Differenzenquotient, Differentialquotient, Differenzierbarkeit

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Analysis
Änderungsraten
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Analysis – Mittlere Änderungsrate
Ist die Funktion f indem Intervall [a; b] definiert, so heißt der Differenzenquotient (die
mittlere Änderungsrate/durchschnittliche Änderung) von f im Intervall [a; b] (Quotient zweier
Differenzen: Differenzenquotient).
(Steigungsdreieck einer Geraden) entspricht der
Steigung der Sekanten durch die Punkte A(a|f(a)) und B(b|f(b)).
f(b) − f(a)
b − a
m =
f(b) − f(a)
b − a
=
Δy
Δx
=
"Höhenunterschied"
"waagrechter Unterschied"

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Analysis – Lokale Änderungsrate
Es muss gelten, dass wenn sich b immer weiter an a annähert (von beiden Seiten), sich auch f(b)
immer weiter an f(a) annähert. Wird der Unterschied zwischen a und b (und somit auch zwischen
f(a) und f(b) immer kleiner , so wird aus der Sekante eine Tangente an den Graphen. Existiert
eben dieser Grenzwert, so bezeichnet man als den Differentialquotienten (lokale
Änderungsrate) von f an der Stelle a. ma ist dann die Steigung des Graphen im Punkt
A(a|f(a)).
lim
b→a
f(b) − f(a)
b − a

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Analysis –Änderungsrate Bsp.
Bestimmen Sie für f: f(x)=2x2:
• Die mittlere Änderungsrate im Intervall I=[2; 4],
• die lokale Änderungsrate f‘(2) an der Stelle x0=2.
m =
f(b) − f(a)
b − a
=
f(4) − f(2)
4 − 2
=
2⋅ 42
− 2⋅ 22
4 − 2
=
32−8
2
=12
f '(x0
) = lim
x→x0
f(x) − f(x0
)
x − x0
= lim
x→2
f(x) − f(2)
x − 2
= lim
x→2
2x2
− 2⋅ 22
x − 2
=
= lim
x→2
2(x2
− 4)
x − 2
= lim
x→2
2(x + 2)(x − 2)
x − 2
= lim
x→2
2(x + 2) = 2⋅(2+ 2) = 8

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Analysis – Differenzierbarkeit
lim
x→0
<
f(x) − f(0)
x −0
= lim
x→0
<
−x −0
x −0
= lim
x→0
<
−1= −1
lim
x→0
>
f(x) − f(0)
x −0
= lim
x→0
>
x −0
x −0
= lim
x→0
>
1=1
Da der linksseitige und der rechtsseitige
Grenzwert verschieden sind, existiert der
Grenzwert nicht.lim
x→0
f(x) − f(0)
x −0
Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der Differentialquotient
existiert. -> Die Funktion des abgebildeten Graphen ist nicht differenzierbar an der Stelle x=0.
Für IR- und IR+ ist die Funktion jedoch jeweils differenzierbar.
Man nennt den Grenzwert die Ableitung von f an der Stelle x0. Man schreibt f’(x0).
Eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion f ist für alle Werte x0 des Intervalls
differenzierbar.
mx0
= lim
x→0
f(x) − f(x0
)
x − xo
mx0