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Symmetrieerkennung in
Theorie und Praxis
FH Wedel Entwicklung trifft FU
Berlin Forschung
Timm Hoffmann & Marcus Riemer
“Symmetry is a complexity-reducing
concept […]; seek it everywhere”
- Alan J. Perlis
EINFÜHRUNG
Symmetrien im Alltag
Symmetrien im Alltag
Symmetrien im Alltag
Symmetrien im Alltag
Wiederholung Analysis
Punkt
Achse
D1 = Einzelne Achsenspiegelung
Achsen- und Rotationssymmetrie
Diedergruppe Dn
n Spiegelachsen durch den Mittelpunkt
Zyklische Gruppe Cn
Alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache
von
360°
𝑛
Dn → Cn
C4 = Swastika
C3 = Triskele
Dn = Regelmäßiges n-Eck
C2 = Punktspiegelung
C1 = Komplett unsymmetrisches Objekt
D2 = Nicht quadratisches Rechteck
Symmetrie
Symmetrie ist die Gleichgültigkeit bezüglich einer bestimmten
Klasse von Transformationen
Spiegelung TranslationRotation
Spiegelung
Rotation
Translation
Skalierung
Symmetriegruppe
In der mathematischen Gruppentheorie ist
die Symmetriegruppe eines geometrischen
Objektes die Gruppe, die aus der Menge
aller Kongruenzabbildungen besteht, die
das Objekt auf sich selbst abbilden,
zusammen mit der Verkettung von
Abbildungen als Gruppenoperation.
Symmetriegruppe
In der mathematischen Gruppentheorie ist
die Symmetriegruppe eines geometrischen
Objektes die Gruppe, die aus der Menge
aller Kongruenzabbildungen besteht, die
das Objekt auf sich selbst abbilden,
zusammen mit der Verkettung von
Abbildungen als Gruppenoperation.
Endliche Symmetriegruppen
Unendliche Symmetriegruppen
Unendliche Symmetriegruppen
p1
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p2gg
(2 Rotationszentren +
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Frieze Gruppe
Unendlich, aber nur in eine Dimension
p1
(Translation)
p11g
(Translation,
Spiegelung)
p2mg
(Translation,
Spiegelung,
Rotation)
ANWENDUNG
Fragestellungen
1. Erkennung einer Symmetrie
2. Beschreibung der Symmetrie (Approximation)
Erkennung
● Gegeben: Bild
● Gesucht: Symmetriegruppe
D4
Probleme bei der Erkennung
● Bild nicht „mathematisch“ symmetrisch
 nur intuitiv erkennbar
● Weiche Erkennung erforderlich
Eingabe für die Erkennung
● Vektorgrafik
– Geometrische Beschreibung von Pfaden
– Stetige Werte
● Pixelgrafik
– (Farb)Wert pro Pixel
(Zelle in einem 2D-Raster)
● Punktwolke (reduzierte Vektorgrafik)
– „Liste von Koordinaten“
Beispiele für Einsatzbereiche
● Objekterkennung in Bildern
● Astronomische Objekte klassifizieren
● Medizin: Muttermale von Hautkrebs unterscheiden
● Bildkompression
Objekterkennung
x
y
(0|0)
Keinerlei Symmetrie im Gesamtbild
Quadrat = D4 & C4
Dreieck = D3 & C3
Approximation
● Gegeben:
– Bild
– Symmetrie-Eigenschaft (z. B. Symmetriegruppe)
● Gesucht:
– Symmetrie-Beschreibung (z. B. konkrete Achsen)
– Soll vorhandene Symmetrie möglichst genau annähern
Approximation
● NP-schwer für Punkte, die „zu“ nah beisammen
liegen
● Ursprünglich von S. Iwanowski in seiner
Doktorarbeit bewiesen
„Approximate congruence and symmetry detection in the plane“ (1990)
● Verfeinert von C. Dieckmann
„Symmetry Detection and Approximation“ (2012)
Beispiel
Erkannte Symmetriegruppe: D1
ERKENNUNG (1)
Frieze Patterns
Rotation? Nein
Spiegelung? Nein
Translation? Ja
Frieze Patterns
Muster P
Gesamtes Rasterbild T
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Frieze Patterns und String Matching
Alphabet Σ = {0, 1}
Zeile Ri wobei 1 ≤ i ≤ m und Ri ⊂ Ti ∈ Σ∗
m
n
Breite des Musters ermitteln
Originales Bild T
1) For Ri, Ri' in T, T + T
2) Wi = Calc Second match of Ri in Ri'
3) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth)
Nur Erkennung von ganzzahligen Wiederholungen
Breite des Musters ermitteln
Originales Bild T
1) For Ri, Ri' in T, T + T
2) Wi = Calc Second match of Ri in Ri'
3) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth)
Laufzeit des Verfahrens
1) For Ri, Ri' in T, T + T
2) Wi = Calc Second match of Ri in Ri'
3) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth)
1) T + T ∈ O(1)
#Durchläufe = N (Anzahl der Zeilen)
2) String Matching ∈ O(|T| + |P|)
|T| = 2*M (Anzahl der Spalten)
|P| = M
Insgesamt also O(m) Aufwand
3) gcd ∈ O(log x) wobei x = Anzahl Bits für Parameter
O(n * (m + log x))⊆ O(mn)
Umgang mit Graustufen
Def eq(l, r)
l=r
Def eq(l, r, 𝛿)
𝒍 − 𝒓 < 𝛿
Unscharfes Matching
𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟 𝑗 =
1
𝑚
𝑅 𝑖 − 𝑅′ 𝑖 + 𝑗
𝑚
𝑖=1
Bisher: Lokale Ähnlichkeit, Jetzt: Globale Ähnlichkeit
1) For Ri, Ri' in T, T + T
2) For pos in Ri
3) Ri[pos] = filter(pos)
4) Wi = Second match of Ri in Ri' with 𝛿
5) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth)
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Unscharfes Matching
Bisher: Lokale Ähnlichkeit, Jetzt: Globale Ähnlichkeit
Zusammenfassung: Frieze Pattern Matching
Rotation? Nein
Spiegelung? Nein
Translation? Ja
Zusammenfassung: Frieze Pattern Matching
Rotation? Ja
Spiegelung? Ja
Translation? Ja
ERKENNUNG (2)
Hough Transformation
Hough Transformation
 Methode von Paul V. C. Hough
 US-Patent 3,069,654 (1962)
„Method and means for recognizing complex patterns“
 allgemeiner Ansatz beliebige, parametrisierbare
Formen zu finden
Linienerkennung
Hough-Transformation häufig hierfür eingesetzt
Binärbild
Linie, die möglichst viele
Punkte überdeckt
Bildraum  Parameterraum
Bildraum (x , y) Parameterraum (m , b)
Punkt (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) 𝑏 = −𝑚 ⋅ xi + yi Gerade
Gerade 𝑦 = 𝑚𝑗 ⋅ 𝑥 + 𝑏𝑗 (𝑛𝑗 , 𝑏𝑗) Punkt
y
x
b
m
Parameterraum
 Problem: Beispiele für Parameter einer Linie nicht
genau gleich
 daher: diskretisieren
 Datenstruktur: 2D-Array
1
1 1 3 1
4 6 2 1
1 1 1
1
2
Diskretisierung
8
1 2 3 2 2
3 5 10 7
3 7
2
3 1
Geradenrepräsentation
 bisher: 𝑦 = 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑏
 vertikale Geraden?
 besser: Hesse'sche Normalform
 Winkel, Distanz vom Ursprung (Polarkoordinaten)
Beispiel
Resultat
𝑑
𝛼
Linien → Symmetrie
 Diedergruppe beschreibt Symmetrieachsen
 Symmetrieachse ist eine Gerade
 Suche nach einer „anderen“ Geraden
Berechnung
Punkt 2
Punkt 1
Mittelsenkrechte
Normale der Mittelsenkrechten
𝛼
𝑑
.
Beispiel
0−𝜋 𝜋
−
𝜋
4
, 0
𝜋
4
, 2
0,1 𝜋
2
, 1
Algorithmus
1) For (p1,p2) in Punkte X Punkte
2) Calc Parameter für Parameterraum
(hier: Polarkoordinaten der Mittelsenkrechten)
3) Inc Akkumulationsraum[diskretisierte Parameter]
4) Calc Häufungen im Akkumulationsraum suchen
 Laufzeit: 𝑂 𝑛2
𝑛 ≜ #𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒
𝑂 𝑛2
𝑂 1
𝑂 1
𝑂 𝑛2
Kongruenz
Symmetrieerkennung und die Fourier
Transformation
MASTER-PROJEKT
Master Projekt
Projekt
Graustufenbild
Keine Symmetrie
Keine Symmetrie
D6 & C6
Symmetriegruppe
Master Projekt
Projekt
Graustufenbild
Keine Symmetrie
Keine Symmetrie
D6 & C6
Symmetriegruppe
Die Pipeline
Paare bilden,
Winkel & Distanz
berechnen
Korrekte “Box”
berechnen
Häufungen
untersuchen
1) For p1, p2 in Punkte X Punkte
2) gparam = mx + b - y aus (p1, p2) konstruieren
3) gpolar = polarcoord(gparam)
4) Parameterraum += gpolar
5) For p1’, p2’ in Parameterraum
6) DiskreterRaum += interpolated(p1’, p2’)
7) Suchen von Häufungen(DiskreterRaum)
Software Architektur
Backend Frontend
Protocol Buffer
Warum C++ und HTML?
Harte Vorgaben von der FU Berlin
– Kein Haskell 
– C++ oder Java
Weichere Vorgaben von uns
– Viele Experimente mit der Oberfläche
● Strikte Trennung zwischen Berechnung und Visualisierung
● Qt & GTK (C++) bzw. Swing, AWT & JavaFX (Java) sind eher
“klassische” UI Bibliotheken
– Platformübergreifend (sogar auf mobilen Geräten)
Warum Protocol Buffer?
Größe der Nachrichten
-- ++
Einfach (C++)
• Externe Abhängigkeiten?
-
(Bibliotheken, eigene
Datenstrukturen)
+
(Offizielle Code
Generatoren)
Einfach (Javascript)
• Externe Abhängigkeiten?
++
(nativ unterstützt)
-
(Bibliotheken, aber
keine nativen Integer)
Typisierung
• Zahlen bestimmter Größen
• Strukturen, Listen
• Automatische Validierung
-
(keine Validierung)
++
JSON Protobuf
Warum Protocol Buffer?
message ExactSample {
required double angle = 1;
required double distance = 2;
required Intensity i1 = 3;
required Intensity i2 = 4;
}
message Intensity {
repeated int32 channels = 1;
}
Datentyp Protocol Buffer JSON
double 8 Byte 16 ASCII Zeichen
int32 (0 – 255) 1 – 2 Byte 1 – 3 ASCII Zeichen
Protocol Buffer 𝟏
𝟓 bis 𝟏
𝟐 der Größe
+ 33% für Base64 Encoding
𝑥 ∗
1
5
∗
13
10
~0.26𝑥
𝑥 ∗
1
2
∗
13
10
~0.65𝑥
Parallelisierung mit der Pipeline
Gewinne durch die Pipeline eher marginal 
– 3 Stufen, also auch maximal 3 Threads
– Stufen nicht gleichermaßen aufwändig
– Overhead durch Synchronisierung bei naiver
Implementierung recht groß
– Trotzdem softwaretechnisch eine gute Struktur
Paare bilden,
Winkel & Distanz
berechnen
Korrekte “Box”
berechnen
Häufungen
untersuchen
Parallelisierung mit Partitionierung
Annahmen
● Erste Pipelinestufe dauert am Längsten
● Statische Partitionierung ist unkritisch
1) partitions = divide(Punkte X Punkte, #Cores)
2) For thread in Threads
3) thread.compute
4) For p1, p2 in partitions[thread.num]
5) gparam = mx + b - y aus (p1, p2) konstruieren
6) gpolar = polarcoord(gparam)
7) thread.Parameterraum += gpolar
8) Parameterraum += thread.Parameterraum
9) Threads.join()
Auswahl von Paaren
Alle Paare
• 3 Gelb
• 2 Blau
• 1 Rot
Jedes 2. Paar
• 2 Gelb
• 1 Blau
• 0 Rot
Zufällige Paare
• 1 Gelb
• 2 Blau
• 1 Rot
Leicht zu implementieren, schwierig zu untersuchen
Diskretisieren der Werte
8
1 2 3 2 2
3 5 10 7
3 7
2
3 1
Diskretisieren der Werte
8
1 2 3 2 2
3 5 10 7
3 7
2
3
1
Diskretisieren der Werte
8
1 2 3 2 2
3 5
1
7
3 7
2
3
1
3
3 3
Diskretisieren der Werte
Nearest Neighbour Bilinear Bikubisch
Programme der FU
User-Interface
Dynamisch einblendbare Optionen
Platz für Inhalte
Responsive Design
Eine Aktion für Berechnung
User - Interface (mobil)
User - Interface
Javascript
Visualisierung
Potenziell
große
Datenmenge
Canvas  SVG
HTML5 Canvas Scalable Vector Graphic
Zeichnen-Beschreibung Canvas Primitive
(Funktionen)
XML Beschreibung
Einbettung HTML Element SVG Namespace
Bildformat Rastergrafik Vektorgrafik
Interaktion Browserevents des Canvas Element-individuelle
Events
Manipulation Neuzeichnen DOM-Manipulation
Performance Gut Langsamer als Canvas
AUSBLICK UND FAZIT
Ausblick: Störungen
Rauschen Verformen
Ausblick: Zu untersuchende Größen
● Störungen
● Generierung der Punktepaare
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Symmetrieerkennung in Theorie und Praxis

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