00 abiturvorbereitung analysis uebersicht
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- 2. www.vom-mathelehrer.de Analysis - Mindmap ©www.vom-mathelehrer.de2 Veränderung des Funktions- terms und Einfluss auf den Graphen (Stauchung Streckung Spiegelung Verschiebung) Analysis Funktionen/ Funktionen- scharen Ganzrationale Exponential Logarithmus Wurzel Trigonometrische Gebrochenrationale Verknüpfungen Kurven untersuchen Definitionsmenge Asymptoten/Ränder Definitionsbereich Symmetrie Nullstellen Achsenabschnitte Extrempunkte Wendepunkte Tangenten Krümmung Monotonie Kurvenscharen Umkehrfunktion Differenzieren/Abl eiten Produktregel Kettenregel Quotientenregel Tangentensteigung Lokale Änderungsrate Graphisches Ableiten Integrieren Stammfunktion und Integralfunktion ermitteln Flächenberechnung Gesamtänderung Stammfunktion abbilden Gleichungen ganzrationale Lineare Gleichungssysteme Exponential- /Logarithmusgleichunge n Anwendungen Extremwertaufgaben Wachstums- und Abklingprozesse; Verdopplungs- und Halbwertzeit Änderungsraten Newtonverfahren Modellieren von Funktionen
- 3. www.vom-mathelehrer.de Analysis –Funktionenübersicht Funktionstypen Lineare Funktion (ganzrationale Funktion ersten Grades) Quadratische Funktion (Ganzrationale Funktion zweiten Grades) Ganzrationale Funktion höheren Grades Gebrochen rationale Funktionen (Bruch- funktionen)Trigo- nometrische Funktionen (Sin,Cos) Exponential- funktion Logarithmus- funktion Wurzel- funktion f(x) = mx + t f(x) = ax2 +bx + c (Normalform) f(x) = a(x − d)2 + e (Scheitelpunktform) f(x) = a(x − x1 )(x − x2 ) (Nullstellenform) f(x) = an xn + an−1 xn−1 +...+ a1 x + a0 (Normalform) f(x) = a(x − x1 ) k1 ⋅(x − x2 ) k2 ⋅...⋅(x − xn ) kn (Nullstellenform) k1 ,...,kn heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN) f(x) = az xz + az−1 xz−1 +...+ a1 x + a0 bn xn +bn−1 xn−1 +...+b1 x +b0 (Quotient ganzrationaler Funktionen Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen und Definitionslücken sofort ablesen) f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d f(x) = ex g(x) = a⋅ebx−c + d f(x) = ln(x) g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d f(x) = xn = x 1 n g(x) = a⋅ b⋅ x − cn + d www.vom-mathelehrer.de 2
- 4. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 2 Analysis –Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen Streckung/Stauchung y-Richtung („Zommen mit Daumen und Zeigefinger“) Streckung/Stauchung x-Richtung („Zommen mit Zeige- und Mittelfinger“) Verschiebung in x-Richtung („App durch links-/rechtswischen wechseln“) Verschiebung in y-Richtung („Alle Apps durch nach oben/unten wischen schließen“) y=f(x) y = f b⋅ x( ) y = a⋅ f x( ) y = f x + c( ) y = f x( )+ d y = a⋅ f b⋅ x + c( )+ d a>1 0<a<1 -1<a<0: Spiegelung an x-Achse; Stauchung a<-1: Spiegelung an x-Achse; Streckung b>1 Stauchung 0<b<1 Streckung -1<b<0: Spiegelung an y-Achse; Streckung b<-1: Spiegelung an y-Achse; Stauchung c<0 c>0 d>0 d<0 a=-1: Spiegelung an x-Achse b=-1: Spiegelung an y-Achse
- 5. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 3 Analysis -Struktur • Stammfunktionen: • Integralfunktion: • Flächenbilanz: • Flächenberechnung: Schnittstellen mit x-Achse bzw. anderen Graphen beachten • Gesamtänderung Stammfunktion F • Definitionsmenge • Nullstellen/Achsenabschnittspunkte • Symmetrie • Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge/Definitionslücken • Verschiebung des Graphen • Umkehrfunktion • Mittlere Änderungsrate Funktion f • Steigung • Monotonie • Tangenten • Extrema/Extremwertprobleme • Lokale Änderungsrate • Newton-Verfahren 1. Ableitung f‘ • Krümmung • Wendepunkte • Art der Extrema 2. Ableitung f‘‘ • Evtl. Bestätigung der Wendepunkte 3. Ableitung f‘‘‘ Aufleiten Ableiten Summenregel Faktorregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Verkettete Funktionen f(x)dx = F(b) −F(a) a b ∫ f(x)dx∫ = F(x) +C f(t)dt = F(x) −F(a) a x ∫ ; feste untere Grenze a