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Ableitungsregeln
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Analysis – Ableitungsregeln Grundfunktionen
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Analysis – Beispiele aus Abitur Bayern 2017 Teil B A1+A2
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  • 2. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 2 Analysis – Ableitungsregeln Grundfunktionen Ableiten Potenzfunktion Trigonometrische Funktionen e-Funktion ln-Funktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion xr ( )' = r ⋅ xr−1 sin(x)( )' = cos(x) cos(x)( )' = −sin(x) ex ( )' = ex ln(x)( )' = 1 x ax ( )' = ax ⋅ln(a) loga (x)( )' = 1 x ⋅ln(a)
  • 3. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 3 Analysis – Ableitungsregeln Übersicht Ableiten Summenregel Faktorregel ProduktregelQuotientenregel Kettenregel f(x) = u(x) + v(x) f '(x) = u'(x) + v'(x) f(x) = c ⋅u(x) f '(x) = c ⋅u'(x) f(x) = u(x)⋅ v(x) f '(x) = u'(x)⋅ v(x) + v'(x)⋅u(x) f(x) = u(x) v(x) f '(x) = u'(x)⋅ v(x) −u(x)⋅ v'(x) [v(x)]2 f(x) = u(v(x)) f '(x) = u'(v(x))⋅ v'(x)
  • 4. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 4 Analysis – Beispiele mit e-Fkt und ganzrat. Fkt u(x) = ex v(x) = x2 Ableiten Summenregel Faktorregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel f(x) = ex + x2 f '(x) = ex + 2x f(x) = 2ex + 3x2 f '(x) = 2ex + 3⋅ 2x = 2ex + 6x f(x) = 2ex ⋅3x2 f '(x) = 2ex ⋅3x2 + 6x ⋅ 2ex = 6x2 ex +12xex = 6xex (x + 2) f(x) = 2ex 3x2 f '(x) = 2ex ⋅3x2 − 2ex ⋅ 6x (3ex )2 = 6x2 ex −12xex 9e2x f(x) = e2x f '(x) = e2x ⋅ 2 = 2e2x
  • 5. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 5 Analysis – Beispiele mit ln-Fkt und ganzrat. Fkt u(x) = ln(x) v(x) = x3 − x Ableiten Summenregel Faktorregel ProduktregelQuotientenregel Kettenregel f(x) = ln(x) + x3 − x f '(x) = 1 x + 3x2 −1 f(x) = 2ln(x) + 4x3 − 3x f '(x) = 2 x +12x2 − 3 f(x) = 2ln(x)⋅(4x3 − 3x) f '(x) = 2 x ⋅(4x3 − 3x) + 2ln(x)⋅(12x2 − 3) f(x) = 2ln(x) 4x3 − 3x f '(x) = 2 x ⋅(4x3 − 3x) − 2ln(x)⋅(12x2 − 3) (4x3 − 3x)2 f(x) = 2ln(4x3 − 3x) f '(x) = 2 4x3 − 3x ⋅(12x2 − 3) = 24x2 − 6 4x3 − 3x
  • 6. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 6 Analysis – Beispiele mit sin-Fkt und e. Fkt u(x) = sin(x) v(x) = e−x Ableiten Summenregel Faktorregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel f(x) = sin(x) + e−x f '(x) = cos(x) + e−x ⋅(−1) = cos(x) − e−x f(x) = 2sin(x) − 3e−x f '(x) = 2cos(x) − 3e−x ⋅(−1) = 2cos(x) + 3e−x f(x) = 2sin(x)⋅e−x f '(x) = 2cos(x)⋅e−x + 2sin(x)⋅e−x ⋅(−1) 2e−x (cos(x) − sin(x)) f(x) = 2sin(x) e−x f '(x) = 2cos(x)⋅e−x − 2sin(x)⋅e−x ⋅(−1) (e−x )2 = 2e−x ⋅(cos(x) + sin(x)) (e−x )2 = 2(cos(x) + sin(x)) e−x = 2ex (cos(x) + sin(x))) f(x) = 2sin(e−x ) f '(x) = 2cos(e−x )⋅e−x = 2e−x cos(e−x ) Besser : Pr oduktregel f(x) = 2sin(x) e−x = 2sin(x)⋅ex f '(x) = 2cos(x)⋅ex + 2sin(x)⋅ex = 2ex (cos(x) + sin(x))
  • 7. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 7 Analysis – Beispiele aus Abitur Bayern 2018 Teil B A1+A2 f(x) = 2 (lnx)2 −1( ) f(x) = 2 (lnx)2 −1( ) Faktor Summenregel (lnx)2 Kettenregel u(v(x)( )' = u'(v(x))⋅ v(x) = 2(lnx)⋅ 1 x −1 Potenzregel 0 f '(x) = 2 2(lnx)⋅ 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 4 x lnx( ) f(x) = 1 18 ⋅(x3 −15x2 +50x) Faktor Summenregel Ganzrationale Funktion f '(x) = 1 18 (3x2 −30x +50) f(x) = 1 18 ⋅(x3 −15x2 +50x) u(x) = x2 v(x) = lnx
  • 8. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 8 Analysis – Beispiele aus Abitur Bayern 2017 Teil B A1+A2 f(x) = 3x −1+lnx( ) Produktregel (Oder Ausmultiplizieren -> Summenregel mit Produktregel) u(x) = 3x Potenzregel u'(x) = 3 v(x) = −1+lnx Summenregel + Ableitung ln v'(x) = 1 x f '(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) = 3 −1+lnx( )+ 1 x ⋅3x = −3+3lnx +3 = 3lnx f(x) = 2e−x 2e−x −1( ) f '(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) = −2e−x 2e−x −1( )+(−2e−x )⋅ 2e−x = 2e−x 1− 2e−x ( )− 2e−x ⋅ 2e−x = 2e−x 1− 2e−x − 2e−x ( ) = 2e−x 1− 4e−x ( ) f(x) = 3x −1+lnx( ) f(x) = 2e−x 2e−x −1( ) Produktregel (Oder Ausmultiplizieren -> Summenregel mit Produktregel) u(x) = 2e−x Faktor- und Kettenregel u'(x) = 2e−x ⋅(−1) = −2e−x v(x) = 2e−x −1 Faktor- und Kettenregel v'(x) = 2e−x ⋅(−1) = −2e−x