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Korrelationskoeffizient
         von
 Bravais und Pearson


20.06.2005   Kity Rojas Ropain Fachhochschule   1
              Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Karl Pearson
• 1857-1936 England
• Studierte Mathematik, Physik, Metaphysik,
  Mittelhochdeutsch und Folklore in
  Cambridge, Heidelberg und Berlin.
• Veröffentlichung von vielen Bücher u. a.
  „Grammar of Science“
• Der Korrelationskoeffizient hat Pearson in
  seinen Studien sozialwissenschaftlichen
  Phänomene angewendet.
20.06.2005     Kity Rojas Ropain Fachhochschule   2
                Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Skalierung
                        X   Nominal               Ordinal      Metrisch
    Y

             Nominal           K*                    K*          K*


             Ordinal           K*                   Rsp          Rsp


             Metrisch          K*                   Rsp           r




20.06.2005                  Kity Rojas Ropain Fachhochschule              3
                             Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Korrelationskoeffizient nach
         Bravis- Pearson
   Gegeben sind zwei Merkmale X und Y, die
   metrisch skaliert und nicht unabhängig sind.
   Es wird das arithmetische Mittel, die Varianz , die
   Standardabweichung für beide Merkmale benötigt.
   Zusätzlich wird ein weiteres Streuungsmaß
   eingeführt: Die Kovarianz, welche eine Beziehung
   zu X und Y herstellt. Sie ist ein Maß für die
   gemeinsame Streuengsmerkmale.

20.06.2005        Kity Rojas Ropain Fachhochschule   4
                   Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Der Korrelationskoeffizient von Pearson drückt den Grad der
  Linearität des Zusammenhangs zwischen 2 metrischen
  Merkmalen X und Y aus.
• r=1: Alle Beobachtungen liegen auf einer
     steigenden Geraden.
•     r=-1: Alle Beobachtungen liegen auf einer
     fallenden Geraden.
•     r>0: Die Merkmale sind positiv korreliert.
     Regressionsgerade ist steigend
•     r<0: Die Merkmale sind negativ korreliert.
     Regressionsgerade ist fallend.
•     r=0: Die Merkmale sind unkorreliert. Es besteht
     kein linearer Zusammenhang.
20.06.2005         Kity Rojas Ropain Fachhochschule       5
                    Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Formeln
              Stichprobe                          Grundgesamtheit

        ( xi − x )( yi − y )                    ( xi − µx)( yi − µy )
Sxy = ∑                                   σxy =
               n −1                                      N


           Sxy                                           σxy
     rxy =                                        ρxy =
           SxSy                                         σxσy
 20.06.2005            Kity Rojas Ropain Fachhochschule             6
                        Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Aufgabe
                                  Beobachtungs Produktions
                                                           Gesamtkosten
• In einem Unternehmen              zeitraum     menge
  wurden für n=12                         1          45        205
  Beobachtungszeiträume                   2          30        128
                                          3          35        165
  folgende Gesamtkosten                   4          40        175
  in Abhängigkeit von der                 5          20        104
                                          6          55        240
  Produktionsmenge                        7          65        275
  festgestellt:                           8          58        250
                                          9          30        142
                                          10         60        265
                                          11         25        112
                                          12         49        214

  20.06.2005      Kity Rojas Ropain Fachhochschule                   7
                   Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Aufgabe

  i           Xi       Y
                       i                                      Xi − X        ( Xi − X ) ( X − X )( Yi − Y )
                                                                                          i
                                                                                           2

                                Yi − Y
                                                          2
                                            (Y − Y )
                                              i
  1           45       205       15,42         237,67             2,33          5,44                  35,97
  2           30       128       -61,58        3792,51          -12,67         160,44                 780,06
  3           35       165       -24,58        604,34            -7,67         58,78                  188,47
  4           40       175       -14,58        212,67            -2,67          7,11                  38,89
  5           20       104       -85,58        7324,51          -22,67         513,78                1939,89
  6           55       240       50,42         2541,84          12,33          152,11                 621,81
  7           65       275       85,42         7296,01          22,33          498,78                1907,64
  8           58       250       60,42         3650,17          15,33          235,11                 926,39
  9           30       142       -47,58        2264,17          -12,67         160,44                 602,72
  10          60       265       75,42         5687,67          17,33          300,44                1307,22
  11          25       112       -77,58        6019,17          -17,67         312,11                1370,64
  12          49       214       24,42         596,17             6,33         40,11                  154,64

  ∑         512,00    2275,00                 40226,92                         2444,67               9874,33

1 / n∑       42,67    189,58                   3352,24                         203,72                822,86

                                                 57,90                          14,27
                                                                                                       Sxy
                                                                                 Sy                ( Kovarianz)
                                      Sx   ( St andar dabw eichung )
                                                                       ( St andar dabw eichung )

         20.06.2005              Kity Rojas Ropain Fachhochschule                                             8
                                  Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Aufgabe

       Sxy                              822,86
rxy =                          rxy =
      SxSy                           14,27 • 57,90




20.06.2005   Kity Rojas Ropain Fachhochschule    9
              Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Aufgabe

             r = 0,9957
• Es steht ein sehr starker positiver linear
  Zusammenhang zwischen die Produktionsmenge
  und die Gesamtkosten.


20.06.2005     Kity Rojas Ropain Fachhochschule   10
                Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Streuungsdiagramm
                                300

                                250
     Gesamtkosten (in Tsd. €)




                                200

                                150

                                100

                                50

                                 0
                                      0     10      20       30        40        50   60   70
                                                 Produktionsmenge (in Tsd. Stück)

20.06.2005                                        Kity Rojas Ropain Fachhochschule              11
                                                   Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
Extra Aufgabe
  i        Xi       Y
                    i                    (Yi − Y ) Xi − X ( Xi − X ) ( Xi − X )( Yi − Y )
                                                                                     2

                              Yi − Y
                                                     2



   7         48      108       -7,63         58,14          -4,38           19,14          33,36
   1         50      108       -7,63         58,14          -2,38            5,64          18,11
   3         50      117        1,38         1,89           -2,38            5,64          -3,27
   5         52      115       -0,63         0,39           -0,38            0,14           0,23
   8         53      118        2,38         5,64           0,63             0,39           1,48
   4         54      115       -0,63         0,39           1,63             2,64          -1,02
   6         54      122        6,38         40,64          1,63             2,64          10,36
   2         58      122        6,38         40,64          5,63            31,64          35,86

  ∑         419      925                   205,875                         67,875         95,125

1 / n∑    52,375    115,625               25,734375                       8,484375       11,890625

                                         5,072905972                 2,912795049
       20.06.2005                      Kity Rojas Ropain Fachhochschule                            12
                                        Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
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20.06.2005   Kity Rojas Ropain Fachhochschule   13
              Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik

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Pearson

  • 1. Korrelationskoeffizient von Bravais und Pearson 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 1 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 2. Karl Pearson • 1857-1936 England • Studierte Mathematik, Physik, Metaphysik, Mittelhochdeutsch und Folklore in Cambridge, Heidelberg und Berlin. • Veröffentlichung von vielen Bücher u. a. „Grammar of Science“ • Der Korrelationskoeffizient hat Pearson in seinen Studien sozialwissenschaftlichen Phänomene angewendet. 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 2 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 3. Skalierung X Nominal Ordinal Metrisch Y Nominal K* K* K* Ordinal K* Rsp Rsp Metrisch K* Rsp r 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 3 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 4. Korrelationskoeffizient nach Bravis- Pearson Gegeben sind zwei Merkmale X und Y, die metrisch skaliert und nicht unabhängig sind. Es wird das arithmetische Mittel, die Varianz , die Standardabweichung für beide Merkmale benötigt. Zusätzlich wird ein weiteres Streuungsmaß eingeführt: Die Kovarianz, welche eine Beziehung zu X und Y herstellt. Sie ist ein Maß für die gemeinsame Streuengsmerkmale. 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 4 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 5. Der Korrelationskoeffizient von Pearson drückt den Grad der Linearität des Zusammenhangs zwischen 2 metrischen Merkmalen X und Y aus. • r=1: Alle Beobachtungen liegen auf einer steigenden Geraden. • r=-1: Alle Beobachtungen liegen auf einer fallenden Geraden. • r>0: Die Merkmale sind positiv korreliert. Regressionsgerade ist steigend • r<0: Die Merkmale sind negativ korreliert. Regressionsgerade ist fallend. • r=0: Die Merkmale sind unkorreliert. Es besteht kein linearer Zusammenhang. 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 5 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 6. Formeln Stichprobe Grundgesamtheit ( xi − x )( yi − y ) ( xi − µx)( yi − µy ) Sxy = ∑ σxy = n −1 N Sxy σxy rxy = ρxy = SxSy σxσy 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 6 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 7. Aufgabe Beobachtungs Produktions Gesamtkosten • In einem Unternehmen zeitraum menge wurden für n=12 1 45 205 Beobachtungszeiträume 2 30 128 3 35 165 folgende Gesamtkosten 4 40 175 in Abhängigkeit von der 5 20 104 6 55 240 Produktionsmenge 7 65 275 festgestellt: 8 58 250 9 30 142 10 60 265 11 25 112 12 49 214 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 7 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 8. Aufgabe i Xi Y i Xi − X ( Xi − X ) ( X − X )( Yi − Y ) i 2 Yi − Y 2 (Y − Y ) i 1 45 205 15,42 237,67 2,33 5,44 35,97 2 30 128 -61,58 3792,51 -12,67 160,44 780,06 3 35 165 -24,58 604,34 -7,67 58,78 188,47 4 40 175 -14,58 212,67 -2,67 7,11 38,89 5 20 104 -85,58 7324,51 -22,67 513,78 1939,89 6 55 240 50,42 2541,84 12,33 152,11 621,81 7 65 275 85,42 7296,01 22,33 498,78 1907,64 8 58 250 60,42 3650,17 15,33 235,11 926,39 9 30 142 -47,58 2264,17 -12,67 160,44 602,72 10 60 265 75,42 5687,67 17,33 300,44 1307,22 11 25 112 -77,58 6019,17 -17,67 312,11 1370,64 12 49 214 24,42 596,17 6,33 40,11 154,64 ∑ 512,00 2275,00 40226,92 2444,67 9874,33 1 / n∑ 42,67 189,58 3352,24 203,72 822,86 57,90 14,27 Sxy Sy ( Kovarianz) Sx ( St andar dabw eichung ) ( St andar dabw eichung ) 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 8 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 9. Aufgabe Sxy 822,86 rxy = rxy = SxSy 14,27 • 57,90 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 9 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 10. Aufgabe r = 0,9957 • Es steht ein sehr starker positiver linear Zusammenhang zwischen die Produktionsmenge und die Gesamtkosten. 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 10 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 11. Streuungsdiagramm 300 250 Gesamtkosten (in Tsd. €) 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Produktionsmenge (in Tsd. Stück) 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 11 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 12. Extra Aufgabe i Xi Y i (Yi − Y ) Xi − X ( Xi − X ) ( Xi − X )( Yi − Y ) 2 Yi − Y 2 7 48 108 -7,63 58,14 -4,38 19,14 33,36 1 50 108 -7,63 58,14 -2,38 5,64 18,11 3 50 117 1,38 1,89 -2,38 5,64 -3,27 5 52 115 -0,63 0,39 -0,38 0,14 0,23 8 53 118 2,38 5,64 0,63 0,39 1,48 4 54 115 -0,63 0,39 1,63 2,64 -1,02 6 54 122 6,38 40,64 1,63 2,64 10,36 2 58 122 6,38 40,64 5,63 31,64 35,86 ∑ 419 925 205,875 67,875 95,125 1 / n∑ 52,375 115,625 25,734375 8,484375 11,890625 5,072905972 2,912795049 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 12 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik
  • 13. Vielen Dank! 20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule 13 Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik