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FOURIER
1. CONVOLUCIÓN
En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas
circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto
punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un
dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a
punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f ∗ g. (Notar que
el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es
utilizado también el símbolo ⨂). Sea F el operador de la transformada de Fourier,
con lo que F[f]y F [g] son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces:
𝐹[ 𝑓 ∗ 𝑔] = √2𝜋( 𝐹[ 𝑓] . 𝐹[ 𝑔])
Donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:
𝐹[ 𝑓. 𝑔] =
𝐹[ 𝑓] ∗ 𝐹[ 𝑔]
√2𝜋
Aplicando la transformada inversa de Fourier 𝐹−1
, podemos escribir:
𝑓 ∗ 𝑔 = √2𝜋( 𝐹
−1
)[ 𝐹[ 𝑓] . 𝐹[ 𝑔]]
DEMOSTRACION DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
𝔽[ 𝑓( 𝑡)] = 𝐹( 𝜔) = ∫ 𝑓( 𝑡) ∙ 𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝜕𝑡
∞
−∞
𝔽−1[ 𝐹( 𝜔)] = 𝑓( 𝑡)
1
2𝜋
∫ 𝐹( 𝜔)∙ 𝑒+𝑗𝜔𝑡
𝜕𝜔
∞
−∞
2. TABLA RESUMEN DE PROPIEDADES
PROPIEDAD DEFINICIÓN
LINEALIDAD 𝔽[ 𝛼𝑓( 𝑡) + 𝛽𝐺( 𝑡)] = 𝛼𝐹( 𝜔) + 𝛽𝐺( 𝜔)
DUALIDAD 𝔽[ 𝐹( 𝑡)] = 2𝜋𝑓(−𝜔)
CAMBIO DE ESCALA
𝔽[ 𝑓( 𝑎𝑡)] =
1
| 𝑎|
𝐹 (
𝜔
𝑎
)
INVERSIÓN DEL TIEMPO 𝔽[ 𝑓(−𝑡)] = 𝐹(−𝜔)
TRASLACIÓN EN EL TIEMPO
𝔽[ 𝑓( 𝑡 − 𝑡0)] = 𝐹( 𝜔) 𝑒−𝑗𝜔𝑡0
TRASLACIÓN EN FRECUENCIA 𝔽[ 𝑓( 𝑡) 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡] = 𝐹( 𝜔 − 𝜔0)
DERIVACIÓN EN EL TIEMPO
𝔽 [
𝜕 𝑛
𝑓( 𝑡)
𝜕𝑡 𝑛 = ( 𝑗𝜔) 𝑛
𝐹( 𝜔)]
DERIVACIÓN EN LA FRECUENCIA
𝔽[(−𝑗𝑡) 𝑛 𝑓( 𝑡)] =
𝜕 𝑛
𝐹( 𝜔)
𝜕𝜔 𝑛
TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL
𝔽 [∫ 𝑓( 𝜏) 𝜕𝜏
𝑡
−∞
] =
𝐹( 𝜔)
𝑗𝜔
+ 𝜋𝐹(0) ò ( 𝜔)
TRANSFORMADA DE LA CONVOLUCION
𝔽[ 𝑓( 𝑡) ∗ 𝑔( 𝑡)] = 𝔽[∫ 𝑓( 𝜏) 𝑔( 𝑡 − 𝜏) 𝜕𝜏
∞
−∞
]
= 𝐹( 𝜔) 𝐺( 𝜔)
TEOREMA DE PARSEVAL
∫ | 𝑓( 𝑡)|2
𝜕𝜏
∞
−∞
=
1
2𝜋
∫ | 𝐹( 𝜔)|²𝜕𝜔
∞
−∞