
+ + + + + − −
− − + −
∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑
)
0 0
1
( 1 ) ( 1 2)
( 1 1) ( 1 3)
1 2 2 1 1 2
( 1)!
[ {( 1 ) ( 1 2) } {
( 1 1) ( 1 3) }]
[2( ){ ( ) }][{(
t w
g j h i p n g j h i p n
g j h i p n g j h i p n
m i l k
g j h i p n I g j h i p n I
g j h i p n I g j h i p n I
p g j h i
γ γ
µ µ λ µ µ µ µ
−
+ + + + − + + + + + +
+ + + + − + + + + + + +
− − + −
+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − + − + + + + + + −
+ − + + + +
∫ ∫
1 2
( 1 1)
1
( 1 1) ( 1 2)
1 ( )( ) ( )
( 1 2) 2 1
( )( )
1 1)
( 1 1) } {( 1 2)
( 1 2) }](2 ( ) ) ] ]
( 1)
g j h i p n
g j h i p n g j h i p n
w u w
g j h i p n
t w l i
p n I
g j h i p n I g j h i p n I
g j h i p n I u e du e
e dw
λ ξ λ β ξ
µ µ ξ
γ
λ µ µ
+ + + + − +
−
+ + + + + + + + + + + +
− − + − − + −
+ + + + − +
− + + − +
+ − + −
+ + + + + + − + + + + + + −
+ + + + − + +
− −
1 2
1 2
2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2 2
[2( ) 2] 1 1 2 2 2 1
2
2( 1)
2 (2
00
[ { ( ) }] {(2( )
2) } [ {( ) ( ) { ( )
( )
}}] [{ (2 3)
1!
j N
j k i l i
j l k i
t
j k i N
t N
i
i
i
j l
p j k i
l
N I t e p
t w
i N I
λ µ µ ξ
γ λ µ µ µ
ξλ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ λ µ µ
µ γ
+∞ ∞ +
− + + + +
= = = =
− + + +−
+ + − −
−
− +
=
+
+ − + +
− − − + + + + + + +
−
− − +
∑∑∑∑
∑∫ 1 2
1 2 2 1
( )1
3) 2 1
1 2
1 2( ) 2( 1)
(2 1) (2 2) 2 1
0 00
( ) ( )( ) ( )( )1 ( )
}(2 ( ) ). ]
( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
1!
. . ] ] ]
w
N
w n n
n i n i
i n i n
i i
u w u t ww
w w e
w u
i n I i n I u
u e e du e e dw
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
λ µ µ
λ γ γ λ µ µ
− + + +−
− +
− −
− − − − − −
− + − +
= =
− + + + − + + − − + + −− − + −
+
−
− − + − − + +
+
∑ ∑∫
2 1 2 1
1
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0
( 1)
2( )
( ) (
0
[ {(2 )( 2 )
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1)
( )
[{
( 1)!
j l N
l h
j l k h r n
t k l h
j k r
g j h l n g j h l
m j
p p
j
j l l t w
I I
l h k l h
ξ µ µ ξ µ µ ξ
µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ
γ
+∞ ∞ ∞
+
= = = = = =
− + −
− + +
+ + − − + + −
+ + + +
+
+ − + − + + − + −
+ −
−
− + −
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1 2
1
) ( 1) ( 1)
1
( )( ) 1 2 1 1
2 1 (2 2) 2 1
00
1
( ) 2( )
2 1 (2 1) 2 1
0
} { }]
(2 ( ) ) [{ (2 2) }(2 ( ) )
[( ) ] [ (2 1) ](2 ( ) )
n g j h l n g j h l n
t N
t w i
i N
i
n
w n i
i n
i
I I
w e i N I w w
e p i n I u u
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ
γ
λ µ µ ξλ γ λ µ µ
µ µ λ γ λ µ µ
−
+ + + − − + + + − + +
−
− + + + − − − + −
− +
=
−
− + + + − − −
− +
=
− −
+ + − + +
+ + − + +
∑∫
∑ 1 2
1 2
( )1
0
( )( ) ( )( )( )
. ]
] ] ]
w
u
w u t ww
e
e du e e dw
λ µ µ ξ
λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
− + + +
− + + − − + + −− + −
∫
24. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
54
2 1 1
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1 2 2 1 1
,00
1 1
[2( ) ][ ( 1)
[2( ){ ( )
1
( )
n j i j ll m h N
i l p q
j l k h r i q p n
m i l p
m
m m j j i
i j l
l j i k h j l r q
p
h k p q
Q t
γ
µ µ γ
λ
λ µ µ λ µ µ µ
ξ
+ + −∞ ∞ ∞ −
− + + +
= = = = = = = = =
− − +
− + + +
+ −
+ + + + +
+ − +
=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
2
( 1 1)
(2 1) 4
( 1 1) ( 1 2)
0
( 1 ) ( 1 2) ( 1 1) ( 1 3)
2 1
}]
( )
[{ }
( 1 1)!
{ } { }
](2 ( )
m i l q p
t m i l p q
m j i q
g j h i p g j h i p
g j h i p q k g j h i p q k g j h i p k q r g j h i p k q r
t w
I I
m i l p q
I I I I
w
µ
γ γ
λ µ µ
− − − +
− − + + −
− + − − + −
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
−
− −
− − + + −
− + −
+
∫
1 2
2 1
( )( )( )
0 0 0 0 1 0 0 0
( 1 1) (
1 (2 2 1)
1
) ] [ ( 1)
2 1 ( ) ( )
( 1 1)!
j i l h m N
t ww i l h
j l k h p i n
m i l p m
m i l p m j i l n
m m j
e e dw
i j
j i l j i k t w w u
l h k m i l p
µ µ ξλ β ξ
λ γ
+ +∞ ∞ −
− + + −− + − + +
= = = = = = =
− − + −
− − + − + − − − −
− +
+ −
+ + + + + − −
− − + −
∑ ∑ ∑∑∑∑∑
1)
0 0
1
( 1 ) ( 1 2)
( 1 1) ( 1 3)
1 2 2 1 1 2
( 1)!
[ {( 1 ) ( 1 2) } {
( 1 1) ( 1 3) }]
[2( ){ ( ) }][{
t w i l k
g j h i p n g j h i p n
g j h i p n g j h i p n
m i l k
g j h i p n I g j h i p n I
g j h i p n I g j h i p n I
p
γ γ
µ µ λ µ µ µ µ
− − + −
−
+ + + + − + + + + + +
+ + + + − + + + + + + +
− − + −
+ + + + − − + + + + + + −
+ + + + − + − + + + + + + −
+ − +
∫ ∫
1 2
( 1 1)
1
( 1 1) ( 1 2)
1 ( )( ) ( )
( 1 2) 2 1
( )( )
( 1 1)
( 1 1) } {( 1 2)
( 1 2) }](2 ( ) ) ] ]
g j h i p n
g j h i p n g j h i p n
w u w
g j h i p n
t w
g j h i p n I
g j h i p n I g j h i p n I
g j h i p n I u e du e
e dw
λ ξ λ β ξ
µ µ ξ
γ
λ µ µ
+ + + + − +
−
+ + + + + + + + + + + +
− − + − − + −
+ + + + − +
− + + −
+ + + + − + −
+ + + + + + − + + + + + + −
+ + + + − + +
1 2
1 2
2( 1) 2
2 1 2
0 0 0 0
( )1 2 2 2
[2( ) 2] 1 1 2 2 2 1
2( 1)
2
00
( 1) [ { ( ) }] {(2( )
2) } [ {( ) ( ) { ( )
( )
}}] [{ (2 3)
1!
j N
l i j k i l i
j l k i
t
j k i N
t
i
i
j l
p j k i
l
N I t e p
t w
i N
λ µ µ ξ
γ λ µ µ µ
ξλ λ ξ µ λµ µ λ ξ µ λ µ µ
µ γ
+∞ ∞ +
+ − + + + +
= = = =
− + + +−
+ + − −
− +
=
+
− − + − + +
− − − + + + + + + +
−
− − +
∑∑∑∑
∫ 1 2
1 2 2 1
2
( )1
(2 3) 2 1
1 2
1 2( ) 2( 1)
(2 1) (2 2) 2 1
0 00
( ) ( )( ) ( )1 ( )
}(2 ( ) ). ]
( )
[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )
1!
. . ] ] ]
N
w
i N
w n n
n i n i
i n i n
i i
u w u w
I w w e
w u
i n I i n I u
u e e du e e
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
λ µ µ
λ γ γ λ µ µ
−
− + + +−
− +
− −
− − − − − −
− + − +
= =
− + + + − + + − − + +− − + −
+
−
− − + − − + +
∑
∑ ∑∫
( )
2 1 2 1
1
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0
( 1)
2( )
( )
0
[ {(2 )( 2 )
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1)
( )
[{
( 1)!
t w
j l N
l h
j l k h r n
t k l h
j k r
g j h l n
dw
p p
m j j l l t w
I I
j l h k l h
ξ µ µ ξ µ µ ξ
µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ
γ
−
+∞ ∞ ∞
+
= = = = = =
− + −
− + +
+ + − −
+ + + + +
+ − + − + + − + −
+ + −
−
− + −
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1 2
1
( ) ( 1)
1
( )( ) 1 2 1
( 1) 2 1 (2 2)
00
1
( )1 2( )
2 1 2 1 (2 1)
00
} {
}](2 ( ) ) [{ (2 2) }
(2 ( ) ) [( ) ] [ (2 1) ]
(2
g j h l n g j h l n
t N
t w i
g j h l n i N
i
w n
w n i
i n
i
I
I w e i N I
w w e p i n I
λ µ µ ξ
λ µ µ ξ
γ
λ µ µ ξλ γ
λ µ µ µ µ λ γ
λ
−
+ + − + + + − − +
−
− + + + − − − +
+ + − + + − +
=
−
− + + +− − −
− +
=
− −
+ + − +
+ + + − +
∑∫
∑∫
1 2 1 2( ) ( )( ) ( )( )1 ( )
2 1( ) ) . ] ] ] ]u w u t ww
u u e e du e e dwλ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ
µ µ − + + + − + + − − + + −− − + −
+
25. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
55
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
( 1) 2( )
( 1) ( 1
0
1
[2( ) ] ( 1)
1 ( )
2 [{
( 1)!
j l m
i l h
j l k h r i
t m i l k h
j j k r l
g j h i l n g j h i l n
m j j l j l r
j l h r
m t w
I I
i m i l k h
µ µ µµ
γ
ξ
+∞ ∞ ∞ −
+ +
= = = = = =
− − + + −
− + − + + −
+ + + − − − + + + − + +
+ + + +
+ + −
− −
− − − + + −
−
∑∑∑∑∑∑
∫
1 1 2
)
4
1 2 ( ) ( ) 1 2
( 1)
1 1 2 ( ) ( ) 1 2
0
( ) ( )( )( )
}
2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )(
( )
) ( )][ { }(2 ( ) )]
( 1)!
]
g j h i l n g j h i l n
w k r l
g j h i l n g j h i l n
u t ww
I I w
w u
I I u
k r l
e e e dwλ ξ µ µ µ ξλ β ξ
λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ
µ λ µ µ λ µ µ
−
+ + + − − + + + − +
+ − −
+ + + − − + + + − +
− + + − + + −− + −
− + − + + + + +
−
+ + − +
+ − −
∫
1 2 1 2
1 1
( 6)
1 2
0 0 0 0 0 0
( 1)
(
0
[( )( ) ]
1
( 1) ( )
( )
2 [{
( 1)!
j l m
i l h i k l l h
j l k h r i
t m i l k
m i l h m i l h r
g j
m j j l l j l r m
j l h r i
t w
I
m i l k
λ ξ µ λ ξ µ µµ
γ µ µ
λ
+∞ ∞ ∞ −
+ + − + + + +
= = = = = =
− − + −
− − + − − + +
+ +
− + + + + +
+ + + + −
− +
−
− − + −
∑∑∑∑∑∑
∫
1 2
1) ( 1) 1 2
1 1
( )( )( )
1 2 1 2
0 0 0 0
2( 1) 1
1 2 [2( ) 1]
}(2 ( ) )]
1
] [ ( )( ) ] ( 1)
( ) (2( ) 1)
h i l n g j h i l n
j N
t ww l
j l k i
j k i l i
j k i N
I w
j j k
e e dw
l k
j k i N I t e
µ µ ξλ β ξ
λ µ µ
ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ
γ µ µ
+ − − + + + + − + +
+∞ ∞ −
− + + −− + −
= = = =
−− + + + + −
+ + − +
− +
+ +
− + + + + + −
+ + + − +
∑∑∑∑
1 2( )
1
2 1 2 2 1 1 2
( 1)1
2( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0
1
(
[3{( )
( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]
1 ( )
( 1) [{ }
( 1)!
{
t
t k h lj l
l h j k
g j h l n g j h l n
j l k h r
g j
p p
j j k t w
I I
l k k h l
I
λ µ µ ξ
λ ξ µ
λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ
γ
γ
+ + +
+ − −+∞ ∞ ∞
+ − +
+ + − − + + − +
= = = = =
−
+
+ + +
+ + + + + + − + − +
+ + −
− −
+ − −
−
∑∑∑∑∑ ∫
( ) ( )
1) ( 1) 1 2 1
2 2
2( 1)
1 2 1 2 2 1 (2 2)
00
(2 1
(2 1) 1 2
}](2 ( ) ) ] [ (1 )( )
( )
( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }
2!
{ (2 1) }](2 ( ) )
w w
h l n g j h l n
t N
i
i N
i
i
i N
I w e e dw p
t w
p i N I
i N I w w e
λ β ξ λ ξ
λ
λ µ µ ξ λξ λ ξ µ
µ µ µµ λ µ λ ξ µ γ
γ λ µ µ
− + − − +
+ − − + + + − + +
−
− +
− +
=
−− −
− +
− + + − + +
−
+ + − + + − +
− − + +
∑∫
1 1 2
1 2
1
) ( )( )( )
0
2 2
2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
( )( ) ( )( ) 2( 1)
(2 2
00 0
]
[ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
[{3 4 } ][ (2 2)
1! 2!
N
w t ww
i
t t n
t w t w n i
i n
i
e e dw
p p
t w t w
e e dw i n I
µ ξ λ µ µ ξλ β ξ
λ ξ µ λ ξ µ
λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ
γ
−
+ + − + + + −− + −
=
−
− + + − − + + − − − −
− +
=
+
− + − + − − + + + + + +
− −
+ − +
∑
∑∫ ∫ )]
(51)
Where 1 2( ) , 2 ( )I t Iν να α λ µ µ≡ = +
26. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
56
4. NUMBER OF TIMES THE SYSTEM REACHES ITS CAPACITY IN TIME t
Putting y=1 in (26) and on simplification, we have
[ ]1
1( ,1; ) 1 ( 1) ( , )N
A
H x s x P x s
s
λ
−
−= + −
(52)
Using (28) in (52) and setting x=0, we have
151
0,.
16
( ) 1
ZA
P s
s Z
−
= −
(53)
Where
1
1
1 1
2
1 1 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2
15 2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )}
(2)] [[( )( ) ][ (1){ ( )}
(2) ( )] ( )[ (1){ ( )} (2){ } (3) ]]
s A s A V B B B
Z B V s s s A V B B B
V B A V B B V B B V B
ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ
λγ ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ
µ µ µ µ µ µ λ λ
−
− − −
+ − + + + − + + − +
= − + + + + + + − + +
− + + + − + + − − −
1 1
1
1 1
6 2
1 2 2 2 2 1 2
4 4
2 2 1 2 2 1 2
16 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2
[( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( )}
( 1){ }] [{ ( )}{ (1) ( ) (2)
(1){ ( )}} { ( ) ( )}{ ( ) (1)
(2) {
A B V N B V N V N B B
V N B B A s B V B V
Z
V B B A A s B V
B V
λ µ µ λγ γ µ µ
γ λ λ µ λ ξ λγ µ µ
ξ
γ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ
λγ γ
− −
− −
−
− −
+ + − − − + +
+ − + − + + + + + +
=
− + + + − + − + + + +
+ − 1 2}}]]B Bλ
+
Using (28) in (52), differentiating m times w.r.t. x and dividing both sides by m! And setting
x=0, we have
17
,.
18
( )m
Z
P s
Z
−
=
(54)
Where
1 1 1
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 4 4
1 2 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
17 2
2
[ (1){ ( )} ( ) (2)][ ( ) ( 2)
2 ( ){ [ ( 1) ( 1)]} ( ) ( )
{ }][ (1){ ( )} ( ) ( ){ ( ) (1)
(2)
V B B B B V B V N
s V N B V N B V N
B B V B B A A s B V
Z
B V
γ λγ µ µ µ µ µ µ
λ µ µ λ ξ γ γ µ µ γ
λ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ
λγ
− −
− − −
−
− + + − + + + −
+ + + + − + + + + +
+ + + − + − + + + +
=
+ + 1 1
1 1 1
2
2 1 2 2 1 2
2 2 4
2 1 2 1 2 2
( 1)
( )} [ ( 2) ( ){ ( )}]
{ ( 1) ( )} ( ){ ( 2) ( 1)} { }
{ ( 1) ( 2)}] m
A s A B V N V N B B
A A B V N V N A B V N V N B B
V N V N
λ µ λ ξ λ λ γ µ µ
γ λ µ µ γ λ
−
− −
−
+ + + + − − + +
+ + − + + + − + + +
+ − −
2
( 1) 1 6
1 2 1 1 2 2
2 4
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
18 2 2
1 2 2 2 1 2 2 1
4
2
[ ( ) ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ]
( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}
{( ) (1) (2) { }}] [ ( )]
[
m m m
s s s A B V N V N B
V N B B V N B B A A s
Z
B V B V B B A s
B V
λξ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ
γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ
µ µ λ γ γ λ λ λ µ ξ
γ λ
− + + −
− −
− −
−
+ + + + + − − −
+ + − − + − − + − + + +
=
+ + − + − + + + +
2 1
2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m
B V V B Bµ µ γ µ µ− +
+ + − + +
Expanding the right hand sides of (53) and (54), we have
27. International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-
938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)
57
1
( ) 2( 1) 2
0 0 0 0 0 0
2 2 ( 1) ( 1
1 2 2 1 2
0,.
1
( 1)
( )( ) ( ) (1 ) [{
( )
j jl
i l h j l h i j k h l r
j l k h i r
g j k l g j k l
j l j l r j j k l
s
l h r i k
p p R R
P s
λ γ
λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ
+∞ ∞ ∞
++ − +− + − + + −+ + −
= = = = = =
− + + +− − + + ++
−
+ + + + −
−
+ + + + + − − − −
=
∑∑∑∑∑∑
)
1 ( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 2) 2
0 0 0
( 2 2)
1 2 1 2
0 0
2
1
}
{ } (2 ) { }]
1
( 1) [ ( )( )( )
(1 )
j
g j i h k g j i h k i j k g j k l g j k l
j l k
j
i l j k l i
i r
R R R R s
j l j k j r
l k r
p
γ λ γ
γ λλ ξ µ λ ξ µ µ µ
λµ
∞ ∞
− − + ++ + + − + ++ + + + + − − + + +− − + + +− −
= = =
∞
+ − + −++
= =
− − + − −
+ + − +
− + + + + +
− − +
∑∑∑
∑∑
( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2)
2
3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)
1 2 1 2
( )][{ } { }]
[ ( )] { }] ( )( ) [{ }]
g j l k N g j l k N g j l k g j l k
g j g j k l g j r l g j r l
p R R R R
p R R s R R
λ λ ξ µ γ
λ µ µ γ ξµ µ λ ξ
− + ++ + − + ++ + + − + ++ + − + ++ +
− − + − − + + − −− − + + ++ − + + ++
+ + − − −
− + − − + + + −
(55)
1 1 1
1
0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1
1 2
,.
1 1 1
( 1)
1
2 [( ) ]
( )
j j kl m m i
i l p q h
j l k h r i q p
m i l p q m i l p q l p
m
m m j j l j k m i j k
i j l h k p q
j i l r
p
r
P s
λ µ µ λ γ
+ −∞ ∞ ∞ − + −
+ + + +
= = = = = = = =
− − + − − − − + + + −
−
− + + + + − −
−
+ + +
+
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
(2 1) ( 1 1)
1 2
( 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)
1 1
0 0 0 0
( )
( ) [{ } { }]
1
( 1)
m j i q m i l p
m i k l g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N
j m
i l
j l k i
s
s R R R R
m m j j i j i
i j l
µ µ ξ
λ ξ γ
+ − − − − − − + −
− − − − − − + + + + + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + + +
+∞ ∞ −
+
= = = =
+ + +
+ + − − −
− + + +
+ −
∑∑∑∑ 1 (2 2)
1
( ) ( ) ( 2) ( 1)
2 1 2 1 2
1 2
( 3) 2( 1) 2
0 0 0 0
[2 ( )
( )( )]( ) [{ } {
}] ( 1) [ { (
m i k m j i N
m i l k g j i N g j i N g j i N
j N
g j i N l i j k i
j l k i
k
k
s R R R
j l
R p
l
λ γ λλ ξ µ
λ ξ µ µ µ µ µ ξ γ
γ λ µ
− − − − + − − −
− − + + − + + + − + + + + − + + + +
+∞ ∞ +
− + + + + + − + + +
= = = =
+
+ +
+ + + + + + − −
+
− − −
∑∑∑∑ 2( ) 2
2 1 2
[2( ) 2] 2
1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2( 1) 2 3 (2 3) 2( ) (2 1)
1 2 1 2
0 0
) }] {(2 )
[( ) ] } [ ( )( )( ) (1 )
( )][{ (2 ) [( ) ] } { (2 )
[(
l i j k i N
j k i N
N n
i i N i N n i i n
i i
s p
p s
s
µ µ λ
λ µ µ ξ ν λλ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ
λ µ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ
λ µ
+ + + − −
− + + − −
− −
− + − + − − + − − +
= =
+ −
+ + + + + + + + + + + − −
+ + + + + + + −
+ +
∑ ∑
(2 1)
1 2 ) ] }]i n
µ ξ ν − − +
+ + +
(56)
Taking the inverse transform of (55) and (56), we have