Das Dokument beschreibt das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion durch iterative Annäherung mittels Tangenten. Dabei wird eine Tangente an einem Punkt gelegt, um deren Nullstelle zu finden, und dieser Prozess wird wiederholt, um die Genauigkeit zu erhöhen. Das Verfahren erfordert einen geeigneten Startwert in einem streng monotonen Intervall, um korrekt zu funktionieren.

1. www.vom-mathelehrer.de
Analysis
Newton-Verfahren zur Bestimmung
von Nullstellen
www.vom-mathelehrer.de 1

2. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 2
Analysis - Idee
• An den Graphen Gf wird im Punkt A eine Tangente a gelegt.
• Zu der Nullstelle dieser Tangenten a wird der zugehörige y-Wert der Funktion f berechnet. Daraus ergibt
sich der Punkt B.
• An den Graphen Gf wird nun im Punkt B eine Tangente b gelegt.
• Zu der Nullstelle dieser Tangenten b wird der zugehörige y-Wert der Funktion f berechnet.
• Daraus ergibt sich der Punkt C.
• An den Graphen Gf wird nun im Punkt C eine Tangente c gelegt.
• Wird das Verfahren nun öfters wiederholt, so kommt man mit beliebiger Genauigkeit die Nullstelle von f
bestimmen. Die Nullstelle von c ist im Bild nun schon sehr Nahe an der Nullstelle von f.
• Das Verfahren funktioniert nur, wenn der Startwert, also die Nullstelle von A in dem streng monotonen
Intervall (und ohne Definitionslücke in diesem Intervall) liegt, in dem auch die Nullstelle von f liegt.

3. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 3
Analysis – Mathematischer Hintergrund
Annäherung an die Nullstelle der Funktion durch die
Nullstellen der Tangenten.
Für eine Tangente gilt:
y = mx + t
An der Stelle x0
gilt :
f(x0
) = m⋅ x0
+ t
t = −m⋅ x0
+ f(x0
)
Einsetzen in die
Tangentengleichung:
y = mx −mx0
+ f(x0
)
y = m(x − x0
) + f(x0
)
y = f '(x0
)(x − x0
) + f(x0
)
Die Tangente schneidet die x-Achse, wenn:
f '(x0
)(x − x0
) + f(x0
) = 0
f '(x0
)(x − x0
) = −f(x0
)
x − x0
= −
f(x0
)
f '(x0
)
x = x0
−
f(x0
)
f '(x0
)
Mit diesem x-Wert als Startwert
x1 wird die Rechnung wiederholt
und es gilt allgemein:
xn+1
= xn
−
f(xn
)
f '(xn
)

4. www.vom-mathelehrer.de
www.vom-mathelehrer.de 4
Analysis – Vorgehen
n xn f(xn) f‘(xn) f(xn)
f‘(xn)
xn+1
0 1 -0,5 3 -0,166666667 1,166666667
1 1,166666667 -0,078703704 2,083333333 -0,037777778 1,204444444
2 1,204444444 -0,003513986 1,898725926 -0,001850707 1,206295152
3 1,206295152 -8,16828E-06 1,889902158 -4,32206E-06 1,206299474
Bsp: f(x)=x3-6x2+12x-7,5
f‘(x)=3x2-12x+12
Günstiger Startwert x0=1 , da f(0)=-7,5 und f(2)=0,5 und f streng monoton fallend im Intervall I=]0; 2[
(f‘ wird betrachtet für die Monotonie)
xn+1
= xn
−
x3
− 6x2
+12x − 7,5
3x2
−12x +12
Nullstelle: x≈1,20629