Das Dokument behandelt verschiedene mathematische Probleme im Kontext der Informatik, einschließlich der Berechnung von Gradienten und partiellen Ableitungen für gegebene Funktionen. Es werden spezifische Aufgaben und Lösungen präsentiert, die Konzepte wie die Jacobimatrix, polare Koordinaten und die partiellen Ableitungen umreißen. Zudem wird die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen in mehreren Variablen analysiert.

1. Mathematik für Informatiker C
Serie 12
Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Gruppe B
23. Januar 2012

2. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.1
Gesucht ist der Gradient für f : R∗ × R × R+ → R mit
f (x, y, z) = sin(x) cos(y) − log(z)
Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen für die 3 Komponenten x, y, z
∂f
(x, y, z) = cos(x) cos(y)
∂x
∂f
(x, y, z) = − sin(x) sin(y)
∂y
∂f 1
(x, y, z) = −
∂z z
Es gilt für x = (x1 , ..., xn ) ∈ D ⊂ Rn , f : D → R allgemein:
∂f ∂f
f (x) = ∂x1 (x) ... ∂xn (x)
Für die o.g. Funktion gilt also:
1
f (x, y, z) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) − z
Damit ist die Richtung der maximalen Steigung von f im Punkt (π, π, 1)
f (π, π, 1) = cos(π) cos(π) − sin(π) sin(π) −1
= cos2 (π) − sin2 (π) 1
= 1 0 1
1

3. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.2
f : R2 → R, f (x, y) = y x2 + y 2
1
1.0
0
0.5
1
1.0 0.0
0.5
0.0 0.5
0.5
1.0
1.0
Abbildung 1: f (x, y) im Intervall [−1, 1] × [−1, 1]
Zunächst bestimmen wir die partielle von Ableitung der Funktion nach der x-
Komponente mit der Produktregel.
∂f
(x, y) = ∂x y x2 + y 2
∂x
= ∂x (y) x2 + y 2 + y ∂ x x2 + y 2
=0
√
Wir wenden die Kettenregel an. Setze g(x, y) := x2 + y 2 , f (u) = u.
df 1 1 ∂g
f (u) = (u) = √ = f (g(x, y)) = (x, y) = 2x
du 2 u 2 x2 + y2 ∂x
∂f xy
(x, y) =
∂x x2 + y 2
∂g x
f (g(x, y)) (x, y) =
∂x x2 + y 2
Um die partielle Ableitung nach der y-Komponente zu bestimmen formen wir
zunächst die Funktion um.
f (x, y) = y x2 + y 2 =
y 2 x2 + y 2 = y 2 x2 + y 4
√
Setze g(x, y) := y 2 x2 + y 4 und f (u) := u. Dann lautet die partielle Ableitung
der Funktion nach der y-Komponente:
∂g
(x, y) = 2yx2 + 4y 3 = 2y(x2 + 2y 2 )
∂y
df 1 1 1
f (u) = (u) = √ = f (g(x, y)) = =
du 2 u 2 y 2 x2 + y 4 2y x2 + y 2
2 2 2 2
∂g 2y(x + 2y ) x + 2y
f (g(x, y)) (x, y) = =
∂y 2y x 2 + y2 x2 + y 2
Die Funktion ist also partiell differenzierbar für (x, y) = (0, 0).
2

4. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.3
2.0 10
1.5
1.0 1.0
1.0 5
0.5 0.5 0.5
0.0 0
1.0 0.0 1.0 0.0
0.5 0.5
0.0 0.5 0.0 0.5
0.5 0.5
1.0 1.0
1.0 1.0
1
Abbildung 2: f (x, y) = x2 + y 2 und g(x, y) = x2 +y 2 im Intervall [−1, 1] × [−1, 1]
• f (x, y) = x2 + y 2 . In Polarkoordinatenform:
F (r, θ) = (r cos θ)2 + (r sin θ)2
= r2 (cos2 θ + sin2 θ)
=1
2
=r
Diese Funktion ist also stetig partiell differenzierbar auf R2 , mit:
∂r F (r, θ) = 2r
∂θ F (r, θ) = 0
Die Steigung ist also unabhängig vom Winkel und linear zur Entfernung
zum Ursprung da F das Quadrat des Abstandes zum Urspung liefert.
1
• g(x, y) = x2 +y 2 . In Polarkoordinatenform:
1
G(r, θ) =
(r cos θ)2
+ (r sin θ)2
1
= 2
r (cos θ + sin2 θ)
2
=1
−2
=r
Die Funktion G ist also für r = 0 nicht definiert. g ist für R2
{(0,0)} definiert.
Auf R∗ × R ist G partiell differenzierbar mit:
∂r G(r, θ) = −r−3
∂θ G(r, θ) = 0
Die Steigung ist also wieder unabhängig vom Winkel.
3

5. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.4
Gesucht ist die Jacobi-Matrix Jf für
 
r cos θ sin ϕ
f : R3 → R3 , (r, θ, ϕ) →  r sin θ sin ϕ 
r cos ϕ
Dazu berechnen wir die Gradienten der Komponenten f1 (x), f2 (x), f3 (x) von f
und tragen diese als Zeilen ein. Wir erhalten:
 
cos θ sin ϕ −r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ
Jf =  sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ 
cos ϕ 0 −r sin ϕ
Um zu prüfen wann diese Matrix regulär ist berechnen wir det(Jf ). Es gilt Jf
regulär gdw. det(Jf ) = 0. Um die Determinante zu berechnen wenden wir den
Laplace’schen Enwicklungssatz nach der 3. Zeile an.
−r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ −r sin θ sin ϕ
det (Jf ) = cos ϕ · − r sin ϕ ·
r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ
= cos ϕ · ((−r sin θ sin ϕ)(r sin θ cos ϕ) − (r cos θ cos ϕ)(r cos θ sin ϕ))
− r sin ϕ · ((cos θ sin ϕ)(r cos θ sin ϕ) − (−r sin θ sin ϕ)(sin θ sin ϕ))
= cos ϕ · (−r2 sin2 θ sin ϕ cos ϕ − r2 cos2 θ cos ϕ sin ϕ)
− r sin ϕ · (r cos2 θ sin2 ϕ + r sin2 θ sin2 ϕ)
= cos ϕ · (− (sin2 θ + cos2 θ) r2 sin ϕ cos ϕ) − r sin ϕ · ((cos2 θ + sin2 θ) r sin2 ϕ)
=1 =1
= cos ϕ · (−r2 sin ϕ cos ϕ) − r sin ϕ · (r sin2 ϕ)
= − r2 cos2 ϕ sin ϕ − r2 sin3 ϕ
= − (cos2 ϕ + sin2 ϕ) r2 sin ϕ
=1
= − r2 sin ϕ
⇒det(Jf ) = 0 ⇔ r = 0 ∨ sin ϕ = 0
Es gilt sin ϕ = 0 gdw. ϕ = zπ, z ∈ Z. Deshalb sind die Punkte, an denen Jf
regulär ist:
(r, θ, ϕ) r ∈ R{0} , θ ∈ R, ϕ ∈ R{zπ|z∈Z}
4