Convulacion de Fourier

1. CONVOLUCION Y TRANSFORMADA DE FOURIER
I. CONVOLUCION
En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias,
la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las
transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio
temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio
espectral).
Sean dos señales u(t) y v(t) totalmente integrales en R, su convolucion esta dada por la siguiente
formula:
(u ∗ v)(t) = u(s)v(t − s)ds
∞
∞
Una de las señales debe ser acotadas en R y la otra debe ser totalmente integrable en R.
Teorema 1: La convolución es conmutativa
Demostración. Hacemos el siguiente cambio de variable t − s = λ, de modo que:
u ∗ v(t) = u(s)
∞
∞
v(t − s)ds = − u(t − λ)v(λ)dλ
∞
∞
… . (Cambio de variable)
u ∗ v(t) = v(λ)u(t − λ)dλ =
∞
∞
v ∗ u(t)
u ∗ v(t) = v ∗ u(t)
Teorema 2: La convolucion es asociativa.
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , su convolucion viene dada por:
u(t) ∗ v(t) ∗ w(t) = u(t) ∗ v(t) ∗ w(t) = u(t) ∗ (v(t) ∗ w(t))
Demostracion:
Usando la definición de convolucion:
u(t) ∗ h(t) = u(s)h(t − s)ds
∞
∞
Tenemos:

2. C = [u(t) ∗ v(t)] ∗ w(t) = [ u(s )v(t − s )ds ] ∗ w(t)
∞
∞
La expresión global quedaría:
C = [u(t) ∗ v(t)] ∗ w(t) = [ u(s )v(s − s )ds ]w(t − s )
∞
∞
∞
∞
ds ]
Para:
C = u(t) ∗ [v(t) ∗ w(t)] = u(t) ∗ [ v(s )w(t − s )ds ]
∞
∞
C = u(t) ∗ [v(t) ∗ w(t)] = u(s )[
∞
∞
v(s )w(t − s − s )ds ]ds
∞
∞
Lo que yo quiero probar es:
C = C
u(s )v(s − s )w(t − s )
∞
∞
∞
∞
ds ds
= u(s )v(s )w(t − s − s )ds ds
∞
∞
∞
∞
Hacemos el siguiente cambio de variable: λ = s + s y dλ = ds entonces:
C = u(λ − s )v(
∞
∞
∞
∞
s )w(t − λ)dλds
Luego hacemos el siguiente cambio de variable: θ = λ − s y dθ = −ds
C = − u(θ)v(λ −
∞
∞
∞
∞
θ)w(t − λ)dλdθ
C = u(θ)v(λ −
∞
∞
∞
∞
θ)w(t − λ)dλdθ
Entonces, nos queda:
u(s )v(s − s )w(t − s )
∞
∞
∞
∞
ds ds = u(θ)v(λ −
∞
∞
∞
∞
θ)w(t − λ)dλdθ

3. Teorema 3: La convolucion es distributiva
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , se cumple que:
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t) ∗ v(t) + u(t) ∗ w(t)
Demostración:
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t)[v(t − s) + w(t − s)]ds
∞
∞
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t)v(t − s)ds
∞
∞
+ u(t)w(t − s)ds
∞
∞
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t) ∗ v(t) + u(t) ∗ w(t)
Teorema 4: La convolucion es bilineal
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , se cumple que:
αu(t) + βv(t) ∗ w(t) = α u(t) ∗ w(t) + β(v(t) ∗ w(t))
Demostración:
αu(t) + βv(t) ∗ w(t) = αu(s) + βv(s) w(t − s)ds
∞
∞
αu(t) + βv(t) = αu(s)w(t − s)ds + βv(s)w(t − s)ds
∞
∞
∞
∞
αu(t) + βv(t) = α(u(t) ∗ w(t) + β(v(t) ∗ w(t))
Teorema 5: Propiedad de escalabilidad
Sea:
y(t) = u(t) ∗ h(t) y z(t) = u(at) ∗ h(at), a > 0
Entonces:
z(t) = u(as)h a(t − s) ds
∞
∞
Demostración:

4. Haciendo el siguiente cambio de variable: λ = as, ds =
λ
, para a > 0
z(t) =
1
a
u(λ)h(at − λ)dλ
∞
∞
Donde:
y(t) = u(t) ∗ h(t) = u(s)h(t − s)ds
∞
∞
Entonces podemos definir, las siguientes relaciones:
z(t) =
1
a
y(at)
1
a
y(at) = u(at)h(at)
Entonces quedaría:
y(at) = |a|u(at)h(at)
Teorema 6: Propiedad de desplazamiento en el tiempo
u(t + a) ∗ v(t + b) = z(t + a + b)
Donde:
z(t) = u(s)v(t − s)ds
∞
∞
Demostración:
u(t + a) ∗ v(t + b) = u(s + a)v(t + b − s)ds
∞
∞
Aplicando el cambio de variable: s + a = r
u(t + a) ∗ v(t + b) = u(r)v(t + a + b − r)dr
∞
∞
u(t + a) ∗ v(t + b) = z(t + a + b)

5. Teorema 7: Si ( ) ( ) son señales continuas y totalmente integrables en R, entonces su
convolucion ( ) ∗ ( ) es tambien una señal totalmente integrable. Se verifica la
desigualdad.
‖ ( ) ∗ ( )‖ ( ) ≤ ‖ ( )‖ ( )‖ ( )‖ ( )
Antes de demostrar dicho teorema, definimos el teorema de fubini.
Teorema de Fubini:
Afirma que si :
( , ) = ( ) ( )d
Entonces:
( ) ( ) = ( ) ( ) ( , )
Demostración:
Ahora retomemos la demostración:
‖ ( ) ∗ ( )‖ ( ) = | ( ) ∗ ( )|
∞
∞
‖ ( ) ∗ ( )‖ ( ) = ( ) ( − )
∞
∞
∞
∞
‖ ( ) ∗ ( )‖ ( ) ≤ | ( )|| ( − )|
∞
∞
∞
∞
‖ ( ) ∗ ( )‖ ( ) ≤ | ( )|
∞
∞
| ( − )| ( )
∞
∞
‖ ( ) ∗ ( )‖ ( ) ≤ ‖ ( )‖ ( ) | ( − )| =
∞
∞
‖ ( )‖ ( )‖ ( )‖ ( )

6. II. TRANSFORMADA DE FOURIER
Sean las siguientes funciones: ( ) ( ) y sus transformadas de Fourier son:
= ( )
∞
∞
= ( )
∞
∞
Sus transformadas inversas son:
( ) =
1
2
( )
∞
∞
( ) =
1
2
( )
∞
∞
Entonces:
Teorema 1:
∗ = [ ( ) ( )]
Demostración:
∗ = ( ) ( − )
∞
∞
∗ = 2 ( )[
1
2
( ) ( )
∞
∞
∞
∞
]
∗ = 2 ( )[
1
2
( ) ]
∞
∞
∞
∞
∗ = 2
1
2
( ) ( )
∞
∞
∗ = [ ( ) ( )]
Teorema 2:
[ ( ) ∗ ( )] = 2

7. Demostración:
[ ( ) ∗ ( )] = [ ( ) ( − ) ]
∞
∞
[ ( ) ∗ ( )] =
1
2
[
∞
∞
( ) ( − ) ]
∞
∞
Hacemos el siguiente cambio de variable: − = , = + , =
[ ( ) ∗ ( )] =
1
2
[
∞
∞
( ) ( ) ] ( )
∞
∞
[ ( ) ∗ ( )] =
1
2
( )
∞
∞
( )
∞
∞
( )
[ ( ) ∗ ( )] =
1
2
( ) [ ( ) ]
∞
∞
∞
∞
Multiplicamos y dividimos por 2
[ ( ) ∗ ( )] = 2 [
1
2
( ) ][
1
2
( ) ]
∞
∞
∞
∞
[ ( ) ∗ ( )] = ( ) ( )
Teorema 3:
La transformada de Fourier de la convolucion de dos funciones ( ) ( ) es la
multiplicación de las transformadas de Fourier de ambas funciones.
( ) ∗ ( ) = ( ) ( )
Demostración:
( ) ∗ ( ) = [ ( ) ( − ) ]
∞∞
( ) ∗ ( ) = ( )[ ( − ) ]
∞∞
Pero:

8. ( − )
∞
= [ ( − )] = ( )
Finalmente reemplazamos en la expresión:
( ) ∗ ( ) = ( )
∞
( )
( ) ∗ ( ) = ( )
∞
( )
( ) ∗ ( ) = ( ) ( )