Das Dokument enthält Aufgaben für einen mathematischen Vorkurs an der Technischen Universität Clausthal, der Themen wie Bruchrechnung, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, exakte Lösungen von Gleichungen, Zinseszins und exponentielles Wachstum behandelt. Jede Aufgabe fordert die Studierenden auf, mathematische Ausdrücke zu vereinfachen, Gleichungen zu lösen oder mehrere Konzepte anzuwenden, um finanzielle oder geometrische Probleme zu analysieren. Es umfasst auch das Studium von Funktionen, deren Eigenschaften und Anwendungen in praktischen Szenarien.

1. Mathematischer Vorkurs f¨ur BWL, Informatik und WI Technische Universit¨at Clausthal
Wintersemester 2015/16 Dr. Marco Bender
Aufgabe 1 (Bruchrechnung)
Vereinfachen Sie die folgenden Br¨uche so weit wie m¨oglich.
a) 27a
18b b) 1
3 + 1
5 c) 2
3 · 1
5 d) 54a2
a3 e) −5
−3 : −3
5
Aufgabe 2 (Potenzen)
Vereinfachen Sie mithilfe der Rechenregeln f¨ur Potenzen die folgenden Ausdr¨ucke soweit wie m¨oglich.
a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) b) (2x)(−2x)
c) 1
a −1
a
1
−a d) (x + y)−3(x + y)8(x + y)−2
e) x2y−5
a−3b−1 · a−1b
x−2y−7 f) a−1b−2
c−7
2
: ab−2
c7
−2
g) ((a+b)(a−b))−5
((a2−b2)
Aufgabe 3 (Wurzeln)
Vereinfachen Sie die Wurzeln soweit wie m¨oglich:
a) ( 4
√
8 + 4
√
27)( 4
√
3 − 4
√
2) b) (
√
x +
√
y)(
√
2x −
√
2y) c) (
√
ax −
√
bx) :
√
x
Aufgabe 4 (Br¨uche mit Wurzeln)
Formen Sie die Br¨uche so um, dass der Nenner keine Wurzeln mehr enth¨alt, und vereinfachen Sie die
Darstellung so weit wie m¨oglich. (Hinweis: Binomischen Formeln!)
a) 4
3√
2
b) 28
4+
√
2
c) 2(
√
5−
√
3)
√
5+
√
3
Aufgabe 5 (Logarithmen)
Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Verwendung eines Taschenrechners.
a) log2(4) b) log4(2) c) log4(64) d) log2(1
8) e) log7(7n)
f) log10(4, 7 · 10150) g) log2(8 · 2−100)
Aufgabe 6 (Exponentialgleichungen)
L¨osen Sie die folgenden Gleichungen:
a) 3
2 log(x) = log(56) − log(7) b) 4x = 0, 125 c) 0, 5x−5 = 15 d) 73x+2 = 10x
Aufgabe 7 (Zinseszins)
Herr M¨uller hat 5000 Euro zu einem Zinssatz von 1% pro Jahr angelegt (die Zinsen werden jeweils
zum Jahresende gutgeschrieben). Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital von Herrn M¨uller
verdoppelt?
Aufgabe 8 (Geschachtelte Quadrate)
Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrates, so erh¨alt man wieder ein Quadrat. Setzt man dieses
Verfahren fort, erh¨alt man eine Folge von Quadraten. Wie kann man den Umfang des n-ten Quadrats
aus dem Umfang des Fl¨acheninhalts des ersten Quadrats berechnen?
Aufgabe 9 (Exponentielles Wachstum)
Unter geeigneten Bedingungen verdoppelt eine Hefekultur ihre Masse in zwei Stunden. Dabei w¨achst
die Masse der Kultur exponentiell, d.h.
Masse(t) = Masse(t0) · rt
,
1

2. die Masse zu einem Zeitpunkt t kann also mit Hilfe der Masse zum Startzeitpunkt t0 und einer
Wachstumsrate r bestimmt werden.
Um 100l unterg¨ariges Bier herzustellen, ben¨otigt man 120g Hefe. Wir haben 10g Hefe. Wie lange (in
Stunden und Minuten) m¨ussen wir warten, bis sich die Hefe auf die gew¨unschte Menge vermehrt hat?
(Hinweis: ¨Uberlegen Sie zun¨achst, wie die Wachstumsrate r bestimmt werden kann.)
Aufgabe 10 (Quadratische Gleichungen)
Bestimmen Sie alle L¨osungen der quadratischen Gleichungen:
a) x(x +
√
5) = 0 b) (x + 3
17)(x − 1
11) = 0 c) x2 − 8x + 16 = 0
Aufgabe 11 (Polynomidivision)
L¨osen Sie die folgenden Gleichungen mithilfe von Polynomdivision:
a) x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 b) 3x4 + 4x3 − 24x = −3x3 − 14x2
Aufgabe 12 (Quadratische Gleichungen)
Erl¨autern Sie, wie viele L¨osungen die Gleichung a(x − 2)2 + e = 0 f¨ur verschiedene Werte von a ∈ R
und e ∈ R hat und geben Sie diese (falls m¨oglich) an.
Aufgabe 13 (Lineare Gleichungssysteme)
L¨osen Sie das folgende LGS mit dem Eliminationsverfahren von Gauss.
2x1 − 4x2 + 5x3 = 3
3x1 + 3x2 + 7x3 = 17
4x1 − 2x2 − 3x3 = −1
Aufgabe 14 (Lineare Gleichungssysteme)
”
Ein Vater und seine beiden S¨ohne sind zusammen 100 Jahre alt. Der Vater ist doppelt so alt wie
sein ¨altester Sohn und 30 Jahre ¨alter als sein j¨ungster Sohn.“
Bestimmen Sie das Alter der drei M¨anner, indem Sie ein LGS aufstellen und l¨osen.
Aufgabe 15 (Lineare Gleichungssysteme)
F¨ur welche Werte von r ∈ R besitzt das folgende LGS keine L¨osung, genau eine L¨osung, unendlich
viele L¨osungen?
x1 − x2 +
r
3
x3 = 1
3x2 − rx3 = 0
3x1 − 3x2 + r2
x3 = r + 2
Aufgabe 16 (Funktionen)
Entscheiden Sie, welche der Zuordnungen mit Definitionsbereich D = {a, b, c, d} und Wertebereich
W = {a, c, e} Funktionen von D nach W sind.
a) a → a, b → a, c → a, d → a
b) a → a, c → c
c) a → a, b → a, c → c, c → e, d → a
d) a → c, b → c, c → e, d → b
e) a → e, b → c, d → a, c → e
2

3. Aufgabe 17 (Definitionsbereich und asymptotisches Verhalten)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen und untersuchen Sie das
asymptotische Verhalten von f bei Ann¨aherung an (m¨ogliche) Definitionsl¨ucken und f¨ur x → ±∞:
a) f(x) = (x − 1)2 b) f(x) = 1
x2 c) f(x) = ln(1
x ) d) f(x) = 2x−3
4x
e) 2x2−3
4x f) x
1+|x|
Aufgabe 18 (Monotonie)
Treffen Sie Aussagen zum Monotonieverhalten der folgenden Funktionen:
a) f(x) = −2x b) f(x) = (x − 5)2 + 3
c) f(x) = 1
xn , mit n ∈ N d)f(x) = a + bx mit a, b ∈ R
Aufgabe 19 (Angebot und Nachfrage)
Die j¨ahrliche Nachfrage f¨ur Reis in einer Marktwirtschaft l¨asst sich durch folgende lineare Funktion
beschreiben:
qN = 100 − 20p,
wobei p den Preis (in Geldeinheiten GE) und q den Konsum pro Person (in Mio. T.) bezeichnet. Das
j¨ahrliche Angebot f¨ur Reis ist auch eine lineare Funktion, dessen Parameter (a und b) aber unbekannt
sind:
qA = a + b · p,
Die Marktforschungen haben gezeigt, dass die Produzenten bei einem Preis von 1 GE 40 Mio.T. Reis
auf dem Markt anbieten, bei einem Preis von 5 GE sogar 120 Mio.T.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der gegebenen Informationen die Angebotsfunktion f¨ur Reis.
b) Der Markt befindet sich im Gleichgewicht, wenn Nachfrage und Angebot ¨ubereinstimmen.
Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge f¨ur diesen Fall.
Aufgabe 20 (Differenz monotoner Funktionen)
Gilt die Behauptung:
”
Die Differenz zweier monoton wachsender (fallender) Funktionen ist monoton
wachsend (fallend)“? Geben Sie eine Begr¨undung oder ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 21 (Pilzbek¨ampfung)
Durch Pilzbefall verringert sich der Ertrag eines Landwirtes drastisch. Um diesem entgegen zu wirken
verwendet er ein Pflanzenschutzmittel. Pro Einheit verwendeten Fungizids ver¨andert sich der Verlust
relativ, dies wird dargestellt durch die Funktion
f(x) = 1
2
x
3
a) Wie verh¨alt sich der Verlust? Zeichnen Sie dies in einer Funktion mit geeignetem Maßstab.
b) Handelt es sich hierbei um eine monotone Funktion ?
c) Wie verh¨alt sich nach diesem Modell der Verlust durch den Pilzbefall, wenn man beliebig viel
Fungizid einsetzt? Ist das realistisch?
Aufgabe 22 (Stetigkeit)
Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit an der Stelle x0:
a) f(x) =
−x − 1
2x2, x ≤ 2
x2 − 4x, x > 2
x0 = 2 b) f(x) =
2x − 25
2 , x < 5
1
2x2 − 3x, x ≥ 5
x0 = 5
Aufgabe 23 (Ableitungen)
Bestimmen Sie die erste Ableitung von f:
a) f(x) = 5x3 − 4x2 b) f(x) = 5
√
x + 2
3x6
c) f(x) = −2x2 + sin(x) d) f(x) = 2
3x4 − 3
2x6
e) f(x) =
√
x2 + 1(x2 − 2x) f) f(x) = (3x − 2) 4
(x + 3)3
3

4. Aufgabe 24 (Lokale Extrema)
Berechnen Sie f¨ur die folgenden Funktionen die ersten beiden Ableitungen und bestimmen Sie mit
deren Hilfe alle lokalen Extrema.
a) f(x) = x3 + 2x2 − 1 b) f(x) = (x2 − 3)ex
Aufgabe 25 (Gewinnkurve eines Projektes)
Ein Unternehmen m¨ochte die Gewinnkurve eines Projektes bestimmen. Man nimmt an, dass diese
durch ein Polynom vom Grad 2 beschrieben wird. Es ist bekannt, dass das Projekt bei einer Ab-
satzmenge von 200 keinen Gewinn aber auch keinen Verlust macht (Break-Even-Punkt) und dass die
Gewinnkurve bei 320 verkauften St¨ucken eine Steigung von 12 hat. Um das Projekt umzusetzen, wird
mit Fixkosten (Kosten, die nicht von der verkauften Menge x abh¨angen) von 20.000 gerechnet.
a) Wie sieht die Gewinnfunktion aus?
b) Bei welcher Absatzmenge ist der Gewinn am gr¨oßten?
Aufgabe 26 (Optimierung mit quadratischen Funktionen)
Sie besitzen ein großes Waldgrundst¨uck entlang einer Autobahn, die schon mit einem Wildzaun
gesichert ist. Als zus¨atzliche Einnahmequelle wollen Sie auf einer rechteckigen Teilfl¨ache von zwei
Hektar Weihnachtstannen anpflanzen. Da diese vom Wild gut angenommen werden, m¨ussen Sie die
drei ¨ubrigen Seiten einz¨aunen. Wie lang m¨ussen die Seiten des Rechtecks sein, damit Sie m¨oglichst
wenig Kosten haben?
Aufgabe 27 (Differenzierbarkeit)
Wie m¨ussen a, b ∈ R gew¨ahlt werden, damit f f¨ur x0 = 2 differenzierbar ist?
f(x) =
3
x−3, x ≤ 2
ax2 + 2x + b x > 2
Aufgabe 28 (Integrale)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a)
2
0 (3x2 + 7x + 17)dx b)
4
−3 |x|dx c)
−1
−2 (3x2 − 4
x2 )dx d)
2
1 6(x3 − 2
x )dx +
2
1 (1 + 12
x )dx
Aufgabe 29 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen)
Skizzieren Sie die Funktion f(x) = 1
2x2(x2 − 4). Wie groß ist die Fl¨ache, die der Graph von f mit der
x-Achse einschließt?
Aufgabe 30 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen)
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f(x) = −x2 + 4.25 und g(x) = 1
x2 . Bestimmen Sie den
Inhalt der Fl¨ache, die von den f und g eingeschlossen wird.
Aufgabe 31 (Partielle Integration)
Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels partieller Integration:
a)
1
−1 xe4xdx b)
π
0 x sin(x)dx c)
2
0 x2exdx
Aufgabe 32 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen)
Betrachten Sie die Funktionen f(x) = x2 und g(x) = mx mit m > 0.
a) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte von f und g (in Abh¨angigkeit vom Parameter m).
b) Bestimmen Sie m so, dass diese Fl¨ache, die f und g einschließen, 1
6 ist.
4