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∫
(𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3)
( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥
A la integral dadaexpresaremosasi:
∫
(𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3)
( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 = ∫(
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
( 𝑥 + 1)2 +
𝐶
𝑥 − 2
+
𝐷
( 𝑥 − 2)2)𝑑𝑥
AhoracalculandolasconstantesA,B, C y D.
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3
( 𝑥 + 1)2( 𝑥 − 2)2 =
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
( 𝑥 + 1)2 +
𝐶
𝑥 − 2
+
𝐷
( 𝑥 − 2)2
=
𝐴( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)2 + 𝐵( 𝑥 − 2)2 + 𝐶( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 1)2 + 𝐷( 𝑥 + 1)2
( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2
Ahoraigualandolosnumeradoresse tiene:
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 𝐴( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)2 + 𝐵( 𝑥 − 2)2 + 𝐶( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 1)2 + 𝐷( 𝑥 + 1)2
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3
= ( 𝐴 + 𝐶) 𝑥3 + (−2𝐴 + 𝐵 + 𝐷) 𝑥2 + (−4𝐴 − 3𝐶 + 2𝐷) 𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶 + 𝐷
Por laidentidadde polinomiosse tiene:
Luegoreemplazandolosvaloresde A,B,C y D en(1):
∫
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3
( 𝑥 + 1)2( 𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 = −
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∫
𝑑𝑥
𝑥 + 1
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9(𝑥 − 2)
+ 𝑐
8)
∫
( 𝑥2 + 2) 𝑑𝑥
( 𝑥 + 1)3(𝑥 − 2)
Solución
A la integral dadaexpresemosasi:
∫
( 𝑥2 + 2) 𝑑𝑥
( 𝑥 + 1)3(𝑥 − 2)
= ∫(
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
(𝑥 + 1)2 +
𝐶
(𝑥 + 1)3 +
𝐷
𝑥 − 2
)𝑑𝑥 …. (1)
AhoracalculandolascostantesA,B, C y D.
( 𝑥2 + 2)
( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2)
=
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
(𝑥 + 1)2 +
𝐶
(𝑥 + 1)3 +
𝐷
𝑥 − 2
=
𝐴( 𝑥 + 1)2( 𝑥− 2) + 𝐵( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2) + 𝐶( 𝑥 − 2) + 𝐷(𝑥 + 1)3
( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2)
Igualandolosnumeradoresse tiene:
𝑥2 + 2 = 𝐴( 𝑥3 − 3𝑥 − 2) + 𝐵( 𝑥2 − 𝑥 − 2) + 𝐶( 𝑥 − 2) + 𝐷(𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1)
𝑥2 + 2 = ( 𝐴 + 𝐷) 𝑥3 + ( 𝐵 + 3𝐷) 𝑥2 + (−2𝐴 − 𝐵 + 3𝐷) 𝑥 − 2𝐴 − 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷
Luegoreemplazandoosvaloresde A,B,C y D en (1):
∫
( 𝑥2 + 2)
( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2)
= −
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∫
𝑑𝑥
𝑥 + 1
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(𝑥 + 1)2 − ∫
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ln| 𝑥 + 1| −
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  • 1. 7) ∫ (𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3) ( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 A la integral dadaexpresaremosasi: ∫ (𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3) ( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 = ∫( 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 ( 𝑥 + 1)2 + 𝐶 𝑥 − 2 + 𝐷 ( 𝑥 − 2)2)𝑑𝑥 AhoracalculandolasconstantesA,B, C y D. 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ( 𝑥 + 1)2( 𝑥 − 2)2 = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 ( 𝑥 + 1)2 + 𝐶 𝑥 − 2 + 𝐷 ( 𝑥 − 2)2 = 𝐴( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)2 + 𝐵( 𝑥 − 2)2 + 𝐶( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 1)2 + 𝐷( 𝑥 + 1)2 ( 𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)2 Ahoraigualandolosnumeradoresse tiene: 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 𝐴( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)2 + 𝐵( 𝑥 − 2)2 + 𝐶( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 1)2 + 𝐷( 𝑥 + 1)2 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = ( 𝐴 + 𝐶) 𝑥3 + (−2𝐴 + 𝐵 + 𝐷) 𝑥2 + (−4𝐴 − 3𝐶 + 2𝐷) 𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 Por laidentidadde polinomiosse tiene: Luegoreemplazandolosvaloresde A,B,C y D en(1): ∫ 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ( 𝑥 + 1)2( 𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 = − 5 27 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 + 1 − 1 9 ∫ 𝑑𝑥 ( 𝑥 + 1)2 + 32 27 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 − 2 + 5 9 ∫ 𝑑𝑥 ( 𝑥 − 2)2 = 5 27 ln| 𝑥 + 1| + 1 9(𝑥 + 1) + 32 27 ln| 𝑥 − 2| + 5 9(𝑥 − 2) + 𝑐 8) ∫ ( 𝑥2 + 2) 𝑑𝑥 ( 𝑥 + 1)3(𝑥 − 2) Solución A la integral dadaexpresemosasi:
  • 2. ∫ ( 𝑥2 + 2) 𝑑𝑥 ( 𝑥 + 1)3(𝑥 − 2) = ∫( 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 (𝑥 + 1)2 + 𝐶 (𝑥 + 1)3 + 𝐷 𝑥 − 2 )𝑑𝑥 …. (1) AhoracalculandolascostantesA,B, C y D. ( 𝑥2 + 2) ( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2) = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 (𝑥 + 1)2 + 𝐶 (𝑥 + 1)3 + 𝐷 𝑥 − 2 = 𝐴( 𝑥 + 1)2( 𝑥− 2) + 𝐵( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2) + 𝐶( 𝑥 − 2) + 𝐷(𝑥 + 1)3 ( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2) Igualandolosnumeradoresse tiene: 𝑥2 + 2 = 𝐴( 𝑥3 − 3𝑥 − 2) + 𝐵( 𝑥2 − 𝑥 − 2) + 𝐶( 𝑥 − 2) + 𝐷(𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1) 𝑥2 + 2 = ( 𝐴 + 𝐷) 𝑥3 + ( 𝐵 + 3𝐷) 𝑥2 + (−2𝐴 − 𝐵 + 3𝐷) 𝑥 − 2𝐴 − 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 Luegoreemplazandoosvaloresde A,B,C y D en (1): ∫ ( 𝑥2 + 2) ( 𝑥 + 1)3(𝑥− 2) = − 2 9 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 + 1 + 1 3 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)2 − ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)3 + 2 9 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 − 2 = 2 9 ln| 𝑥 + 1| − 1 3( 𝑥 + 1) + 1 2( 𝑥 + 2)2 + 2 9 ln| 𝑥 − 2| + 𝑐 = 2 9 ln| 𝑥 − 2 𝑥 + 1 | − (2𝑥2 + 5𝑥 − 5) 6( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 2)2 + 𝑐