Das Dokument behandelt die Bedingungen für die Konvexität und strikt Konvexität von Funktionen sowie deren Kombinationen. Es wird erläutert, dass die Summe zweier konvexer Funktionen nur dann strikt konvex ist, wenn eine der beiden Funktionen strikt konvex ist. Zudem wird erklärt, wie die Epigraphen von konvexen Funktionen zusammenhängen und dass die Epigraphen ein konvexes Set bilden.

1. Aufgabe 3.4
a)
(i)
f convex:
µ · f(λx + (1 − λ)y)
f convex
≤ µ · (λf(x) + (1 − λ)f(y)) = λ(µ · f(x)) + (1 − λ)(µ · f(y))
f strikt convex:
µ · f(λx + (1 − λ)y)
f strikt convex
≤ µ · (λf(x) + (1 − λ)f(y)) = λ(µ · f(x)) + (1 − λ)(µ · f(y))
(ii)
f,g convex:
(f + g)(λx + (1 − λ)y) = f(λx + (1 − λ)y) + g(λx + (1 − λ)y)
f,g convex
≤ (λf(x) + (1 − λ)f(y)) + (λg(x) + (1
Damit f + g strikt convex muss entweder f oder g strikt convex sein. Sei o.B.d.A f
strikt convex:
(f + g)(λx + (1 − λ)y) = f(λx + (1 − λ)y) + g(λx + (1 − λ)y)
g convex
≤ f(λx + (1 − λ)y) + (λg(x) + (1 − λ)g(y))
f strikt convex
< (λf(x) + (1 − λ)f(y)) + (λg(x) + (1 − λ)g(y))
= λ(f(x) + g(x)) + (1 − λ)(f(y) + g(y)
(iii)
f convex, τ steigend:
z.z.: τ ◦ f convex
τ ◦ f)(λx + (1 − λ)y) = τ(f(λx + (1 − λ)y))
f convex, τ steigend
≤ τ(λf(x) + (1 − λ)f(y))
τconvex
≤ λ(τ(f(x)) + (1 − λ)τ(f(y))
= λ((τ ◦ f)(x)) + (1 − λ)(τ ◦ f)(y))
f strikt convex, τ strikt steigend:
z.z.: τ ◦ f strikt convex
(τ ◦ f)(λx + (1 − λ)y) = τ(f(λx + (1 − λ)y))
f convex, τ stiktsteigend
< τ(λf(x) + (1 − λ)f(y))
τconvex
≤ λ(τ(f(x)) + (1 − λ)τ(f(y))
= λ((τ ◦ f)(x)) + (1 − λ)(τ ◦ f)(y))
1

2. b)
z.z.: h : C → R, x → supi∈Ifi(x) convex
Unsere erste Beobachtung ist, dass epi(h) = ∩i∈Iepi(fi).
Begr¨undung:
epi(h) = {(x, y) ∈ C × R : supi∈Ifi(x) ≤ y}
= {(x, y) ∈ C × R : maxi∈I{fi(x)} ≤ y}
= ∩i∈Iepi(fi)
Auserdem wissen wir, dass alle fi, i ∈ I convex sind.
Aufgabe1.2
⇒ epi(fi) sind convex.
Aufgabe2.1a
⇒ ∩i∈Iepi(fi) ist convex.
⇒ epi(h) ist convex.
⇒ h ist convex.
2