Das Dokument enthält Aufgaben aus einem Tutorium für Mathematik im Studiengang Wirtschaftswissenschaften, das sich mit Funktionen von zwei Variablen und partiellen Ableitungen befasst. Es umfasst Homogenitätsanalysen, Nutzenfunktionen, das Zeichnen von Höhenlinien, partielle Ableitungen erster Ordnung, Preis-Absatz-Funktionen sowie die Bestimmung der Hesse-Matrix. Die Aufgaben erfordern graphische Darstellungen und Analysen zur Veränderung von Nachfrage und Erlösfunktionen in Bezug auf Preisänderungen.

1. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabenblatt 4
Funktionen von zwei Variablen und partielle Ableitungen
Aufgabe 1:
a) Welche der folgenden Funktionen sind homogen? Bestimmen Sie den entsprechenden
Homogenitätsgrad.
2 5
2 3
2 2
) ( , ) 5
) ( , ) 3 1
2
) ( , )
i f x y x y
ii f u v u v
ab
iii f a b
a b

 


b) Gegeben sei eine Nutzenfunktion U mit der Gleichung 0,5
1 2 1 2( , )U x x x x . Wie ändert
sich der Nutzenindex U, wenn man - ausgehend von einer Güterkombination x1, x2 –
die Konsummengen der Güter jeweils verdoppelt?

2. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 2:
Schraffieren Sie in der folgenden Graphik den Definitionsbereich der Funktion
( , ) .f x y xy
x
y

3. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 3:
a) Sei ( , ) 4 4 2 .f x y x y   Zeichnen Sie die Höhenlinie von f zum Niveau c = 0 als
gestrichelte Linie und zum Niveau c = 4 als durchgezogene Linie in das unten
gegebene Koordinatensystem.
b) Betrachten Sie die Höhenlinie zum Niveau c = 60 der Produktionsfunktion
1/2 1/2
( , ) 3Q F K L K L  . Wie groß muss der Arbeitsinput L0 sein, wenn der
y
x

4. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Kapitalinput K0 = 10 ist, damit der Punkt 0 0 0( , ) (10, )K L L auf der Höhenlinie
( , ) 60F K L  liegt?
Aufgabe 4:
Bilden Sie sämtliche partielle Ableitungen erster Ordnung:
3 2
0,85 0,3
a) ( , ) ( )
b) ( , ) 120
f x y xy xy
x A K A K
 
 
0,3 0,7
c) ( , , ) 8 (200 6 5 )L x y x y x y    

5. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 5:
Für zwei Güter seien die möglichen Absatzmengen x1, x2 in Abhängigkeit der Marktpreise p1,
p2 durch die folgenden Preis-Absatz-Funktionen gegeben:
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) 0,5 2 10; ( , ) 0,8 1,5 15x p p p p x p p p p      
a) Untersuchen Sie mit Hilfe der vier partiellen Ableitungen ( , 1,2)i
k
x
i k
p



, wie sich die
Nachfrage xi nach Gut i ändert bei Änderung des Preises pk des Gutes k (i,k = 1,2).
b) Ermitteln Sie für jedes Gut die individuelle Erlösfunktion und interpretieren Sie die
partiellen Grenzerlöse bzgl. der Preise bei einer Preiskombination 1 28, 5p p  .

6. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Hesse-Matrix für:
2
2
a) ( , )
b) ( , )
x y
xy
f x y e e
f x y x y e

 
2 2 2
1 2 3 1 2 3
3
c) ( , , )
d) ( , ) ln
f x x x x x x
f x y x y
  

Aufgabe 7:
Zeichnen Sie die mit z = 6 – 2x – y gegebene Ebene in das linke dreidimensionale
Koordinatensystem.
Hinweis: Markieren Sie zunächst die Schnittpunkte mit den Achsen und verbinden Sie
diese. Zeichnen Sie die Ebene ausschließlich im ersten Oktanten, d.h.
0, 0 und z 0x y   . Zeichen Sie die Höhenlinien zum Niveau c = 2, c = 4 und c = 6 in
das rechte zweidimensionale Koordinatensystem.

7. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014