1. TUGAS I
KALKULUS LANJUT
DOSEN PENGAMPUH
Prof. Dr. P. Siagian, M.Pd
Oleh
NAMA : RONI PRIYANDA
NIM : 8156172034
KELAS : B - 2
PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA
PENDIDIKAN MATEMATIKA PASCA SARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015

2. 1. F(t) = Cos at
Dengan cara integral parsial∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
Missal u=cos at dv=𝑒−𝑠𝑡
du=-asin at v=−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
cos at.(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) − ∫ −1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡 (−asin 𝑎𝑡) 𝑑𝑡∞
0
cos at.(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) −
𝑎
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡𝑑𝑡∞
0
u=sin at dv=𝑒−𝑠𝑡
du=a cos at v=−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
cos at(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) −
𝑎
𝑠
[−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡 +
𝑎
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
]
cos at(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) +
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡 −
𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
karena integral parsial suda kembali ke bentuk awal,
maka
∫ 𝑒−𝑠𝑡
. cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
cosat+
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
. 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡 −
𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
+
𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
. cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
cos at+
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡
𝑠2
+𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡 =
∞
0
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
cos at+
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡 x
𝑠2
𝑠2+𝑎2
∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡 =
∞
0
[−
𝑠
𝑠2+𝑎2 𝑒−𝑠𝑡
cos at +
𝑎
𝑠2 +𝑎2 𝑒−𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡]0
∞
Note 𝒆−∞ = 0 =[(−0 + 0) − (−
𝑠
𝑠2 +𝑎2 𝑒0
.1 + 0)]
=
𝒔
𝒔 𝟐+𝒂 𝟐
Laplace
1. F(t) = Cos at
Dengan cara euler
𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒕 =
𝟏
𝟐
( 𝒆𝒊𝒂𝒕
+ 𝒆−𝒊𝒂𝒕)
L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
.
1
2
(𝑒 𝑖𝑎𝑡
+ 𝑒−𝑖𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
∫ 𝑒−𝑠𝑡
(𝑒 𝑖𝑎𝑡
+ 𝑒−𝑖𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
∫ 𝑒−𝑠𝑡+𝑖𝑎𝑡
+ 𝑒−𝑠𝑡−𝑖𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
∫ 𝑒−𝑡(𝑠−𝑖𝑎)
+ 𝑒−𝑡(𝑠+𝑖𝑎)
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
[−
1
𝑠−𝑖𝑎
𝑒−𝑡(𝑠−𝑖𝑎)
−
1
𝑠+𝑖𝑎
𝑒−𝑡(𝑠+𝑖𝑎)
]0
∞
=
1
2
[(0 − 0) − (−
1
𝑠 − 𝑖𝑎
𝑒0
−
1
𝑠 + 𝑖𝑎
𝑒0
)]
=
1
2
[
1
𝑠−𝑖𝑎
. 1 +
1
𝑠+𝑖𝑎
. 1)]
=
1
2
[
𝑠+𝑖𝑎+𝑠−𝑖𝑎
( 𝑠−𝑖𝑎)(𝑠+𝑖𝑎)
]
=
1
2
[
𝑠 +𝑠
( 𝑠−𝑖𝑎)(𝑠+𝑖𝑎)
] note i.i=-1
=
1
2
[
2𝑠
𝑠2 —(−1.𝑎2)
]
=
𝒔
𝒔 𝟐+𝒂 𝟐

3. 2. F(t) = sin at
Dengan cara euler
𝐬𝐢𝐧 𝒂𝒕 =
𝟏
𝟐𝒊
( 𝒆𝒊𝒂𝒕
− 𝒆−𝒊𝒂𝒕)
L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
.
1
2
(𝑒 𝑖𝑎𝑡
− 𝑒−𝑖𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
∫ 𝑒−𝑠𝑡
(𝑒 𝑖𝑎𝑡
− 𝑒−𝑖𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
∫ 𝑒−𝑠𝑡+𝑖𝑎𝑡
− 𝑒−𝑠𝑡−𝑖𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
∫ 𝑒−𝑡(𝑠−𝑖𝑎)
− 𝑒−𝑡(𝑠+𝑖𝑎)
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
2
[−
1
𝑠−𝑖𝑎
𝑒−𝑡(𝑠−𝑖𝑎)
+
1
𝑠+𝑖𝑎
𝑒−𝑡(𝑠+𝑖𝑎)
]0
∞
=
1
2𝑖
[(−0 + 0) − (−
1
𝑠 − 𝑖𝑎
𝑒0
+
1
𝑠 + 𝑖𝑎
𝑒0
)]
=
1
2𝑖
[
1
𝑠−𝑖𝑎
. 1 −
1
𝑠+𝑖𝑎
. 1)]
=
1
2𝑖
[
𝑠+𝑖𝑎−(𝑠−𝑖𝑎)
( 𝑠−𝑖𝑎)(𝑠+𝑖𝑎)
]
=
1
2𝑖
[
2𝑖𝑎
( 𝑠−𝑖𝑎)(𝑠+𝑖𝑎)
] note i.i=-1
=
1
2𝑖
[
2𝑖𝑎
𝑠2—(−1.𝑎2 )
]
=
𝒂
𝒔 𝟐+𝒂 𝟐
2. F(t) = sin at
Dengan cara integral parsial∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
Missal u=sin at dv=𝑒−𝑠𝑡
du=acos at v=−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
sin at.(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) − ∫ −1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡 acos 𝑎𝑡𝑑𝑡∞
0
sin at.(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) +
𝑎
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡∞
0
u=cos at dv=𝑒−𝑠𝑡
du=-asin at v=−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
sin at(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) +
𝑎
𝑠
[−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 −
𝑎
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
]
sin at(−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
) −
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 −
𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
karena integral parsial suda kembali ke bentuk awal, maka
∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
sinat−
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 −
𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
+
𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
sin at−
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡
𝑠2
+𝑎2
𝑠2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡 =
∞
0
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
sin at -
𝑎
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 x
𝑠2
𝑠2+𝑎2
∫ 𝑒−𝑠𝑡
sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡 =
∞
0
[−
𝑠
𝑠2 +𝑎2 𝑒−𝑠𝑡
sin at −
𝑎
𝑠2 +𝑎2 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡]0
∞
Note 𝒆−∞ = 0 =[(−0 + 0) − (−0 −
𝑎
𝑠2+𝑎2 𝑒0
. 1)]
=
𝒂
𝒔 𝟐+𝒂 𝟐
3. F(t) = Cosh at
Dengan cara euler
𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒂𝒕 =
𝟏
𝟐
( 𝒆 𝒂𝒕
+ 𝒆−𝒂𝒕)
L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
.
1
2
(𝑒 𝑎𝑡
+ 𝑒−𝑎𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
3. F(t) = Cosh at
Dengan cara integral parsial∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
cos ℎ 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
Missal u=cos hat dv=𝑒−𝑠𝑡
du=asin hat v=−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
1 −𝑠𝑡 1 −𝑠𝑡∞