Bachelor Thesis Presentation: Modellierung und numerische Simulation von Molekulardynamik

Bachelorarbeit in Mathematik
Modellierung und numerische Simulation von
Molekulardynamik
Noah Oberweis
betreut durch
Prof. Dr. Håkon Hoel und Dr. Alexander Litvinenko
Lehrstuhl für Mathematics for Uncertainty Quantification
RWTH Aachen
12. August 2021

Inhalt
Einleitung
Hamiltonsche Systeme
Der Wiener-Prozess und stochastische Differentialgleichungen
Numerische Methoden für stochastische Differentialgleichungen
Rare Events
Noah Oberweis Modellierung und numerische Simulation von Molekulardynamik 2 / 46

Einleitung: Molekulardynamik
50er Jahre: Doppelhelix-Struktur der
DNA
70er Jahre: die ersten Biomolekular-
Simulationen
Frühe 2000er Jahre: Sequenzierung
des menschlichen Erbguts und sämt-
licher menschlicher Chromosomen
Nsp16 Aktivierungsmechanismus
des COVID-19-Virus durch die
Simulation von Proteinfaltung DNA-Doppelhelix

Einleitung: Paul Langevin
französischer Physiker
geboren am 24. Januar 1872
Er besuchte die École de Physique et de Chimie
Anschließend die École normale supérieure in Paris
Elektromagnetismus, magnetische, sowie elektrische
Doppelbrechungen, die Relativitätstheorie, Ultra-
schallwellen und Molekulardynamik
gestorben am 16. Dezember 1946 im Alter von 74
Jahren
Paul Langevin

Einleitung: Langevin-Gleichung
(
dXt = Vtdt
mdVt = (−γVt − ∇U(Xt))dt + σdWt
+ Anfangswerte
Bietet mehrere Abstraktionsmöglichkeiten
Hamiltonsches System
Stochastische Differentialgleichung

Einleitung: Langevin-Gleichung
(
dXt = Vtdt
mdVt = −∇U(Xt)dt
+ Anfangswerte
Bietet mehrere Abstraktionsmöglichkeiten
Hamiltonsches System
Stochastische Differentialgleichung

Inhalt
Einleitung
Rare Events

Hamiltonsches System: Definition
Eine hamiltonsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Form
ẋ = ∇v H(x, v)
v̇ = −∇xH(x, v),

Motivation hamiltonsche Systeme
d
dt H(x, v) = 0
Beschreibt System mit konstanter Energie
(Energieerhaltungssatz)
NVE System
Ziel: Hamiltonsche Eigenschaft beibehalten
mit numerischen Integratoren
Zweikörperproblem

Symplektische Eigenschaft
Definiere zwei Vektoren
ξ =

ξx
ξv

; η =

ηx
ηv

,
wobei ξ, η ∈ R2n
mit ξx, ξv , ηx, ηv ∈ Rn
gilt. Wir betrachten nun die folgende
Abbildung:
ω : R2n
× R2n
→ R; (ξ, η) 7→
n
X
i=1
det

ξi
x ηi
x
ξi
v ηi
v

alternativ
ω(ξ, η) = ξT
Jη, J =

0n In
−In 0n

.

Symplektische Eigenschaft
Eine differenzierbare Abbildung g ist genau dann symplektisch, wenn für die
Matrix A := Dg (x, v):
AT
JA = J
(⇒ ω(Aξ, Aη) = ω(ξ, η))
Darstellung der Fläschenerhaltung der symplektischen Eigenschaft

Symplektische Integratoren
Verwendet Äquivalenz zwischen hamiltonischen Systemen und symplektischem
Fluss.
Ein Verfahren ist symplektisch, falls
y1 = ψ(y0)
symplektisch ist, wenn dieses auf ein hamiltonsches System angewendet wird.
symplektisches Euler-Verfahren und Verlet-Verfahren

Beispiel hamiltonsche Langevin-Gleichung
Hamiltonsche Funktion: H(x, v) = v2
2 + U(x)
ẋ = v
v̇ = −∇U(x)
U(x) = (x − 1)2
(x + 1)2
Separatrix in x = 0
x(0) 0 ∧ H(x(0), v(0)) ≤ 1 ⇒ x(t) ≥ 0, ∀t
x(0) 0 ∧ H(x(0), v(0)) ≤ 1 ⇒ x(t) ≤ 0, ∀t
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Position
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
U(x)
Doppelbrunnen-Potential

Ergebnis hamiltonsche Funktion
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Schritte
1.004
1.00405
1.0041
1.00415
1.0042
1.00425
1.0043
H(x,v)
Hamiltonsche Funktion bei der Anwendung des Verlet-Verfahrens

Inhalt
Einleitung
Rare Events

Langevin-Gleichung
(
dXt = Vtdt
mdVt = (−γVt − ∇U(Xt))dt + σdWt

Stochastische Differentialgleichungen
Ẋt = b(Xt, t) + σ(Xt, t)Ẇt
Driftkoeffizient: b(Xt, t) beschreibt grundlegenden
Verlauf der Lösung
Diffusionskoeffizient: σ(Xt, t) beschreibt mikroskopi-
sche stochastische Beschleunigungen
Definition von Wt?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit: t
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Wert
des
Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses:
Xt
Ein Pfad einer Lösung einer
SDE

Der Wiener-Prozess
Zufallsprozesse: über T ⊆ R parametrisierte
Zufallsvariabel {Xt}t∈T 7→ R
Wiener-Prozess definiert durch:
1 Wt ist Gauß-Prozess
2 EWt = 0 und Kovarianz K(s, t) = min(s, t)
3 t 7→ Wt stetig mit Wahrscheinlichkeit 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit: t
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Wiener-Prozess:
Wt
Ein Pfad des Wienerprozesses

Numerische Einführung durch Zufallsweg
{Xi } Folge von unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen
Xi = ±1 mit P(Xi = 1) = P(Xi = −1) = 1
2
Yn =
Pn
i=1 Xi , Y0 = 0
P(Yn+1 = i ± 1 | Yn = i) = 1
2
Wiener-Prozess ist Grenzwert mit Schrittlänge l und Schrittweite zwischen
Sprüngen τ mit l, τ → 0

Numerische Einführung durch Zufallsweg
0
2
4
6
8
10
12
Wert
des
Zufallswegs:
W
t
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Schritte: t
Zufallsweg auf Z
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit: t
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Wiener-Prozess:
Wt
Pfad eines Wiener-Prozesses

Stochastische Differentialgleichungen
Definition von Ẇt?
Wiener-Prozess ist nicht differenzierbar
Lösung: SDE in stochastische Integralgleichung umwandeln:
Xt = X0 +
Z t
0
b(Xs, s)ds +
Z t
0
σ(Xs, s)dWs.
Definition von
R t
0 σ(Xs, s)dWs?

Itô-Formel
Xt Lösung von Ẋt = b(Xt, t) + σ(Xt, t)Ẇt
f (Xt) = Yt
Itô-Formel:
dYt = b(t, w)f 0
(Xt) + 1
2σ2
(t, w)f 00
(Xt)

dt + σ(w, t)f 0
(Xt)dWt

Inhalt
Einleitung
Rare Events

Itô-Taylor-Entwicklung:
Xt = Xt0 +
Z t
t0
b(Xs)ds +
Z t
t0
σ(Xs)dWs
= Xt0 + b(Xt0 )(t − t0) + σ(Xt0 )(Wt − Wt0 )
+
Z t
t0
Z s
t0
L2(σ(Xu))dWu dWs +
Z t
t0
Z s
t0
L1(σ(Xu))du dWs
+
Z t
t0
Z s
t0
L2(b(Xu))dWu ds +
Z t
t0
Z s
t0
L1(b(Xu))du ds

Euler-Maruyama-Verfahren
Xt = Xt0 + b(Xt0 )(t − t0) + σ(Xt0 )(Wt − Wt0 )
Erste Zeile der Itô-Taylor-Entwicklung

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Stochastische Variante von:
ẏ = −γy
dXt = −γXtdt + σdWt 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit: t
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Wert
des
Xt
Numerische Lösung der SDE

Lineare SDE
Lösung nur von Wt abhängig
dXt = γXtdt + σXtdWt
Lösung:
Xt = X0 exp((γ − 1
2σ2
)t + σWt)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit: t
0.5
1
1.5
Wert
der
Lösung:
X
t
0 0.5 1
Zeit: t
0
0.02
0.04
0.06
Absoluter
Fehler:
e
A
t
0 0.5 1
Zeit: t
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Relativer
Fehler:
e
R
t
Lösungsvergleich und Fehler

Lineare SDE
Euler-Maruyama-Schema:
Starke Konvergenz mit Ordnung 1
2
max0≤t≤T E|X∆t
t − Xt|2
≤ C∆t
Numerische Überprüfung mit 1000
Wiener-Prozessen für verschiedene
Schrittweiten
10-5
10-4
10-3
10-2
Schrittlänge: t
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
maximaler Fehler
durchschnittlicher Fehler
( t)
0.5
Fehler für verschiedene Schrittweiten

Inhalt
Einleitung
Rare Events

Rare Events
zufällige Ereignisse, welche mit kleiner Wahrscheinlichkeit stattfinden
Beispiele in Molekulardynamik: Transition Times und Minimum Energy Paths
Rare Events finden wegen der großen Anzahl von beobachteten Objekten
trotzdem statt.

Transition Rates
Zeit, welche benötigt wird um von
einem stabilen Zustand in einen an-
deren zu wechseln (Beispiel: chemi-
sche Reaktionen)
Im Gegensatz zu hamiltonschem Sy-
stem: nach langer Beobachtung wird
die Separatrix überschritten -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Position
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
U(x)
Doppelbrunnen-Potential

Transition Rates
Vereinfachte Langevin-Gleichung:
dXt = −U0
(Xt)dt +
√
2εdWt
Übergangszeit ist exponentiell in
O(1
ε )
Zwei Übergänge nach T = exp(1.1
ε )
0 1 2 3 4 5 6
104
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Position des Partikels im Verlauf der Zeit

Minimum Energy Paths
Wege, welche genutzt werden um Separatrix zu überqueren
Beschreibt unter anderem Proteinfaltung
Pfad ψ(t), so dass (∇U(ψ))⊥
= 0
String-Methode: auf jeden Punkt eines Startpfades ψ wird der Fluss von
∂tϕ(α, t) = −∇U(ϕ)
angewendet.
Beispiel: U(x, y) = (1 − x2
− y2
)2
+ y2
x2+y2

Ergebnis Minimum Energy Path
U(x,y)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
y
Resultat der String-Methode
(Grün: Anfangspfad, Rot: Ergebnis,
Blau: Interpoliertes Ergebnis)

Schlusswort
Verschiedene Möglichkeiten die Langevin-Gleichung zu betrachten
Rare Events können beispielsweise nicht in hamiltonschen Systemen auftreten
Symplektische Integratoren ergeben gute Resultate für NVE Modelle
Zusätzliche Themen: Existenz und Eindeutigkeit von SDEs, Ergodsche Be-
trachtung der Langevin-Gleichung

Quellen
Tamar Schlick. Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Gui-
de. 2. Aufl. Springer, 2010.
Folding@Home.url:https://foldingathome.org/home/(besucht am 13. 04. 2021).
F. Joliot.”Paul Langevin, 1872-1946“. In: (1951).
Rainer Dohlus. Physik Basiswissen für Studierende technischer Fachrichtun-
gen. 2. Aufl. Springer, 2018.
Sergio Blanes und Fernando Casas. A Concise Introduction to Geometric Nu-
merical Integration. 1. Aufl. CRC Press, 2016.
Ernst Hairer, Christian Lubich und Gerhard Wanner. Geometric Numerical
Integration. 2. Aufl. Springer, 2001.
M.G. Nadkarni. Basic Ergodic Theory. 3. Aufl. Hindustan Book Agency, 2013.

Quellen
Udo Kamps und Erhard Cramer. Grundzüge der Stochastik, Skript für Ba-
chelorstudierende. 3. Aufl. Instit für Statistik und Wirtschaftsmathematik der
RWTH Aachen, 2018.
Bernt Øksendal. Stochastic Differential Equations, An Introduction with Ap-
lications. 5. Aufl. Springer-Verlag, 2000.
Weinan E, Tiejun Li und Eric Vanden-Eijnden. Applied Stochastic Analysis.
1. Aufl. American Mathematical Society, 2019.
John Lamperti.Stochastic processes: A survey of the mathematical theory. 1.
Aufl. Springer-Verlag, 1977.
Ethan Schondorf. The Wiener Measure and Donsker’s Invariance Principle,
2019.
P.E. Kloeden und E.Platen. Numerical solution of stochastic differential equa-
tions. Springer, 1992.

Quellen
X. Mao. Stochastic Differential Equations and Applications. Woodhead Pu-
blishing, 1997.
D.J. Higham. An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stocha-
stic Differential Equations. Society for Industrial und Applied Mathematics,
2001.
Weinan Ee, Eric Vanden-Eijnden und Weiqing Ren. ”Simplified and Improved-
String Method for Computing the Minimum Energy Paths in Barrier Crossing
Events“. In: The Journal of Chemical Physics(2007).
Portrait von Paul Langevin:
Henri Manuel. url:https://wellcomecollection.org/works/zgyqfn98.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Verlet-Verfahren 1
xn+1
2
= xn −
h
2
∇v H(xn+1
2
, vn)
vn+1 = vn +
h
2

∇xH(xn+1
2
, vn) + ∇xH(xn+1
2
, vn+1)

xn+1 = xn+1
2
−
h
2
∇v H(xn+1
2
, vn+1)

Verlet-Verfahren 2
vn+1
2
= vn +
h
2
∇xH(xn, vn+1
2
)
xn+1 = xn −
h
2

∇v H(xn, vn+1
2
) + ∇v H(xn+1, vn+1
2
)

vn+1 = vn+1
2
+
h
2
∇xH(xn+1, vn+1
2
)

Verlet-Verfahren Doppelbrunnen
vn+1
2
= vn + 2hxn(x2
n − 1)
xn+1 = xn − hvn+1
2
= xn − h(vn + 2hxn(x2
n − 1))
vn+1 = vn+1
2
+ 2hxn+1(x2
n+1 − 1)
= vn + 2hxn(x2
n − 1) + 2hxn+1(x2
n+1 − 1)

Kolmogorovs Erweiterungstheorem
Sei {µt1 , ..., µtk
} eine Familie von endlich-dimensionalen Verteilungen, welche die
folgenden Bedingungen erfüllen:
∀t1, ..., tk ∈ T, ∀F1, ..., Fk ∈ R, k ∈ N:
Für jede Permutation σ : {1, ..., k} → {1, ..., k} gilt:
µtσ(1),tσ(2),...,tσ(k)
(F1 × F2 × ... × Fk) (1)
=µt1,...,tk
(Fσ−1(1) × Fσ−1(2) × ... × Fσ−1(k)). (2)
∀m ∈ N:
µt1,t2,...,tk
(F1 × F2 × ... × Fk) (3)
=µt1,...,tk ,tk+1,...,tk+m
(F1 × F2 × ... × Fk × R × R × ... × R). (4)

Kolmogorovs Erweiterungstheorem
Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und ein Zufallsprozess
{Xt}t∈T so, dass:
µt1,...,tk
(F1 × F2 × ... × Fm) = P(Xt1 ∈ F1, Xt2 ∈ F2, ..., Xtm ∈ Fm)
für alle t1, ..., tm ∈ T, m ∈ N.

Itô-Integrale und die Itô-Formel
R t
0 σ(t, w)dWs = lim|∆|→0
P
j σ(Xj , t?
j )(Wtj +1 − Wtj
)
Itô-Integral: t?
j = tj
Itô-Formel: Sei Yt = f (Xt) und Xt Itô-Prozess
dYt =

b(t, w)f 0
(Xt) +
1
2
σ2
(t, w)f 00
(Xt)

dt + σ(w, t)f 0
(Xt)dWt

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Stochastische Variante: ẏ = y
dXt = −γXtdt + σdWt
Richtige Lösung:
Xt = e−γt
X0 + σ
Z t
0
e−γ(t−s)
dWs 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit: t
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Wert
des
Xt
Numerische Lösung der SDE

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