mate 4

1. DEMOSTRACIONES DE CONVOLUCION Y TRANSFORMADA DE FOURIER
I. CONVOLUCION
Sean dos señales u(t) y v(t) totalmente integrales en R, su convolucion esta dada por la siguiente
formula:
(u ∗ v)(t) = ∫ u(s)v(t − s)ds
∞
−∞
Una de las señales debe ser acotadas en R y la otra debe ser totalmente integrable en R.
Teorema 1: La convolución es conmutativa
Demostración. Hacemos el siguiente cambio de variable t − s = λ, de modo que:
u ∗ v̂(t) = ∫ u(s)
∞
−∞
v(t − s)ds = − ∫ u(t − λ)v(λ)dλ
−∞
∞
…. (Cambio de variable)
u ∗ v̂(t) = ∫ v(λ)u(t − λ)dλ =
∞
−∞
v ∗ û(t)
u ∗ v̂(t) = v ∗ û(t)
Teorema 2: La convolucion es asociativa.
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , su convolucion viene dada por:
u(t) ∗ v(t) ∗ w(t) = (u(t) ∗ v(t)) ∗ w(t) = u(t) ∗ (v(t) ∗ w(t))
Demostracion:
Usando la definición de convolucion:
u(t) ∗ h(t) = ∫ u(s)h(t − s)ds
∞
−∞
Tenemos:
C1 = [u(t) ∗ v(t)]∗ w(t) = [∫ u(suv)v(t − suv)dsuv] ∗ w(t)
∞
−∞
La expresión global quedaría:

2. C1 = [u(t) ∗ v(t)] ∗ w(t) = ∫ [∫ u(suv)v(svw − suv)dsuv]w(t − svw)
∞
−∞
∞
−∞
dsvw]
Para:
C2 = u(t) ∗ [v(t) ∗ w(t)] = u(t) ∗ [∫ v(svw)w(t − svw)dsvw]
∞
−∞
C2 = u(t) ∗ [v(t) ∗ w(t)] = ∫ u(suv)[
∞
−∞
∫ v(svw)w(t − suv − svw)dsvw]dsuv
∞
−∞
Lo que yo quiero probar es:
C1 = C2
∫ ∫ u(suv)v(svw − suv)w(t − svw)
∞
−∞
∞
−∞
dsuvdsvw
= ∫ ∫ u(suv)v(svw)w(t − suv − svw)dsvwdsuv
∞
−∞
∞
−∞
Hacemos el siguiente cambio de variable: λ = suv + svw y dλ = dsuv entonces:
C2 = ∫ ∫ u(λ − svw)v(
∞
−∞
∞
−∞
svw)w(t − λ)dλdsvw
Luego hacemos el siguiente cambio de variable: θ = λ − svw y dθ = −dsvw
C2 = −∫ ∫ u(θ)v(λ−
−∞
∞
∞
−∞
θ)w(t − λ)dλdθ
C2 = ∫ ∫ u(θ)v(λ−
−∞
−∞
∞
−∞
θ)w(t − λ)dλdθ
Entonces, nos queda:
∫ ∫ u(suv)v(svw − suv)w(t − svw)
∞
−∞
∞
−∞
dsuvdsvw = ∫ ∫ u(θ)v(λ −
−∞
−∞
∞
−∞
θ)w(t − λ)dλdθ
Teorema 3: La convolucion es distributiva
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , se cumple que:
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t) ∗ v(t) + u(t) ∗ w(t)

3. Demostración:
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = ∫ u(t)[v(t− s) + w(t − s)]ds
∞
−∞
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = ∫ u(t)v(t − s)ds
∞
−∞
+ ∫ u(t)w(t − s)ds
∞
−∞
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t) ∗ v(t) + u(t) ∗ w(t)
Teorema 4: La convolucion es bilineal
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , se cumple que:
(αu(t) + βv(t)) ∗ w(t) = α(u(t) ∗ w(t)) + β(v(t) ∗ w(t))
Demostración:
(αu(t) + βv(t)) ∗ w(t) = ∫ (αu(s)+ βv(s))w(t − s)ds
∞
−∞
(αu(t) + βv(t)) = ∫ αu(s)w(t − s)ds+ ∫ βv(s)w(t − s)ds
∞
−∞
∞
−∞
(αu(t) + βv(t)) = α(u(t) ∗ w(t) + β(v(t) ∗ w(t))
Teorema 5: Propiedad de escalabilidad
Sea:
y(t) = u(t) ∗ h(t) y z(t) = u(at) ∗ h(at), a > 0
Entonces:
z(t) = ∫ u(as)h(a(t − s))ds
∞
−∞
Demostración:
Haciendo el siguiente cambio de variable: λ = as, ds =
dλ
a
, para a > 0
z(t) =
1
a
∫ u(λ)h(at − λ)dλ
∞
−∞
Donde:

4. y(t) = u(t) ∗ h(t) = ∫ u(s)h(t − s)ds
∞
−∞
Entonces podemos definir, las siguientes relaciones:
z(t) = (
1
a
) y(at)
(
1
a
) y(at) = u(at)h(at)
Entonces quedaría:
y(at) = |a|u(at)h(at)
Teorema 6: Propiedad de desplazamiento en el tiempo
u(t + a) ∗ v(t + b) = z(t + a + b)
Donde:
z(t) = ∫ u(s)v(t − s)ds
∞
−∞
Demostración:
u(t + a) ∗ v(t + b) = ∫ u(s + a)v(t + b − s)ds
∞
−∞
Aplicando el cambio de variable: s + a = r
u(t + a) ∗ v(t + b) = ∫ u(r)v(t + a + b − r)dr
∞
−∞
u(t + a) ∗ v(t + b) = z(t + a + b)
Teorema 7: Si 𝒖( 𝒕) 𝒚 𝒗(𝒕) son señales continuas y totalmente integrables en R, entonces su
convolucion 𝒖( 𝒕) ∗ 𝒗(𝒕) es tambien una señal totalmente integrable. Se verifica la
desigualdad.
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ≤ ‖ 𝑢(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)‖ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)
Antes de demostrar dicho teorema, definimos el teorema de fubini.

5. Teorema de Fubini:
Afirma que si :
𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑓( 𝑥) 𝑔(𝑦)d
Entonces:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑔( 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑦) 𝑑(𝑥, 𝑦)
𝐴𝑋𝐵𝐵𝐴
Demostración:
Ahora retomemos la demostración:
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)‖ 𝐿1( 𝑅) = ∫ | 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)| 𝑑𝑡
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)‖ 𝐿1 ( 𝑅) = ∫ |∫ 𝑢( 𝑠) 𝑣( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠
∞
−∞
| 𝑑𝑡
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)‖ 𝐿1( 𝑅) ≤ ∫ ∫ | 𝑢( 𝑠)|| 𝑣( 𝑡 − 𝑠)| 𝑑𝑠𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ≤ ∫ {∫ | 𝑢(𝑠)| 𝑑𝑠
∞
−∞
} | 𝑣(𝑡 − 𝑠)| 𝑑𝑡 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹𝑢𝑏𝑖𝑛𝑖)
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ≤ ‖ 𝑢(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ∫ | 𝑣(𝑡 − 𝑠)| 𝑑𝑡 =
∞
−∞
‖ 𝑢(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)‖ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)

6. II. TRANSFORMADA DE FOURIER
Sean las siguientes funciones: 𝑓1( 𝑡) 𝑦 𝑓2(𝑡) y sus transformadas de Fourier son:
𝐹1 = ∫ 𝑓1(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
𝐹2 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
Sus transformadas inversas son:
𝑓1( 𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹1 (𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
𝑓2( 𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹2 ( 𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
Entonces:
Teorema 1:
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 𝐹−1
[𝐹1 ( 𝜔) 𝐹2( 𝜔)]
Demostración:
𝑓1 ∗ 𝑓2 = ∫ 𝑓1( 𝑠) 𝑓2( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠
∞
−∞
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 𝑓1( 𝑠)[
1
2𝜋
∫ 𝐹2(𝜔)𝑒 𝑗𝜔(𝑡−𝑠)
∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝜔]𝑑𝑠
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 𝐹2( 𝜔)[
1
2𝜋
∫ 𝑓1(𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑠
𝑑𝑠]𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
∞
−∞
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫
1
2𝜋
𝐹2( 𝜔) 𝐹1(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
𝒇 𝟏 ∗ 𝒇 𝟐 = 𝟐𝝅𝑭−𝟏
[𝑭 𝟏( 𝝎) 𝑭 𝟐( 𝝎)]
Teorema 2:
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 2𝜋𝑓1 𝑓2

7. Demostración:
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2 ( 𝜔)] = 𝐹−1
[∫ 𝐹1( 𝑠) 𝐹2( 𝜔 − 𝑠) 𝑑𝑠]
∞
−∞
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ [
∞
−∞
∫ 𝐹1( 𝑠) 𝐹2 ( 𝜔 − 𝑠) 𝑑𝑠]𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
Hacemos el siguiente cambio de variable: 𝜔 − 𝑠 = 𝑥, 𝜔 = 𝑥 + 𝑠, 𝑑𝜔 = 𝑑𝑥
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ [
∞
−∞
∫ 𝐹1 ( 𝑠) 𝐹2( 𝑥) 𝑑𝑠]𝑒 𝑗(𝑥+𝑠)𝑡
𝑑𝑥
∞
−∞
𝐹−1[ 𝐹1 ( 𝜔)∗ 𝐹2 ( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ 𝐹1 ( 𝑠)
∞
−∞
∫ 𝐹2(𝑥)
∞
−∞
𝑒 𝑗( 𝑥+𝑠) 𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑠
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2 ( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ 𝐹1 ( 𝑠) 𝑒 𝑗𝑠𝑡
[∫ 𝐹2(𝑥)𝑒 𝑗𝑥𝑡
𝑑𝑥]𝑑𝑠
∞
−∞
∞
−∞
Multiplicamos y dividimos por 2𝝅
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 2𝜋[
1
2𝜋
∫ 𝐹1( 𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔][
1
2𝜋
∫ 𝐹2 (𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔]
∞
−∞
∞
−∞
𝑭−𝟏[ 𝑭 𝟏( 𝝎)∗ 𝑭 𝟐( 𝝎)] = 𝟐𝝅𝒇 𝟏( 𝒕) 𝒇 𝟐(𝒕)
Teorema 3:
La transformada de Fourier de la convolucion de dos funciones 𝒇 𝟏( 𝒕) 𝒚 𝒇 𝟐(𝒕) es la
multiplicación de las transformadas de Fourier de ambas funciones.
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = 𝐹1( 𝜔) 𝐹2 (𝜔)
Demostración:
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ [∫ 𝑓1( 𝑠) 𝑓2( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠]𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠)[∫ 𝑓2(𝑡 − 𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡]𝑑𝑠
∞
−∞
∞
−∞
Pero:

8. ∫ 𝑓2(𝑡 − 𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝐹[ 𝑓2( 𝑡 − 𝑠)] = 𝐹2 (𝜔)𝑒−𝑗𝜔𝑠
Finalmente reemplazamos en la expresión:
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2 ( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠)
∞
−∞
𝐹2( 𝜔) 𝑒−𝑗𝜔𝑠
𝑑𝑠
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2 ( 𝑡)) = ∫ 𝑓1 ( 𝑠)
∞
−∞
𝑒−𝑗𝜔𝑠
𝑑𝑠𝐹2(𝜔)
𝑭(𝒇 𝟏( 𝒕)∗ 𝒇 𝟐( 𝒕)) = 𝑭 𝟏( 𝝎) 𝑭 𝟐(𝝎)