01.3 abiturvorbereitung analysis wurzelfkt2
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- 2. www.vom-mathelehrer.de Analysis –Funktionenübersicht Funktionstypen Lineare Funktion (ganzrationale Funktion ersten Grades) Quadratische Funktion (Ganzrationale Funktion zweiten Grades) Ganzrationale Funktion höheren Grades Gebrochen rationale Funktionen (Bruch- funktionen)Trigo- nometrische Funktionen (Sin,Cos) Exponential- funktion Logarithmus- funktion Wurzel- funktion f(x) = mx + t f(x) = ax2 +bx + c (Normalform) f(x) = a(x − d)2 + e (Scheitelpunktform) f(x) = a(x − x1 )(x − x2 ) (Nullstellenform) f(x) = an xn + an−1 xn−1 +...+ a1 x + a0 (Normalform) f(x) = a(x − x1 ) k1 ⋅(x − x2 ) k2 ⋅...⋅(x − xn ) kn (Nullstellenform) k1 ,...,kn heißen Vielfachheit der Nullstellen (∈ IN) f(x) = az xz + az−1 xz−1 +...+ a1 x + a0 bn xn +bn−1 xn−1 +...+b1 x +b0 (Quotient ganzrationaler Funktionen Jeweilige Nullstellenform lässt Nullstellen und Definitionslücken sofort ablesen) f(x) = a⋅sin b⋅ x − c( )+ d g(x) = a⋅cos b⋅ x − c( )+ d f(x) = ex g(x) = a⋅ebx−c + d f(x) = ln(x) g(x) = a⋅ln b⋅ x − c( )+ d f(x) = xn = x 1 n g(x) = a⋅ b⋅ x − cn + d ©www.vom-mathelehrer.de 2
- 3. www.vom-mathelehrer.de ©www.vom-mathelehrer.de 3 Analysis –Wurzelfunktion • f(x)= • D= • W=IR+ 0 • Nullstelle: Wurzelfunktion f(x) = x = x 1 2 x − 2 = x − 2( ) 1 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 2 lim x→2 >2 x − 2( )= 0 lim x→+∞ x − 2( )= +∞ [2; +∞[ Df=IR+ 0; Wf=IR+ 0 • Ist Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion mit y=x2 für x≥0 • Gleichung oft lösbar durch quadrieren (Probe machen!); für nur den Radikanten =0 setzen! • Für Extremwertprobleme: Der Wert der Wurzel wird maximal, wenn der Wert des Radikanten maximal wird. Graphen von Wurzelfunktionen: f(x) = x * = 0 f(x) = x
- 4. www.vom-mathelehrer.de ©www.vom-mathelehrer.de 4 Analysis –Veränderung des Funktionsterms und der Einfluss auf den Graphen Streckung/Stauchung y-Richtung a=-1: Spiegelung an x-Achse Streckung/Stauchung x-Richtung : Streckung in x-Richtung Verschiebung in x-Richtung c=-2: Verschiebung um 2 Einheiten nach links Verschiebung in y-Richtung d=1: Verschiebung um 1 Einheiten nach oben y=f(x) b = 2 3 y = a⋅ f b⋅ x − c( )+ d y = x ; x ≥ 0 y = − x y = 2 3 x y = x + 2 y = x +1y = − 2 3 x + 2 +1
- 5. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 5 Analysis –Ableitung +Aufleitung Wurzelfunktionen I f(x) = xn = x 1 n f '(x) = 1 n ⋅ x 1 n −1 f ''(x) = 1 n ⋅ 1 n −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟x 1 n −2 F(x) = 1 1 n +1 x 1 n +1 f(x) = x − 2 = (x − 2) 1 2 f '(x) = 1 2 ⋅(x − 2) − 1 2 = 1 2 x − 2 f ''(x) = 1 2 − 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟(x − 2) − 3 2 = − 1 4 (x − 2)3 = − 1 4 (x − 2)2 (x − 2) = − 1 4(x − 2) (x − 2) F(x) = 1 1 2 +1 (x − 2) 1 2 +1 = 2 3 (x − 2) 3 2 = 2 3 (x − 2)3 = 2 3 (x − 2)2 (x − 2) = 2 3 (x − 2) x − 2 n∈Q{0}
- 6. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 6 Analysis –Ableitung + Aufleitung Wurzelfunktionen II f(x) = xn = x 1 n f '(x) = 1 n ⋅ x 1 n −1 f ''(x) = 1 n ⋅ 1 n −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟x 1 n −2 F(x) = 1 1 n +1 x 1 n +1 f(x) = x3 = x 1 3 g(x) = 1 x 3 = x − 1 3 f '(x) = 1 3 x − 2 3 = 1 3x 2 3 = x 1 3 3x 2 3x 1 3 = x3 3x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ g'(x) = − 1 3 ⋅ x − 4 3 = − 1 3 ⋅ 1 x3 ⋅ x3 = − 1 3x x3 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ f ''(x) = 1 3 ⋅ − 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⋅ x − 5 3 = − 2 9 x − 5 3 g''(x) = − 1 3 ⋅ − 4 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⋅ x − 7 3 = 4 9 x − 7 3 F(x) = 1 1 3 +1 ⋅ x 1 3 +1 = 3 4 x 4 3 G(x) = 1 − 1 3 +1 x − 1 3 +1 = 3 2 x 2 3 n∈Q{0}
- 7. www.vom-mathelehrer.de www.vom-mathelehrer.de 10 Analysis –Wurzelfunktion •F(x)= •Integral: Stammfunktion •D= •f(x)= •W=IR+ 0 •Nullstelle: Funktion f mit • f‘= •f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> Graph von f ist streng monoton steigend •f‘(x)>0 für alle Werte des Definitionsbereich -> keine Extremwerte 1. Ableitung •f‘‘(x)= •f‘‘(x)<0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> Graph von f ist rechtsgekrümmt •f‘‘(x)≠0 für alle Werte des Definitionsbereichs -> keine Wendepunkte 2. Ableitung •f‘‘‘(x)= 3. Ableitung Aufleiten Ableiten Summenregel Faktorregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Verkettete Funktionen F(x) = xlnx − x +C f(x) = x = x 1 2 f '(x) = 1 2 x − 1 2 = 1 2 x f ''(x) = − 1 4 x − 3 2 = − 1 4 x3 f '''(x) = 3 8 x − 5 2 = 3 8 x5 f(x) = x − 2 1 2 x − 2 f(x)dx = 3 5 ∫ F(5) −F(3) ≈ 2,8 x − 2 = x − 2( ) 1 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 2 − 1 4 (x − 2)3 3 8 (x − 2)5 2 3 (x − 2)3 lim x→2 >2 x − 2( )= 0 lim x→+∞ x − 2( )= +∞ [2; +∞[