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1.
1-)a-) 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠ℎ2} = 𝐿{ 𝑒2𝑡+𝑒−2𝑡 2 } = 1 2 (
𝐿{ 𝑒2𝑡} + 𝐿{ 𝑒−2𝑡}) = 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒−2𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) = 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒(−𝑠+2) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒(−𝑠−2) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) = 1 2 ( lim 𝑏→∞ 𝑒(−𝑠+2) 𝑡 −𝑠 + 2 | 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ 𝑒(−𝑠−2) 𝑡 −𝑠 − 2 | 𝑏 0 ) = 1 2 ( 𝑒(−𝑠+2) 𝑏 −𝑠 + 2 − 𝑒(−𝑠+2)0 −𝑠 + 2 + 𝑒(−𝑠−2) 𝑏 −𝑠 − 2 − 𝑒(−𝑠−2)0 −𝑠 − 2 ) 𝑠𝑖 − 𝑠 + 2 < 0 𝑦 − 𝑠 − 2 < 0 𝑠 > 2 𝑠 > −2 = 1 2 (0 − 1 −𝑠 + 2 + 0 − 1 −𝑠 − 2 ) = 1 2 ( 1 𝑠 − 2 + 1 𝑠 + 2 ) = 1 2 ( 𝑠 + 2 + 𝑠 − 2 𝑠2 − 22 ) = 1 2 ( 2𝑠 𝑠2 − 22 ) = 𝑠 𝑠2 − 22 1-)b-) 𝐿{ 𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡} 𝐿 { 𝑡 𝑒3𝑡+𝑒−3𝑡 2 } 1 2 ( 𝐿{ 𝑡𝑒3𝑡} + 𝐿{ 𝑡 𝑒−3𝑡}) 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒3𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡 𝑒−3𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) 1 2 (lim 𝑏→∞ ∫ 𝑡𝑒(−𝑠+3) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ∫ 𝑡𝑒(−𝑠−3) 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 0 ) 1 2 ( lim 𝑏→∞ ( 𝑡𝑒(−𝑠+3) 𝑡 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3) 𝑡 (−𝑠 + 3)2 )| 𝑏 0 + lim 𝑏→∞ ( 𝑡𝑒(−𝑠−72) 𝑡 −𝑠 − 72 − 𝑒(−𝑠−72) 𝑡 (−𝑠 − 72)2 )| 𝑏 0 )
2.
1 2 ( lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏 −𝑠
+ 3 − 𝑒(−𝑠+3) 𝑏 (−𝑠 + 3)2 ) − ( 0𝑒(−𝑠+3)0 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3)0 (−𝑠 + 3)2 ) + lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏 −𝑠 − 3 − 𝑒(−𝑠−3) 𝑏 (−𝑠 − 3)2 ) − ( 0𝑒(−𝑠−3)0 −𝑠 − 3 − 𝑒(−𝑠−3)0 (−𝑠 − 3)2 )) Ahora lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠+3) 𝑏 −𝑠 + 3 − 𝑒(−𝑠+3) 𝑏 (−𝑠 + 3)2 ) 𝑠𝑖 − 𝑠 + 3 < 0 𝑠 > 3 (0.∞) lim 𝑏→∞ 𝑏 𝑒—𝑠+3 𝑏(−𝑠 + 3) ( ∞ ∞ ) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 lim 𝑏→∞ ( 1 𝑒−(−𝑠+3) 𝑏(−(−𝑠+ 3)2) ) = 0 Ahora lim 𝑏→∞ ( 𝑏𝑒(−𝑠−3) 𝑏 −𝑠 − 3 − 𝑒(−𝑠−3) 𝑏 (−𝑠 − 3)2 ) 𝑠𝑖 − 𝑠 − 3 < 0 𝑠 > −3 (0.∞) lim 𝑏→∞ 𝑏 𝑒—(−𝑠−3) 𝑏(−𝑠− 3) ( ∞ ∞ ) 𝐿`𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 lim 𝑏→∞ 1 𝑒—𝑠−3 𝑏((−𝑠 − 3)2) = 0 3 1 2 ( 1 ( 𝑠 − 3)2 + 1 ( 𝑠 + 3)2 ) 2-)a-) 𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} 𝜕2 ( 𝑠 𝑠2 − 22) 𝜕𝑠2 𝜕 ( 𝑠 𝑠2 − 22) 𝜕𝑠 = 1.( 𝑠2 − 22) − 𝑠(2𝑠) ( 𝑠2 − 22)2 𝑠2 − 22 − 2𝑠2 ( 𝑠2 − 22)2 = −𝑠2 − 22 ( 𝑠2 − 22)2 𝜕2 ( 𝑠 𝑠2 − 22) 𝜕𝑠2 = 𝜕 ( −𝑠2 − 22 ( 𝑠2 − 22)2) 𝜕𝑠 −2𝑠( 𝑠2 − 22)2 − (−𝑠2 − 22)2( 𝑠2 − 22)2𝑠 ( 𝑠2 − 22)4
3.
−2𝑠( 𝑠2 − 22)((
𝑠2 − 22) + 2(− 𝑠2 − 22)) ( 𝑠2 − 22)4 −2𝑠 ( 𝑠2 − 22 − 2𝑠2 − 2.22) ( 𝑠2 − 22)3 2-)b-) 𝐿{ 𝑒4𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡} = 𝐿{ 𝑠𝑒𝑛5𝑡}| 𝑠→𝑠−4 = 5 ( 𝑠 − 4)2 + 52 2-)c-) 𝐿{ 𝑡2 𝑐𝑜𝑠22𝑡} 𝜕2( 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠22𝑡}) 𝜕𝑠2 = 𝜕2 (𝐿{ 1 + cos4𝑡 2 }) 𝜕𝑠2 = 1 2 𝜕2( 𝐿{1}+ 𝐿{ cos4𝑡}) 𝜕𝑠2 = 1 2 𝜕2 ( 1 𝑠 + 𝑠 𝑠2 + 42) 𝜕𝑠2 𝜕 ( 1 𝑠 + 𝑠 𝑠2 + 42) 𝜕𝑠 = − 1 𝑠2 + 1. ( 𝑠2 + 42) − 𝑠. 2𝑠 ( 𝑠2 + 42)2 = − 1 𝑠2 + 𝑠2 + 42 − 2𝑠2 ( 𝑠2 + 42)2 = − 1 𝑠2 + 42 − 𝑠2 ( 𝑠2 + 42)2 1 2 𝜕2 ( 1 𝑠 + 𝑠 𝑠2 + 42 ) 𝜕𝑠2 = 1 2 𝜕 (− 1 𝑠2 + 42 − 𝑠2 ( 𝑠2 + 42)2) 𝜕𝑠 1 2 ( 2 𝑠3 + −2𝑠( 𝑠2 + 42) − (42 − 𝑠2)2( 𝑠2 + 42).2𝑠 ( 𝑠2 + 42)4 ) 3) 𝐿−1 { 𝑠2 − 2𝑠 + 2 ( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2) } 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
4.
𝑠2 − 2𝑠
+ 2 ( 𝑠 − 1)2( 𝑠+ 1)( 𝑠 − 2) = 𝐴 ( 𝑠 − 1) + 𝐵 ( 𝑠 − 1)2 + 𝐶 ( 𝑠 + 1) + 𝐷 ( 𝑠 − 2) 𝑠2 − 2𝑠 + 2 = 𝐴( 𝑠− 1)( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐵( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 2) + 𝐶( 𝑠 − 1)2( 𝑠 − 2) + 𝐷( 𝑠 − 1)2(𝑠+ 1) 𝑠 = 1 12 − 2.1 + 2 = 𝐵(1 + 1)(1 − 2) 1 = −2𝐵 𝐵 = − 1 2 𝑠 = −1 (−1)2 − 2.(−1) + 2 = 𝐶(−1 − 1)2(−1 − 2) 5 = −12𝐶 𝐶 = − 5 12 𝑠 = 2 22 − 2.2 + 2 = 𝐷(2 − 1)2(2+ 1) 4 = 3𝐶 𝐷 = 4/3 𝑠 = 0 02 − 2.0 + 2 = 𝐴(0 − 1)(0 + 1)(0 − 2) − 1 2 (0 + 1)(0 − 2) − 5 12 (0 − 1)2(0 − 2) + 4 3 (0 − 1)2(0+ 1) 2 = 2𝐴 + 1 + 5 6 + 4 3 2 − 19 6 = 2𝐴 − 7 6 = 𝐴 𝐿−1 { − 7 6 ( 𝑠 − 1) }+ 𝐿−1 { − 1 2 ( 𝑠 − 1)2}+ 𝐿−1 { − 1 2 ( 𝑠 + 1) } + 𝐿−1 { 4 3 ( 𝑠− 2) } = − 7 6 𝑒 𝑡 − 1 2 𝑡𝑒 𝑡 − 1 2 𝑒−𝑡 + 4 3 𝑒2𝑡 4-) 𝐿−1 { 1 𝑠3( 𝑠+ 1)2 } 𝐺( 𝑠) = 1 𝑠3 𝐹( 𝑠) = 1 ( 𝑠 + 1)2
5.
𝑔( 𝑡) = 1 2 𝐿−1
{ 1.2 𝑠3 } = 1 2 𝑡2 𝑓( 𝑡) = 𝐿−1 { 1.2 ( 𝑠 + 1)2 } = 𝑡𝑒−𝑡 𝑓( 𝜏) = 𝜏𝑒−𝜏 𝑔( 𝜏 − 𝑡) = 1 2 ( 𝜏 − 𝑡)2 = 1 2 ( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2) 𝐿−1 { 1 𝑠3( 𝑠 + 1)2 } = 1 2 ∫( 𝜏2 − 2𝜏𝑡 + 𝑡2) 𝑡 0 𝜏𝑒−𝜏 𝜕𝜏 = 1 2 ∫( 𝜏3 𝑒−𝜏 − 2𝜏2 𝑡𝑒−𝜏 + 𝜏𝑡2 𝑒−𝜏) 𝑡 0 𝜕𝜏 = 1 2 (−𝜏3 𝑒−𝜏 − 3𝜏2 𝑒−𝜏 − 6𝜏𝑒−𝜏 − 6𝑒−𝜏 − 2𝑡(−𝜏2 𝑒−𝜏 − 2𝜏𝑒−𝜏 − 2𝑒−𝜏)+ 𝑡2(−𝜏𝑒−𝜏 − 𝑒−𝜏))|0 𝑡 = 1 2 (−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑡𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡 − (−03 𝑒−0 − 3.02 𝑒−0 − 6.0𝑒−0 − 6𝑒−0 + 2𝑡. 02 𝑒−0 + 4𝑡0𝑒−0 + 4𝑡𝑒−0 − 𝑡20𝑒−0 − 𝑡2 𝑒−𝑜)) = 1 2 (−𝑡3 𝑒−𝑡 − 3𝑡2 𝑒−𝑡 − 6𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 2𝑡3 𝑒−𝑡 + 4𝑡2 𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡3 𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2) = 1 2 (−2𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 + 6 − 4𝑡 + 𝑡2)
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