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Analysis
Extremwertprobleme
Aufstellen von Funktionstermen
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www.vom-mathelehrer.deVariablen
festlegen (evtl.
Skizze)
Hauptbedingung
(Zielfunktion)
und
Nebenbedingun
g finden
•Hauptbedingung
•Nebenbedingung
Nebenbedingun
g in
Hauptbedingung
einsetzen
•Umformen
•Einsetzen
Extrema
bestimmen
(Randextrema
beachten!!!)
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Analysis – Extremwertprobleme
Bsp: Ein Rechteck besitzt einen Umfang von 18cm. Finden Sie heraus, wie lang die Seiten sein
müssen, damit der Flächeninhalt maximal wird.
x
y
A(x; y) = x ⋅ y
U(x; y) = 2x + 2y
18 = 2x + 2y ↔ 9 = x + y ↔ y = 9 − x
A(x) = x ⋅(9 − x) = −x2
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A'(x) = −2x +9 A'(x)=
!
0
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−2x = −9
x = 4,5 → A(4,5) = 4,5
Der Flächeninhalt wird maximal, wenn das
Rechteck ein Quadrat mit einer Seitenlänge von
4,5cm ist.
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festlegen (evtl.
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bestimmen
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beachten!!!)
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Analysis – Extremwertprobleme
Bsp: Welcher Punkt des Graphen der Funktion f mit hat vom Koordinatenursprung
den kleinsten Abstand?
d2
= x2
+ y2
y = −
1
3
x2
+3
d(x) = x2
+ −
1
3
x2
+ 3
"
#
$
%
&
'
2
= x2
+
1
9
x4
− 2x2
+ 9 =
1
9
x4
− x2
+ 9
f(x) = −
1
3
x2
+3
x
y
O
Der Wert der Wurzel wird extremal,
wenn der Term f unter der Wurzel
extremal wird:
f(x) =
1
9
x4
− x2
+ 9
Substitution: x2
= z
f(z) =
1
9
z2
− z + 9
f '(z) =
2
9
z −1
f '(z)=
!
0
2
9
z −1= 0
z =
9
2
Resubstitiution:
x2
=
9
2
x1,2
= ±
9
2
= ±
3 2
2
f ''(z) =
9
2
> 0
→ Minima
d(±
3 2
2
) =1,5 ; Die gesuchten Punkte sind A1
(−
3
2
2 |1,5) und A2
(
3
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2 |1,5).
d
xy
www.vom-mathelehrer.deSymmetrie
•Ganzrationale Funktion 3. Grades: f(x)=ax3+bx2+cx+d (und symm. (0|0): f(x)=ax3+cx)
•Ganzrationale Funktion 4. Grades: f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e (und symm. bzgl. y-Achse: f(x)=ax4+cx2+e)
•Ganzrationale Funktion 5. Grades: f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f (und symm. (0|0): f(x)=ax5+cx3+ex)
Nullstellen
Durch einen
Punkt
•Nullstellen: f(x)=0 setzen!
•Durch Punkt: f(x)=y setzen!
Extrempunkt
Terrassen-
punkt
•f‘(x)=0 setzen!
•Alternative Formulierung:
Der Graph besitzt an der Stelle x0 die Steigung m0.
Wendepunkt
•f‘‘(x)=0 setzen!
Gleichungssystem
aufstellen und
lösen
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Analysis – Funktionsterm ganzrat. Fkt.
f(0)=
!
1↔ d =1 (I)
f(1)=
!
− 2 ↔ a+b+ c + d = −2
mit d =1→ a+b+ c = −3 (II)
Bsp: Gesucht ist einer ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt P(0|1) die Steigung m=-1 besitzt und
durch den Wendepunkt W(1|-2) verläuft.
f '(x) = 3ax2
+ 2bx + c
f '(2)=
!
−1↔12a+ 4b+ c = −1 (III)
f ''(x) = 6ax + 2b
f ''(1)=
!
0 ↔ 6a+ 2b = 0
→ 3a+b = 0 (IV)
(I) d =1
(II) a+b+ c = −3
(III) 12a+ 4b+ c = −1
(IV) 3a+b = 0
a =1, b = −3, c = −1, d =1 → f(x) = x3
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10 abiturvorbereitung analysis anwendungen extremwertprobleme, aufstellen fktterm

  • 2. www.vom-mathelehrer.deVariablen festlegen (evtl. Skizze) Hauptbedingung (Zielfunktion) und Nebenbedingun g finden •Hauptbedingung •Nebenbedingung Nebenbedingun g in Hauptbedingung einsetzen •Umformen •Einsetzen Extrema bestimmen (Randextrema beachten!!!) www.vom-mathelehrer.de 2 Analysis – Extremwertprobleme Bsp: Ein Rechteck besitzt einen Umfang von 18cm. Finden Sie heraus, wie lang die Seiten sein müssen, damit der Flächeninhalt maximal wird. x y A(x; y) = x ⋅ y U(x; y) = 2x + 2y 18 = 2x + 2y ↔ 9 = x + y ↔ y = 9 − x A(x) = x ⋅(9 − x) = −x2 + 9x A'(x) = −2x +9 A'(x)= ! 0 −2x +9 = 0 −2x = −9 x = 4,5 → A(4,5) = 4,5 Der Flächeninhalt wird maximal, wenn das Rechteck ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 4,5cm ist.
  • 3. www.vom-mathelehrer.deVariablen festlegen (evtl. Skizze) Hauptbedingun g (Zielfunktion) und Nebenbedingun g finden •Hauptbedingung •Nebenbedingung Nebenbedingun g in Hauptbedingun g einsetzen •Einsetzen Extrema bestimmen (Randextrema beachten!!!) www.vom-mathelehrer.de 3 Analysis – Extremwertprobleme Bsp: Welcher Punkt des Graphen der Funktion f mit hat vom Koordinatenursprung den kleinsten Abstand? d2 = x2 + y2 y = − 1 3 x2 +3 d(x) = x2 + − 1 3 x2 + 3 " # $ % & ' 2 = x2 + 1 9 x4 − 2x2 + 9 = 1 9 x4 − x2 + 9 f(x) = − 1 3 x2 +3 x y O Der Wert der Wurzel wird extremal, wenn der Term f unter der Wurzel extremal wird: f(x) = 1 9 x4 − x2 + 9 Substitution: x2 = z f(z) = 1 9 z2 − z + 9 f '(z) = 2 9 z −1 f '(z)= ! 0 2 9 z −1= 0 z = 9 2 Resubstitiution: x2 = 9 2 x1,2 = ± 9 2 = ± 3 2 2 f ''(z) = 9 2 > 0 → Minima d(± 3 2 2 ) =1,5 ; Die gesuchten Punkte sind A1 (− 3 2 2 |1,5) und A2 ( 3 2 2 |1,5). d xy
  • 4. www.vom-mathelehrer.deSymmetrie •Ganzrationale Funktion 3. Grades: f(x)=ax3+bx2+cx+d (und symm. (0|0): f(x)=ax3+cx) •Ganzrationale Funktion 4. Grades: f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e (und symm. bzgl. y-Achse: f(x)=ax4+cx2+e) •Ganzrationale Funktion 5. Grades: f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f (und symm. (0|0): f(x)=ax5+cx3+ex) Nullstellen Durch einen Punkt •Nullstellen: f(x)=0 setzen! •Durch Punkt: f(x)=y setzen! Extrempunkt Terrassen- punkt •f‘(x)=0 setzen! •Alternative Formulierung: Der Graph besitzt an der Stelle x0 die Steigung m0. Wendepunkt •f‘‘(x)=0 setzen! Gleichungssystem aufstellen und lösen www.vom-mathelehrer.de 4 Analysis – Funktionsterm ganzrat. Fkt. f(0)= ! 1↔ d =1 (I) f(1)= ! − 2 ↔ a+b+ c + d = −2 mit d =1→ a+b+ c = −3 (II) Bsp: Gesucht ist einer ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt P(0|1) die Steigung m=-1 besitzt und durch den Wendepunkt W(1|-2) verläuft. f '(x) = 3ax2 + 2bx + c f '(2)= ! −1↔12a+ 4b+ c = −1 (III) f ''(x) = 6ax + 2b f ''(1)= ! 0 ↔ 6a+ 2b = 0 → 3a+b = 0 (IV) (I) d =1 (II) a+b+ c = −3 (III) 12a+ 4b+ c = −1 (IV) 3a+b = 0 a =1, b = −3, c = −1, d =1 → f(x) = x3 −3x2 − x +1