Das Dokument behandelt die Analyse von Funktionen und deren Kurvendiskussion in der Mathematik. Es beschreibt den Definitionsbereich, Symmetrieeigenschaften, das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs und die Bestimmung von Extrempunkten und Wendepunkten. Außerdem werden Verfahren zur Finden von Nullstellen, zum Untersuchen der Monotonie und zur Bestimmung der Wertemenge aufgeführt.

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Analysis
Kurvendiskussion
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Nicht alle Funktionen lassen sich so einfach nach diesem Konzept abhandeln!
(Außnahmen bestätigen die Regel!)

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Definitionsbereich
• Falls kein Definitionsbereich angegeben oder zu bestimmen ist, wird stets der maximal
mögliche gewählt
• Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktion): Dmax=IR
• Bei gebrochenrationalen Funktionen: Definitionslücken beachten („Nenner darf nicht den
Wert 0 besitzen“)
• Bei Wurzelfunktionen: Radikand (Term unter der Wurzel) muss ≥ 0 sein
• Bei Logarithmusfunktionen: Argument muss > 0 sein;
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Analysis – Kurvendiskussion I
f(x) = g(x) ; g(x) ≥ 0
f(x) = ln g(x)( ) ; g(x) > 0
f(x) =
3x4
− x3
+ 2
x2
−1
=
3x4
− x3
+ 2
(x +1)(x −1)
(x +1)(x −1) = 0
x1
= −1 ; x2
=1
Df
= IR {−1 ; 1}
f(x) = ln(3x + 4)
3x + 4 > 0
3x > −4
x > −
4
3
Df
=]−
4
3
; ∞[
f(x) = 2x −1
2x −1≥ 0
2x ≥1
x ≥
1
2
Df
= [
1
2
; +∞[

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Symmetrieeigenschaften
• f(-x)=f(x) -> Der Graph ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse
• f(-x )=-f(x) -> Der Graph ist punktsymmetrisch bzgl. (0|0)
• Merke: Besitzt ein Polynom nur gerade Exponenten -> Achsensymmetrie Besitzt ein Polynom
nur ungerade Exponenten -> Punktsymmetrie
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Analysis – Kurvendiskussion II

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Analysis – Kurvendiskussion III
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
• Untersuche:
• Gebrochenrationale Funktionen besitzen eine waagrechte Asymptote
(„Zählergrad ≤ Nennergrad“) oder eine schräge Asymptote („Zählergrad =
Nennergrad +1“) oder eine Asymptotenkurve (an Summenform des
Funktionsterms ablesen oder mittels Polynomdivision ermitteln)
• Falls die Funktion eine Definitionslücke x0 besitzt, dann untersuche das
Verhalten von f(x) für
(linksseitige und
rechtsseitige Annäherung): Man erhält eine
Unendlichkeitsstelle (Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel) mit einer
senkrechten Asymptote x=x0 oder eine behebbare Definitionslücke (Faktor
x-x0 lässt sich kürzen) mit einer Lücke im Graphen.
lim
x→+∞
f(x) und lim
x→−∞
f(x)
lim
x→
>
x0
f(x) und lim
x→
<
x0
f(x)
f(x) =
1
x − 2
+1
g(x) =
x2
−1
x
h(x) =
x2
−1
x +1
=
(x +1)(x −1)
x +1
= x −1
x = −1 (hebbare Lücke)

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Analysis – Kurvendiskussion IV
Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen
• Mit der y-Achse: bestimme f(0)
• Mit der x-Achse: für die Nullstelle einer Funktion gilt f(x)=0
• Bei Polynomen mit Grad ≥3: eine Lösung x0 durch Probieren
finden, dann Polynomdivision durchführen: f(x):(x-x0)=...
Günstig: f(x) so weit wie möglich faktorisieren [z.B. f(x)=2(x-
3)2(x+3)].
• Bei einfachen, dreifachen, ... Nullstellen Vorzeichenwechsel
von f(x) -> Graph schneidet x-Achse.
• Bei doppelten, vierfachen, ... Nullstellen kein
Vorzeichenwechsel (VZW) von f(x) -> Graph berührt die x-
Achse
• Bei rationalen Funktionen: bestimme die Nullstellen des
Zählers.
• Bei Logarithmusfunktionen: f(x)=ln(g(x)) ; g(x) muss Wert 1
haben.
• Bei Wurzelfunktionen: g(x) muss Wert 0 haben.f(x) = g(x)

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Analysis – Kurvendiskussion V
Extrempunkte und Monotonieverhalten
•Bilde die erste Ableitung f‘(x) und bestimme deren Nullstellen -> Stellen mit
waagrechter Tangente (Vorsicht: Es ist noch keine Aussage über
Extrempunkte möglich!)
•Rezept 1:
•f‘(x)=0 und VZW der 1. Ableitung „von + nach –“ -> Hochpunkt H(x0|f(x0))
•f‘(x)=0 und VZW der 1. Ableitung „von – nach +“ -> Tiefpunkt T(x0|f(x0))
•Rezept 2: (nur, wenn 2. Ableitung „einfach“ gebildet werden kann)
•f‘(x0)=0 und f‘‘(x0)<0 ->Hochpunkt H(x0|f(x0))
•f‘(x0)=0 und f‘‘(x0)>0 ->Tiefpunkt T(x0|f(x0))
•Erstelle eine Vorzeichentabelle von f‘(x) und bestimme damit das
Monotonieverhalten. Grenzen der Monotonieintervalle sind die Nullstellen
von f‘ (falls dort VZW) und ggf. Definitionslücken von f‘.
•f‘(x)<0 für ein Intervall I -> Graph ist streng monoton fallen im Intervall
•f‘(x)>0 für ein Intervall I -> Graph ist streng monoton steigend im Intervall
•Randextrema beachten, wenn die Funktion in einem abgeschlossenen
Intervall definiert ist.

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Analysis – Kurvendiskussion VI
Wendepunkte und Krümmungsverhalten
• Bilde die zweiteAbleitung f‘‘(x) und bestimme deren Nullstellen -
> Stellen an denen keine Krümmung vorliegt (Vorsicht: Es ist noch
keine Aussage über Wendepunkte möglich!)
• Rezept 1:
f‘‘(x)=0 und VZW der 2. Ableitung -> Wendepunkt W(x0|f(x0))
• Rezept 2: (nur, wenn 3. Ableitung „einfach“ gebildet werden
kann)
f‘‘(x0)=0 und f‘‘‘(x0)≠0 -> Wendepunkt W(x0|f(x0))
• Erstelle eine Vorzeichentabelle von f‘‘(x) und bestimme damit das
Krümmungsverhalten. Am Wendepunkt erfolgt ein
Krümmungswechsel; Die Steigung des Graphen hat dort ein
lokales Extremum. Sonderfall: Terrassenpunt T ist ein
Wendepunkt mit waagrechter Tangente (An dieser Stelle gilt
f‘(x)=0).

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Analysis – Kurvendiskussion VII
Graph und Wertemenge
• Platzbedarf/Maßstab überlegen
• Markante Punkte einzeichnen: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte
• Ggf. weitere Funktionswerte berechnen (Wertetabelle des Taschenrechners nutzen)
• Asymptoten einzeichnen
• Krümmungsverhalten berücksichtigen
• Wertemenge mit Hilfe der globalen Extrema sowie des Verhaltens an den Rändern des
Definitionsbereichs bestimmen