Das Dokument behandelt die Konzepte der Faltung und der Fourier-Transformation, einschließlich der Definitionen und Eigenschaften wie Kommutativität, Assoziativität und Distributivität der Faltung. Es erläutert auch Theoreme zur Skalierbarkeit, Zeitverschiebung und Integrabilität der Faltung von Signalen sowie die Beziehung zwischen der Faltung im Zeitbereich und der Multiplikation im Frequenzbereich. Darüber hinaus werden die Inverse Fourier-Transformation und deren Zusammenhang mit der Faltung diskutiert.

1. DEMOSTRACIONES DE CONVOLUCION Y TRANSFORMADA DE FOURIER
I. CONVOLUCION
Sean dos señales u(t) y v(t) totalmente integrales en R, su convolucion esta dada por la siguiente
formula:
(u ∗ v)(t) = ∫ u(s)v(t − s)ds
∞
−∞
Una de las señales debe ser acotadas en R y la otra debe ser totalmente integrable en R.
Teorema 1: La convolución es conmutativa
Demostración. Hacemos el siguiente cambio de variable t − s = λ, de modo que:
u ∗ v̂(t) = ∫ u(s)
∞
−∞
v(t − s)ds = − ∫ u(t − λ)v(λ)dλ
−∞
∞
…. (Cambio de variable)
u ∗ v̂(t) = ∫ v(λ)u(t − λ)dλ =
∞
−∞
v ∗ û(t)
u ∗ v̂(t) = v ∗ û(t)
Teorema 2: La convolucion es asociativa.
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , su convolucion viene dada por:
u(t) ∗ v(t) ∗ w(t) = (u(t) ∗ v(t)) ∗ w(t) = u(t) ∗ (v(t) ∗ w(t))
Demostracion:
Usando la definición de convolucion:
u(t) ∗ h(t) = ∫ u(s)h(t − s)ds
∞
−∞
Tenemos:
C1 = [u(t) ∗ v(t)]∗ w(t) = [∫ u(suv)v(t − suv)dsuv] ∗ w(t)
∞
−∞
La expresión global quedaría:

2. C1 = [u(t) ∗ v(t)] ∗ w(t) = ∫ [∫ u(suv)v(svw − suv)dsuv]w(t − svw)
∞
−∞
∞
−∞
dsvw]
Para:
C2 = u(t) ∗ [v(t) ∗ w(t)] = u(t) ∗ [∫ v(svw)w(t − svw)dsvw]
∞
−∞
C2 = u(t) ∗ [v(t) ∗ w(t)] = ∫ u(suv)[
∞
−∞
∫ v(svw)w(t − suv − svw)dsvw]dsuv
∞
−∞
Lo que yo quiero probar es:
C1 = C2
∫ ∫ u(suv)v(svw − suv)w(t − svw)
∞
−∞
∞
−∞
dsuvdsvw
= ∫ ∫ u(suv)v(svw)w(t − suv − svw)dsvwdsuv
∞
−∞
∞
−∞
Hacemos el siguiente cambio de variable: λ = suv + svw y dλ = dsuv entonces:
C2 = ∫ ∫ u(λ − svw)v(
∞
−∞
∞
−∞
svw)w(t − λ)dλdsvw
Luego hacemos el siguiente cambio de variable: θ = λ − svw y dθ = −dsvw
C2 = −∫ ∫ u(θ)v(λ−
−∞
∞
∞
−∞
θ)w(t − λ)dλdθ
C2 = ∫ ∫ u(θ)v(λ−
−∞
−∞
∞
−∞
θ)w(t − λ)dλdθ
Entonces, nos queda:
∫ ∫ u(suv)v(svw − suv)w(t − svw)
∞
−∞
∞
−∞
dsuvdsvw = ∫ ∫ u(θ)v(λ −
−∞
−∞
∞
−∞
θ)w(t − λ)dλdθ
Teorema 3: La convolucion es distributiva
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , se cumple que:
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t) ∗ v(t) + u(t) ∗ w(t)

3. Demostración:
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = ∫ u(t)[v(t− s) + w(t − s)]ds
∞
−∞
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = ∫ u(t)v(t − s)ds
∞
−∞
+ ∫ u(t)w(t − s)ds
∞
−∞
u(t) ∗ [v(t) + w(t)] = u(t) ∗ v(t) + u(t) ∗ w(t)
Teorema 4: La convolucion es bilineal
Sean tres señales u(t), v(t)y w(t) , se cumple que:
(αu(t) + βv(t)) ∗ w(t) = α(u(t) ∗ w(t)) + β(v(t) ∗ w(t))
Demostración:
(αu(t) + βv(t)) ∗ w(t) = ∫ (αu(s)+ βv(s))w(t − s)ds
∞
−∞
(αu(t) + βv(t)) = ∫ αu(s)w(t − s)ds+ ∫ βv(s)w(t − s)ds
∞
−∞
∞
−∞
(αu(t) + βv(t)) = α(u(t) ∗ w(t) + β(v(t) ∗ w(t))
Teorema 5: Propiedad de escalabilidad
Sea:
y(t) = u(t) ∗ h(t) y z(t) = u(at) ∗ h(at), a > 0
Entonces:
z(t) = ∫ u(as)h(a(t − s))ds
∞
−∞
Demostración:
Haciendo el siguiente cambio de variable: λ = as, ds =
dλ
a
, para a > 0
z(t) =
1
a
∫ u(λ)h(at − λ)dλ
∞
−∞
Donde:

4. y(t) = u(t) ∗ h(t) = ∫ u(s)h(t − s)ds
∞
−∞
Entonces podemos definir, las siguientes relaciones:
z(t) = (
1
a
) y(at)
(
1
a
) y(at) = u(at)h(at)
Entonces quedaría:
y(at) = |a|u(at)h(at)
Teorema 6: Propiedad de desplazamiento en el tiempo
u(t + a) ∗ v(t + b) = z(t + a + b)
Donde:
z(t) = ∫ u(s)v(t − s)ds
∞
−∞
Demostración:
u(t + a) ∗ v(t + b) = ∫ u(s + a)v(t + b − s)ds
∞
−∞
Aplicando el cambio de variable: s + a = r
u(t + a) ∗ v(t + b) = ∫ u(r)v(t + a + b − r)dr
∞
−∞
u(t + a) ∗ v(t + b) = z(t + a + b)
Teorema 7: Si 𝒖( 𝒕) 𝒚 𝒗(𝒕) son señales continuas y totalmente integrables en R, entonces su
convolucion 𝒖( 𝒕) ∗ 𝒗(𝒕) es tambien una señal totalmente integrable. Se verifica la
desigualdad.
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ≤ ‖ 𝑢(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)‖ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)
Antes de demostrar dicho teorema, definimos el teorema de fubini.

5. Teorema de Fubini:
Afirma que si :
𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑓( 𝑥) 𝑔(𝑦)d
Entonces:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑔( 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑦) 𝑑(𝑥, 𝑦)
𝐴𝑋𝐵𝐵𝐴
Demostración:
Ahora retomemos la demostración:
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)‖ 𝐿1( 𝑅) = ∫ | 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)| 𝑑𝑡
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)‖ 𝐿1 ( 𝑅) = ∫ |∫ 𝑢( 𝑠) 𝑣( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠
∞
−∞
| 𝑑𝑡
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣( 𝑡)‖ 𝐿1( 𝑅) ≤ ∫ ∫ | 𝑢( 𝑠)|| 𝑣( 𝑡 − 𝑠)| 𝑑𝑠𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ≤ ∫ {∫ | 𝑢(𝑠)| 𝑑𝑠
∞
−∞
} | 𝑣(𝑡 − 𝑠)| 𝑑𝑡 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹𝑢𝑏𝑖𝑛𝑖)
∞
−∞
‖ 𝑢( 𝑡) ∗ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ≤ ‖ 𝑢(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅) ∫ | 𝑣(𝑡 − 𝑠)| 𝑑𝑡 =
∞
−∞
‖ 𝑢(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)‖ 𝑣(𝑡)‖ 𝐿1
(𝑅)

6. II. TRANSFORMADA DE FOURIER
Sean las siguientes funciones: 𝑓1( 𝑡) 𝑦 𝑓2(𝑡) y sus transformadas de Fourier son:
𝐹1 = ∫ 𝑓1(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
𝐹2 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
Sus transformadas inversas son:
𝑓1( 𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹1 (𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
𝑓2( 𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹2 ( 𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
Entonces:
Teorema 1:
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 𝐹−1
[𝐹1 ( 𝜔) 𝐹2( 𝜔)]
Demostración:
𝑓1 ∗ 𝑓2 = ∫ 𝑓1( 𝑠) 𝑓2( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠
∞
−∞
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 𝑓1( 𝑠)[
1
2𝜋
∫ 𝐹2(𝜔)𝑒 𝑗𝜔(𝑡−𝑠)
∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝜔]𝑑𝑠
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 𝐹2( 𝜔)[
1
2𝜋
∫ 𝑓1(𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑠
𝑑𝑠]𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
∞
−∞
𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫
1
2𝜋
𝐹2( 𝜔) 𝐹1(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
𝒇 𝟏 ∗ 𝒇 𝟐 = 𝟐𝝅𝑭−𝟏
[𝑭 𝟏( 𝝎) 𝑭 𝟐( 𝝎)]
Teorema 2:
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 2𝜋𝑓1 𝑓2

7. Demostración:
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2 ( 𝜔)] = 𝐹−1
[∫ 𝐹1( 𝑠) 𝐹2( 𝜔 − 𝑠) 𝑑𝑠]
∞
−∞
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ [
∞
−∞
∫ 𝐹1( 𝑠) 𝐹2 ( 𝜔 − 𝑠) 𝑑𝑠]𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
∞
−∞
Hacemos el siguiente cambio de variable: 𝜔 − 𝑠 = 𝑥, 𝜔 = 𝑥 + 𝑠, 𝑑𝜔 = 𝑑𝑥
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ [
∞
−∞
∫ 𝐹1 ( 𝑠) 𝐹2( 𝑥) 𝑑𝑠]𝑒 𝑗(𝑥+𝑠)𝑡
𝑑𝑥
∞
−∞
𝐹−1[ 𝐹1 ( 𝜔)∗ 𝐹2 ( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ 𝐹1 ( 𝑠)
∞
−∞
∫ 𝐹2(𝑥)
∞
−∞
𝑒 𝑗( 𝑥+𝑠) 𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑠
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2 ( 𝜔)] =
1
2𝜋
∫ 𝐹1 ( 𝑠) 𝑒 𝑗𝑠𝑡
[∫ 𝐹2(𝑥)𝑒 𝑗𝑥𝑡
𝑑𝑥]𝑑𝑠
∞
−∞
∞
−∞
Multiplicamos y dividimos por 2𝝅
𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 2𝜋[
1
2𝜋
∫ 𝐹1( 𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔][
1
2𝜋
∫ 𝐹2 (𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔]
∞
−∞
∞
−∞
𝑭−𝟏[ 𝑭 𝟏( 𝝎)∗ 𝑭 𝟐( 𝝎)] = 𝟐𝝅𝒇 𝟏( 𝒕) 𝒇 𝟐(𝒕)
Teorema 3:
La transformada de Fourier de la convolucion de dos funciones 𝒇 𝟏( 𝒕) 𝒚 𝒇 𝟐(𝒕) es la
multiplicación de las transformadas de Fourier de ambas funciones.
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = 𝐹1( 𝜔) 𝐹2 (𝜔)
Demostración:
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ [∫ 𝑓1( 𝑠) 𝑓2( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠]𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠)[∫ 𝑓2(𝑡 − 𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡]𝑑𝑠
∞
−∞
∞
−∞
Pero:

8. ∫ 𝑓2(𝑡 − 𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝐹[ 𝑓2( 𝑡 − 𝑠)] = 𝐹2 (𝜔)𝑒−𝑗𝜔𝑠
Finalmente reemplazamos en la expresión:
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2 ( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠)
∞
−∞
𝐹2( 𝜔) 𝑒−𝑗𝜔𝑠
𝑑𝑠
𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2 ( 𝑡)) = ∫ 𝑓1 ( 𝑠)
∞
−∞
𝑒−𝑗𝜔𝑠
𝑑𝑠𝐹2(𝜔)
𝑭(𝒇 𝟏( 𝒕)∗ 𝒇 𝟐( 𝒕)) = 𝑭 𝟏( 𝝎) 𝑭 𝟐(𝝎)