Das Dokument behandelt verschiedene mathematische Themen, darunter Polynomdivision, Betragsfunktionen und vollständige Induktion. Es enthält Übungen zur Anwendung dieser Konzepte sowie Beweise, die verschiedene mathematische Prinzipien illustrieren. Besonders fokussiert wird auf die Darstellung von Polynomen und die Eigenschaften von Vektorräumen.

1. Blatt/ Reihenfolge Themen 1 - Polynomdivision Polynomdivision - 1 HM1-Übung // Tricks / Inhaltsverzeichnis 1, II, III - Betrag Betrag - I, II, III I, II - Vollständige Induktion Vollständige Induktion - I, II III - Vollständige Induktion Vollständige Induktion - III V - Vektorräume Vektorräume - V

2. Übungsblatt 1 - Polynomdivision Ansatz: Angabe: Def: p(x) ist nur definiert, falls a, b, c, d paarweise verschieden. Ein kubisches Polynom (3. Ordnung, Höchstgrad n=3) ist eindeutig definiert durch den Wert an n+1 Stellen. Durch nacheinander Einsetzen von a, b, c, d erhalten wir jeweils den Wert 1 Lösung: Ansatz: Angabe: Lösung: Diese Gleichung ähnelt der geometrischen Reihe. Um sie auf diese Form zu bringen (1-q...), muss entsprechend ausgeklammert werden. In Spezialfällen muss vorher noch substituiert werden. Ansatz: Angabe: Lösung: Die dritte binomische Formel gilt für alle Gleichungen mit geradem Exponenten. Schließlich lässt sich (x+a) kürzen. p(x)= 1 *Graph Angabe: Lösung:

3. Übungsblatt 1, II - Betrag Angabe: Lösung: Eine Betragsfunktion, die drei Fälle zu unterscheiden verlangt: x ≤ -1 ; x ≥ 0,4; -1 < x 0,4 Im Fall x ≤ -1: x = -5/6 Achtung! Diese Lösung ist ungültig, da sie durch die Vorbedingung (Fallunterscheidung) rausfällt Angabe: Lösung: Eine Betragsfunktion | | x | -4 | ≥ 1 mit vier Fällen ohne Probleme lösbar. Wenn man ausnutzt, dass die Funktion symmetrisch zu x =4 ist, ergeben sich zwei Fälle durch Vorzeichenvertauschung Angabe: Lösung: Betragsungleichung(en) Die Dreiecksungleichung (Formelsammlung...) hilft! Gegebenenfalls substituieren

4. Übungsblatt 1, II - Vollständige Induktion Ansatz: Angabe: Lösung: Zeigen Sie, dass für zwei beliebig gewählte verschiedene ganze Zahlen a , b und eine beliebige natürliche Zahl n die Zahl durch a - b teilbar ist. Induktionsanfang: (a-b) | Induktionsschritt: n -> n +1 -> (a-b) | -> Induktionsannahme Ansatz: Angabe: Lösung: Zeigen Sie, dass 3 | z*z*z + 2z; z€ Z Beweis durch vollständige Induktion erst für z € N0 -> funktioniert dann substituieren (y=-z), und statt Beweis für Z- fortzuführen für y € N0, was das gleiche ist wie z€ N0 “ Wenn a ein Vielfaches von 3 ist, dann auch -a.” Ansatz: Angabe: Lösung: Summenformel Induktionsschritt mit Summenformel beginnen, nicht mit der (aufgelösten) Formel. Regeln : n über dem Summenzeichen und im Argument durch n+ 1 ersetzen oberstes Element herausziehen bewirkt Erniedrigung der oberen Grenze (zurück) auf n in herausgezogene Elemente aktuelles k (hier n+ 1) einsetzen - n stehen lassen/ beibehalten nach Einsetzen der Formel (Induktionsvoraussetzung) und Hauptnennerbildung erhält man die Formel für n+ 1

5. Übungsblatt III - Vollständige Induktion Ansatz 1: Angabe: Graph: Summenformel: Binomialkoeffizienten von k =0 bis n ergibt 2 hoch n . Vergleiche mit Skript zur Vorlesung: Binomische Formel Analogie: Summe über Binomialkoeffizienten entspricht der Herleitung im Skript für a =1 und b =1 Umformung der Summe (achte auf die Laufgrenzen): Umformung der Formel: Zuerst wird die Induktionsvoraussetzung eingesetzt, danach die Laufgrenzen angepasst, dann die Summen nach der Rekursionsregel zusammengefasst. als Relation dargestellt sind die Summenwerte für n =1 ... n =9 und die Exponentialfunktion 2 hoch n Ansatz 2: Ansatz 3:

6. Übungsblatt V - Vektorräume Ansatz: Angabe: Gegeben seien die Polynome p 0 (x) := 1, p 1 (x) := 1−x, p 2 (x) := (1− x ) 2 sowie p 3 := (1− x ) 3. Zeigen Sie, dass sich jedes Polynom p(x) mit Grad ≤ 3 darstellen lässt in der Form p(x) = α p0 (x) + β p1 (x) + γ p2 (x) + δ p3 (x) für gewisse Zahlen α, β , γ , δ ∈ R. Sind die Zahlen α, β , γ , δ eindeutig bestimmt? Ausmultiplizieren und Koeffizentenvergleich anstellen Die Koeffizienten a 1 ,..., a 4 in einer Matrix darstellen und auf Zeilenstufenform bringen. Da lässt sich dann die Eindeutigkeit der Koeffizienten und damit der Darstellung des Polynoms ablesen: Eindeutigkeit heißt, es sind keine freien Variablen vorhanden. Ein zusätzlicher Gedanke zur Aufgabe T5.2c): Ist A ∪ B ein Untervektorraum von R 2 ? Im Allgemeinen nicht, auch hier nicht :-) R 2 ist aber lineare Hülle von A ∪ B, da die Basen von A und B linear unabhängig sind. Lösung: Angabe: Lösung: