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N                                           G


    Institut für Parallele und Verteilte Systeme
                Universität Stuttgart


       Wintersemester 2010/2011
A             M
    A              A           P
    Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde u ∈ V, so dass

                                   Lu = f.

    Wir suchen exakte Lösung in V.

                                     Kernfrage: Existenz & Eindeutigkeit.

    N             A           P
    Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde uN ∈ VN (⊂ V), so dass

                           J(LvN − f) → min
                                             vN ∈VN

    für ein J : W → R.
    Wir suchen näherungsweise Lösung in einem Unterraum.

                                        Kernfrage: Konstruktion & Güte
N


    Z            B
                          u gesuchte Lösung
        Lu = f            f gegebene rechte Seite
                          L Operator (des Problems)
                          V, W abstrakte Vektorräume

                          uN Näherung, Approximante, Interpolante
    J(LvN −f) → min       (uN − u) Fehler
                 vN ∈VN
                          (f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt
                          J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes)
                          VN = span φi,N    N
                                            i=1
                          φi,N ∈ V Basis von VN
V

    V               RN
            x1
    x=           = x1 e1 + x2 e2
            x2
             1            0
    e1 =        , e2 =
             0            1
    Basis: kanonisch, Einheitsvektoren

    B              ,P                Z
    101 = 1 · φ0 + 0 · φ1 + 1 · φ2 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 = 5
    Basis: Potenzen von 2

    V                    O               , ...

            x1
    x=           = x1 a + x2 o = x1 ·            + x2 ·
            x2
    Basis: Obstsorten
V                       F
    V                     F
            
          x1
    x =  x2  = x1 ·                + x2 ·          + x3 ·              =u
          x3

    Linearkombination
                      N                                   N
              uN :=           ui,N φi,N       uN (x) :=         ui,N φi,N (x)
                      i=1                                 i=1
    Koe zientenvektor und Vektor der Basisfunktionen
                                                                         
                u0,N                              φ0,N (x)
             u1,N                           φ1,N (x)                     
                                                                         
      uN :=  . . .  ∈ RN
      ˜                          ΦN (x) := 
                                                   ...                      ∈ RN
                                                                            
             uN−1,N                         φN−1,N (x)                   
               uN,N                              φN,N (x)
                               uN (x) = uN · ΦN (x) ∈ R
                                        ˜
P                      &B

    V                     P                G      ≤3
               P3 = {p ∈ C | p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 } ↔ R4
    Viele Basen: Monome, Taylorpolynome, Legendrepolynome, . . .
    Erst nach Basiswahl sind c ∈ R4 und p ∈ P3 äquivalent.
    Basis I


        p=0·            +3·          +4·          +1·           =

    Basis II


        p=0·            +3·          +4·          +1·           =
B



    L            M

    P0 (x) = 1                       1 = P0 (x)
    P1 (x) = x                       x = P1 (x)
               1    2                       1
    P2 (x) =   2 (3x − 1)            x2 =   3 (P0 (x) + 2P2 (x))
               1    3                       1
    P3 (x) =   2 (5x − 3x)           x3 =   5 (3P1 (x) + 2P3 (x))
               1      4     2                1
    P4 (x) =   8 (35x − 30x     + 3) x4 =   35 (7P0 (x)   + 20P2 (x) + 8P4 (x))
         .
         .                            .
                                      .
         .                            .
N


    Z            B
                          u gesuchte Lösung
        Lu = f            f gegebene rechte Seite
                          L Operator (des Problems)
                          V, W abstrakte Vektorräume

                          uN Näherung, Approximante, Interpolante
    J(LvN −f) → min       (uN − u) Fehler
                 vN ∈VN
                          (f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt
                          J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes)
                          VN = span φi,N    N
                                            i=1
                          φi,N ∈ V Basis von VN
W                                N            ?

    Z         F
    Zu gegebenem > 0, nde schnell (≈ kleines N) eine Näherung uN ,
    so dass der Fehler uN − u < für bestimmte Norm · (≈ L, J).

    T
        Entwurf konstruktiver Berechnungs- und Näherungsverfahren
             Rekonstruktion von Funktionen, Nullstellensuche,
             Eigenwertbestimmung, . . .
        Analyse numerischer Verfahren
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        Numerische Programmierung
             E ziente parallele Implementierung numerischer Algorithmen
        Mathematische Modellierung
             Anwendungsproblem in mathematische Aufgabe umformulieren
E       B

    G               M                CAGD
    Modellierung geometrischer Objekte im Rechner. Bausteine sind
    gekrümmte Kurven und Flächen.
        Bézier-Kurven und -Flächen
        B-Spline-Kurven und -Flachen
        NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines)
E       B

    C
    R   T       Um Glanz- und Spiegelungense ekte realisieren zu
                können, müssen viele Schnittpunkte von Strahlen mit
                Szenenobjekten berechnet werden.
    R       V            Di uses Beleuchtungsmodell
    C              Bewegung & Interaktion in Echtzeit
E           B

    S               V
    P           T            Trajektorienberechnung
        C               Iso ächen-Extraktion
    V                              Intensitäten
E        B



    B                    &K
             JPEG Cosinus-Transformation
        JPEG2000 Wavelet-Transformation
    S                Kantenerkennung
E       B



    H   P                C
    P          R         Supercomputer für numerische Berechnungen
            LGS Lösen großer Gleichungssysteme
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  • 1. N G Institut für Parallele und Verteilte Systeme Universität Stuttgart Wintersemester 2010/2011
  • 2. A M A A P Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde u ∈ V, so dass Lu = f. Wir suchen exakte Lösung in V. Kernfrage: Existenz & Eindeutigkeit. N A P Seien L : V → W und f ∈ W gegeben. Finde uN ∈ VN (⊂ V), so dass J(LvN − f) → min vN ∈VN für ein J : W → R. Wir suchen näherungsweise Lösung in einem Unterraum. Kernfrage: Konstruktion & Güte
  • 3. N Z B u gesuchte Lösung Lu = f f gegebene rechte Seite L Operator (des Problems) V, W abstrakte Vektorräume uN Näherung, Approximante, Interpolante J(LvN −f) → min (uN − u) Fehler vN ∈VN (f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes) VN = span φi,N N i=1 φi,N ∈ V Basis von VN
  • 4. V V RN x1 x= = x1 e1 + x2 e2 x2 1 0 e1 = , e2 = 0 1 Basis: kanonisch, Einheitsvektoren B ,P Z 101 = 1 · φ0 + 0 · φ1 + 1 · φ2 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 = 5 Basis: Potenzen von 2 V O , ... x1 x= = x1 a + x2 o = x1 · + x2 · x2 Basis: Obstsorten
  • 5. V F V F   x1 x =  x2  = x1 · + x2 · + x3 · =u x3 Linearkombination N N uN := ui,N φi,N uN (x) := ui,N φi,N (x) i=1 i=1 Koe zientenvektor und Vektor der Basisfunktionen     u0,N φ0,N (x)  u1,N   φ1,N (x)      uN :=  . . .  ∈ RN ˜   ΦN (x) :=   ...  ∈ RN   uN−1,N   φN−1,N (x)  uN,N φN,N (x) uN (x) = uN · ΦN (x) ∈ R ˜
  • 6. P &B V P G ≤3 P3 = {p ∈ C | p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 } ↔ R4 Viele Basen: Monome, Taylorpolynome, Legendrepolynome, . . . Erst nach Basiswahl sind c ∈ R4 und p ∈ P3 äquivalent. Basis I p=0· +3· +4· +1· = Basis II p=0· +3· +4· +1· =
  • 7. B L M P0 (x) = 1 1 = P0 (x) P1 (x) = x x = P1 (x) 1 2 1 P2 (x) = 2 (3x − 1) x2 = 3 (P0 (x) + 2P2 (x)) 1 3 1 P3 (x) = 2 (5x − 3x) x3 = 5 (3P1 (x) + 2P3 (x)) 1 4 2 1 P4 (x) = 8 (35x − 30x + 3) x4 = 35 (7P0 (x) + 20P2 (x) + 8P4 (x)) . . . . . .
  • 8. N Z B u gesuchte Lösung Lu = f f gegebene rechte Seite L Operator (des Problems) V, W abstrakte Vektorräume uN Näherung, Approximante, Interpolante J(LvN −f) → min (uN − u) Fehler vN ∈VN (f − LuN ) Residuum, (LuN − f) Defekt J Funktional (des Verfahrens/Ansatzes) VN = span φi,N N i=1 φi,N ∈ V Basis von VN
  • 9. W N ? Z F Zu gegebenem > 0, nde schnell (≈ kleines N) eine Näherung uN , so dass der Fehler uN − u < für bestimmte Norm · (≈ L, J). T Entwurf konstruktiver Berechnungs- und Näherungsverfahren Rekonstruktion von Funktionen, Nullstellensuche, Eigenwertbestimmung, . . . Analyse numerischer Verfahren Genauigkeit, Verfahrenskomplexität (Speicher, Rechenzeit), . . . Numerische Programmierung E ziente parallele Implementierung numerischer Algorithmen Mathematische Modellierung Anwendungsproblem in mathematische Aufgabe umformulieren
  • 10. E B G M CAGD Modellierung geometrischer Objekte im Rechner. Bausteine sind gekrümmte Kurven und Flächen. Bézier-Kurven und -Flächen B-Spline-Kurven und -Flachen NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines)
  • 11. E B C R T Um Glanz- und Spiegelungense ekte realisieren zu können, müssen viele Schnittpunkte von Strahlen mit Szenenobjekten berechnet werden. R V Di uses Beleuchtungsmodell C Bewegung & Interaktion in Echtzeit
  • 12. E B S V P T Trajektorienberechnung C Iso ächen-Extraktion V Intensitäten
  • 13. E B B &K JPEG Cosinus-Transformation JPEG2000 Wavelet-Transformation S Kantenerkennung
  • 14. E B H P C P R Supercomputer für numerische Berechnungen LGS Lösen großer Gleichungssysteme PDE Partielle Di erentialgleichungen