Nbhm ph.d 2016

1. NBHM Ph.D. 2016
( )( ) ( )( )
. /
( )
( )
( )
( ) * +
( )
( )
, -
( )
, -
( )
( ) ( )
̂ ( )
( ) ̂
( ) ̂
( ) ( ) 2
( )
( ) ( ) * +
( )
( )

2. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1
* + | ( ) |
, - , , ∫ ( )
( ) * ( )+ ( ) ( )
( ) ∑ ( )
( ) ( ) | |
∫ ( ) ∫ . / ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) , - ( ) {
( )
( ) , -
( ) ( ) ∫
* +
( )
( )

3. ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
( )
( )
( )
( )
* +
* +
( ) ( )
( )
( ) ( ) | |
| ( )| | |
* +
( ) ( ) {
, -
, -
, -
{ | ∫ | ( )| }
( ) ( ) , -
( ) ( ) , -
( ) {
, -
( ) * + ( ) * +

4. ( ) * +
( )
( )
( ) , -
( ) ⋃ ( )
( ) ( ) ( )
( ) * ( )| + ( )
( )
( ) {( ) | } *( )+
( ) *( ) | + *( ) | +
( ) *( ) | + *( ) | +
( ) ⋃*( ) | +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) * ( )| ( ) +
( ) , - ( )
{ , -| ∫ ( ) ( ) , -}
(- -)
( )
( )

5. ( ) *( ) | ( )+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
*( ) | +
( ) *( ) | + ( ) *( ) | +
( ) *( ) | +
Section 4: Calculus and Differential Equations
∫
0 1
, - , - ∬ ( )
∫ ∫ ( )
( ) ( )
∫ ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
( )
( )

6. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Section 5: Miscellaneous
( )
. / ∑ . /
( )
( ) ( )
( ) { ∫ ( )
Which of the following numbers are rational?
( ) ( ) ( )